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1、多元线性回归模型多元线性回归模型计量经济学计量经济学第三章第三章2引子引子:中国已成为世界汽车产销第一大国中国已成为世界汽车产销第一大国 2009年，为应对国际金融危机、确保经济平稳较快增长，国家出台了一系列促进汽车消费的政策，有效刺激了汽车消费市场，汽车产销呈高增长态势，首次成为世界汽车产销第一大国。2009年，汽车产销分别为1379.1万辆和1364.5万辆，同比增长48.3%和46.15%。 是什么因素导致中国汽车数量的增长是什么因素导致中国汽车数量的增长? 影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的，经济增长、影响中国汽车行业发展的因素并不是单一的，经济增长、消费趋势、市场行情、业界心态、
2、能源价格、道路发展、内消费趋势、市场行情、业界心态、能源价格、道路发展、内外环境，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。外环境，都会使中国汽车行业面临机遇和挑战。3分析中国汽车行业未来的趋势分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题：应具体分析这样一些问题：中国汽车市场发展的状况如何？中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测）（用销售量观测）影响中国汽车销量的主要因素是什么？影响中国汽车销量的主要因素是什么？ （如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）各种因素对汽车销量影响的性质怎样？各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负）（
3、正、负）各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？所得到的数量结论是否可靠？所得到的数量结论是否可靠？中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业政策？产业政策？很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。 怎样分析多种因素的影响？怎样分析多种因素的影响？4 本章主要讨论本章主要讨论: : 多元线性回归模型及古典假定多元线性回归模型及古典假定 多元
4、线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 多元线性回归模型的检验多元线性回归模型的检验 多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测5 第一节第一节 多元线性回归模型及古典假定多元线性回归模型及古典假定 一、多元线性回归模型的意义一、多元线性回归模型的意义 一般形式：对于有一般形式：对于有K-1个解释变量的线性回归模型个解释变量的线性回归模型 注意：注意：模型中的模型中的 （j=1,2,-k）是是偏回归系数偏回归系数 样本容量为样本容量为n 偏回归系数偏回归系数： 控制其它解释量不变的条件下，第控制其它解释量不变的条件下，第j j个解释变量的个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响，即对单
5、位变动对被解释变量平均值的影响，即对Y Y平均值平均值“直直接接”或或“净净”的影响。的影响。 ikikiiiuXXXY33221j(1,2,)in56 多元线性回归中的多元线性回归中的“线性线性”指对各个回归系数而言是指对各个回归系数而言是“线性线性”的，对变量则可的，对变量则可以是线性的，也可以是非线性的以是线性的，也可以是非线性的例如：生产函数例如：生产函数取对数取对数这也是多元线性回归模型，只是这时变量为这也是多元线性回归模型，只是这时变量为lnY、lnL、lnKuKALYuKLAYlnlnlnlnln7 多元总体回归函数多元总体回归函数 条件期望表现形式：条件期望表现形式：将将Y Y
6、的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如: :注意：这时注意：这时Y总体条件期望的轨迹是总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线维空间的一条线个别值表现形式：个别值表现形式：引入随机扰动项引入随机扰动项或表示为或表示为 kikiikiiiiXXXXXXYE3322132),(ikikiiiuXXXY33221(1,2,)in(1,2,)in23(,)iiiiikiuYE Y XXX8 多元样本回归函数多元样本回归函数 Y 的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数的样本条件均值可表示为多个解释变量的函数 或回归剩余（残差）：或回归剩余（残差）： 其中其中
7、iiieYY12323ikiikiYXXX12323kiiikiiYXXXe1,2,in9多个解释变量的多元线性回归模型的多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可组样本观测值，可表示为表示为 用矩阵表示用矩阵表示 1131321211uXXXYkk2232322212uXXXYkknknknnnuXXXY33221nkknnkknuuuXXXXXXYYY21212222121211111n1n1kknXYu910总体回归函数总体回归函数 或或样本回归函数样本回归函数 或或 其中：其中： 都是有都是有n个元素的列向量个元素的列向量 是有是有k 个个 元素的列向量元素的列向量 （ k =
8、 解释变量个数解释变量个数 + 1 ） 是第一列为是第一列为1的的nk阶解释变量阶解释变量数据矩阵数据矩阵 ， (截距项可视为解释变量总是取值为截距项可视为解释变量总是取值为1) ,Y = X+ u(E Y)= XY,Y,u,e矩阵表示方式Y = XY = X+eX11 假定假定1：零均值假定零均值假定 （ i=1，2，-n） 或矩阵表示： E（u）=0 0)(iuE1122|nnuE uuE uEEuE u(uX )0即 ，12假定假定2、无自相关假定、无自相关假定假定假定3、同方差假定、同方差假定也可以合并为：也可以合并为：22var(|)(|)1,2,iiiiuXE uXin,cov(,
9、|)(|)0,1,2,ijijijiju uX XE u uX Xiji jn,20 cov(,|)(|) ijijijijiju uX XE u uX Xij1311221211222122122122121221221varcov( ) ()()()() ()(n nnnnnnnnnnnuEIuu uu uuuu uuu uEEuuuEuu uu uuEuE u uE u uE u uEuE u uE u uE u uuuu因为：222222000000)n nnnIuEu假设（假设（2 2），（），（3 3）说明随机项）说明随机项u u的方差协方差矩阵为对角的方差协方差矩阵为对角矩阵：矩
10、阵：14 假定假定2和假定和假定3：同方差和无自相关假定同方差和无自相关假定： 或用方差或用方差-协方差矩阵表示为协方差矩阵表示为: )()(),(jijjiijiuuEEuuEuuEuuCov2（i=j）(ij)01 1121212222212()()()100()()()010()()()001nnnnnnE u uE u uE u uE u uE u uE u uE u uE u uE u uI( ,)( )()()ijiijjCov u uE uE uuE uEuu(1,2,1,2,)injn15假定假定4、解释变量与随机项不相关、解释变量与随机项不相关cov()()0 ,j=2,3(
11、)0jiijiixuE xuEu,X，k,i=1n即：16假定5、各解释变量之间不存在严格的线性关系，即不存在严格的多重共线性。也就是要求，解释变量观测值矩阵X的秩满足:( )rankKX即X是满秩的。此时矩阵XX也是满秩的，所以行列 ，保证了 可逆。()rankK,XX0X X 1()X X补充假定补充假定:正态性假定正态性假定), 0(2Nui2( ,)Nu0I17一、普通最小二乘法一、普通最小二乘法（OLSOLS）原则：原则：寻求寻求剩余平方和最小的参数估计式剩余平方和最小的参数估计式 即求偏导，并令其为0 其中即 2212323min:()kiiiikieYXXX2()0ije1223
12、32()0iiikikiYXXX122233()20iiikikiiYXXXX12233(20)iiikikkiiYXXXX22min:()iiieYY20iiX e 0ikