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1、树型动态规划的实例分析中山市华侨中学李彦亭一、什么是树型动态规划顾名思义， 树型动态规划就是在“树” 的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：1 根 叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。2 叶 根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。二、例题与解析加分二叉树【问题描述】设一个 n 个节点的二叉
2、树tree 的中序遍历为 （l,2,3,n） ，其中数字1,2,3,n 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为di， tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree 本身）的加分计算方法如下：subtree 的左子树的加分 subtree 的右子树的加分subtree 的根的分数若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；（1） tree 的最高加分（2） tree 的前序遍历【输入格式】第 1 行：一个整数n（n
3、30） ，为节点个数。第 2 行： n 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数100） 。【输出格式】第 1 行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000） 。第 2 行： n 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。【输入样例】5 5 7 1 2 10 【输出样例】145 3 1 2 4 5 分析 很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组valuei,j 表示从节点i 到节点j 所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：valuei,j=maxvaluei,i+valuei+1,j,valuei+1,i+1+valuei,i*valuei+2,j, 名师资料总
4、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - valuei+2,i+2+valuei,i+1*valuei+3,j, ,valuej-1,j-1+valuei,j-2*valuej,j, valuej,j+valuei,j-1 题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i 到节点 j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组rooti,j 表示PASCAL 源程序 $N+ program NOIP2003_3_
5、Tree; const maxn=30; var i,j,n,d:byte; a:array1.maxnof byte; value:array1.maxn,1.maxnof comp; root:array1.maxn,1.maxnof byte; s,temp:comp; f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string; procedure preorder(p1,p2:byte); 按前序遍历输出最大加分二叉树 begin if p2=p1 then begin write(f2,rootp1,p2, ); preorder(p1,rootp1,p2-1); preor
6、der(rootp1,p2+1,p2); end; end; begin write(Input fileNo:);readln(fileNo); fn1:=tree.in+fileNo;fn2:=tree.ou+fileNo;assign(f1,fn1);reset(f1); assign(f2,fn2);rewrite(f2); readln(f1,n); for i:=1 to n do read(f1,ai); close(f1); fillchar(value,sizeof(value),0); for i:=1 to n do begin valuei,i:=ai;计算单个节点构成
7、的二叉树的加分 rooti,i:=i; 记录单个节点构成的二叉树的根节点 end; for i:=1 to n-1 do begin valuei,i+1:=ai+ai+1;计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分 rooti,i+1:=i;记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是， 两个节点构成的二叉树， 其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树； 若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此， 最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0 或 2，则最后输出的前序遍历结果是唯一的。 名师资料总结
8、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - end; for d:=2 to n-1 do begin 依次计算间距为d 的两个节点构成的二叉树的最大加分 for i:=1 to n-d do begin s:=valuei,i+valuei+1,i+d;计算以 i 为根节点，以i+1 至 i+d 间所有节点为右子树的二叉树的最大加分 rooti,i+d:=i; 记录根节点i for j:=1 to d do begin temp:=v
9、aluei+j,i+j+valuei,i+j-1*valuei+j+1,i+d;计算以 i+j 为根节点，以i 至i+j-1 间所有节点为左子树，以i+j+1 至 i+d 间所有节点为右子树的二叉树的最大加分 if temps then begin 如果此值为最大 s:=temp;rooti,i+d:=i+j;记下新的最大值和新的根节点 end; end; temp:=valuei,i+d-1+valuei+d,i+d;计算以 i+d 为根节点， 以 i 至 i+d-1 间所有节点为左子树的二叉树的最大加分 if temps then begin s:=temp;rooti,i+d:=i+d+
10、1; end; valuei,i+d:=s; end; end; writeln(f2,value1,n:0:0);输出最大加分 preorder(1,n); 输出最大加分二叉树的前序遍历序列 close(f2); end. 点评 基本题。考查了二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。Ps：其实这题真正意义上来说还是一道普通的dp 题目，但它批上了树的外表，所以都拿来作对比和讨论，解题报告出自湖北省水果湖高中伍先军 写的 第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛（ N0IP2003 ）复赛提高组解题报告。Ural 1018
11、二*苹果树题目有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2 叉（就是说没有只有1 个儿子的结点）这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N, 树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4 个树枝的树 2 5 / 3 4 / 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹
12、果。输入格式第 1 行 2 个数， N和 Q(1=Q= N,1N=100)。N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1 行描述树枝的信息。每行 3 个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3 个数是这根树枝上苹果的数量。每根树枝上的苹果不超过30000 个。输出格式一个数，最多能留住的苹果的数量。样例输入5 2 1 3 1 1 4 10 2 3 20 3 5 20 样例输出21 解析：因为题目一给出就是二叉的，所以很容易就可以写出方程：a(I,j):=max(a(i.left,k)+a(i.right,j-k),0=kj then j:=k; end; treedp:=j; End;
13、选课 问题描述 在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课， 每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a 是课程 b 的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b） 。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习， 问他能获得的最大学分是多少？输入：第一行有
14、两个整数N,M用空格隔开。(1=N=200,1=M=150) 接下来的N 行, 第 I+1 行包含两个整数ki和 si, ki表示第 I 门课的直接先修课，si表示第 I门课的学分。若ki=0 表示没有直接先修课（1=ki=N, 1=si=0 then exit; treedp(ax.r,y); 只有右子树的情况 j:=bax.r,y; for k:=1 to y do 左右子树都有的情况 begin treedp(ax.l,k-1); treedp(ax.r,y-k); i:=bax.l,k-1+bax.r,y-k+ax.k; if ij then j:=i; end; bx,y:=j; e
15、nd; begin readln(s); assign(input,s);reset(input); readln(n,m); fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=0 to n do begin ai.l:=-1;ai.r:=-1;ai.k:=-1;end; build tree for i:=1 to n do begin readln(k,l); ai.k:=l; if fk=0 then ak.l:=i else afk.r:=i; fk:=i; end; bianjie for i:=-1 to n do for j:=-1 to m do if (i=-1
16、) or (j=0) then bi,j:=0 else bi,j:=-1; tree dp treedp(a0.l,m); 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - output writeln(ba0.l,m); end. Tju1053 技能树Problem 玩过 Diablo的人对技能树一定是很熟悉的。一颗技能树的每个结点都是一项技能，要学会这项技能则需要耗费一定的技能点数。只有学会了某一项技能以后，才能继续学习
17、它的后继技能。每项技能又有着不同的级别，级别越高效果越好，而技能的升级也是需要耗费技能点数的。有个玩家积攒了一定的技能点数，他想尽可能地利用这些技能点数来达到最好的效果。因此他给所有的级别都打上了分，他认为效果越好的分数也越高。现在他要你帮忙寻找一个分配技能点数的方案，使得分数总和最高。Input 该题有多组测试数据。每组测试数据第一行是一个整数n（1=n=20）, 表示所有不同技能的总数。接下来依次给出n 个不同技能的详细情况。每个技能描述包括5 行。第一行是该技能的名称。第 2 行是该技能在技能树中父技能的名称，名称为None则表示该技能不需要任何的先修技能便能学习。第 3 行是一个整数L
18、（ 1=L=20），表示这项技能所能拥有的最高级别。第 4 行共有 L 个整数，其中第I 个整数表示从地I-1级升到第I 级所需要的技能点数（0 级表示没有学习过）。第 5 行包括 L 个整数， 其中第 I 个整数表示从第I-1 级升级到第I 级的效果评分， 分数不超过 20。在技能描述之后，共有两行，第1 行是一个整数P，表示目前所拥有的技能点数。接下来 1 行是 N个整数，依次表示角色当前习得的技能级别，0 表示还未学习。这里不会出现非法情况。Output 每组测试数据只需输出最佳分配方案所得的分数总和。Sample Input 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
19、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - Freezing Arrow Ice Arrow 3 3 3 3 15 4 6 Ice Arrow Cold Arrow 2 4 3 10 17 Cold Arrow None 3 3 3 2 15 5 2 10 0 0 1 Sample Output 42 Source 浙江省 2004 组队赛第二试解析：这题是选课的加强版，但并难不倒我们还是把一棵树转换为二叉树，完后从子节点到根节点作一次dp，最后得到最优解由于和上题很相像就不写
20、方程了。源代码程序：program bluewater; type tree=record s,sf:string; l,r,m:longint; c:array1.20 of longint; d:array1.20 of longint; end; var i,j,k,l,m,n:longint; a:array0.20 of tree; b:array0.20 of longint; learn:array0.20 of longint; f:array0.20,0.8000 of longint; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
21、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - function treedp(x,y:longint):longint; var i,j,k,l,max,o,p,q:longint; begin if fx,y-1 then begin treedp:=fx,y;exit;end; max:=treedp(ax.r,y); learn0 if learnx0 then begin for k:=0 to y do begin i:=treedp(ax.l,k)+treedp(ax.r,y-k); if imax
22、 then max:=i; end; end; learn=0 l:=0;p:=0;i:=0; for o:=1 to ax.m do begin if olearnx then begin l:=l+ax.co;p:=p+ax.do;end; for k:=0 to y-l do begin i:=treedp(ax.l,k)+treedp(ax.r,y-l-k)+p; if imax then max:=i; end; end; fx,y:=max; treedp:=max; end; function find(x:string):longint; var i,j:longint; be
23、gin for i:=0 to n do if ai.s=x then break; find:=i; end; begin while not(eof(input) do begin input readln(n); fillchar(a,sizeof(a),0); 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - fillchar(b,sizeof(b),0); a0.s:=None; for i:=1 to n do wi
24、th ai do begin readln(s); readln(sf); readln(m); for j:=1 to m do read(cj);readln; for j:=1 to m do read(dj);readln; end; readln(m); if m8000 then m:=8000; for i:=1 to n do read(learni);readln; build binary tree for i:=1 to n do begin k:=find(ai.sf); if bk=0 then begin bk:=i;ak.l:=i;end else begin a
25、bk.r:=i;bk:=i;end; end; bian jie for i:=0 to 20 do for j:=0 to 8000 do fi,j:=-1; for i:=0 to 8000 do f0,i:=0; main writeln(treedp(a0.l,m); end; end. 战略游戏Problem Bob 喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。他要建立一个古城堡， 城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。请
26、你编一程序，给定一树，帮Bob 计算出他需要放置最少的士兵. Input 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第一行为一整数，表示有组测试数据每组测试数据表示一棵树，描述如下：第一行 N，表示树中结点的数目。第二行至第N+1行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号i ，k( 后面有 k 条边与结点 I 相连 ) 。接下来 k 个数，分别是每条边的另一个结点标号r1 ，r2 ，.，rk 。对于一个n(0n=15
27、00) 个结点的树，结点标号在0 到 n-1 之间，在输入数据中每条边只出现一次。Output 输出文件仅包含一个数，为所求的最少的士兵数目。例如，对于如下图所示的树：答案为 1（只要一个士兵在结点1 上）。Sample Input 2 4 0 1 1 1 2 2 3 2 0 3 0 5 3 3 1 4 2 1 1 0 2 0 0 0 4 0 Sample Output 1 2 Source sgoi 分析： 这题有 2 种做法， 一种是比较简单但不是很严密的贪心，如果测试数据比较刁钻的话名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
28、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 就不可能ac，而这题是一道比较典型的树型动态规划的题目，这题不但要考虑子节点对他的根节点的影响， 而且每放一个士兵， 士兵所在位置既影响他的子节点也影响了他的根节点。不过状态还是很容易来表示的，动规实现也不是很难，不过这在这些例题中也有了些“创新”了。而且这题不是一个对二叉树的dp，而是对一颗普通树的dp，所以更具代表性。源程序代码：program bluewater; const maxn=1500; var i,j,k,l:longint; m,n,p,q:longint; a
29、:array0.maxn,0.maxn of boolean; b:array0.maxn of longint; c:array0.maxn of boolean; function leaf(x:longint):boolean; var i,j:longint; t:boolean; begin t:=true; for i:=0 to n-1 do if ax,i then begin t:=false;break;end; leaf:=t; end; function treedp(x:longint):longint; var i,j,k,l:longint; begin j:=0
30、;add k:=0;leaf l:=0;not put not leaf for i:=0 to n-1 do if (ax,i) and (xi) then if leaf(i) then inc(k) else begin j:=j+treedp(i); if not(ci) then inc(l); end; puanduan if (k0) or (l0) then begin cx:=true;treedp:=j+1;exit;end; if (j0) and (l=0) then begin treedp:=j;exit;end;end; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
31、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - begin input readln(m); for p:=1 to m do begin fillchar(b,sizeof(b),0); fillchar(a,sizeof(a),false); fillchar(c,sizeof(c),false); readln(n); for i:=1 to n do begin read(k,l); for j:=1 to l do begin read(q); ak,q:
32、=true; bq:=1; end; readln; end; main for i:=0 to n-1 do if bi=0 then break; fillchar(b,sizeof(b),0); if leaf(i) then writeln(1) else writeln(treedp(i); end; end. Ural 1039 没有上司的晚会背景有个公司要举行一场晚会。为了能玩得开心，公司领导决定：如果邀请了某个人，那么一定不会邀请他的上司（上司的上司，上司的上司的上司, 都可以邀请）。题目每个参加晚会的人都能为晚会增添一些气氛，求一个邀请方案，使气氛值的和最大。输入格式名师资料
33、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 1 行一个整数N（1=N=6000 ）表示公司的人数。接下来 N 行每行一个整数。第i 行的数表示第i 个人的气氛值x(-128=x根的树型动态规划，我想您已经对这种treedp 有了一些了解， 其实一样新的东西你并不该去怕它而是坦然的面对，树型动态规划也就是动态规划的一种， 再怎么也走不出动态规划的范围，只要充分了解了树的结构后，树型动态规划还是很好实现的。参考资料1 第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛（N0IP2003）复赛提高组解题报告伍先军名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -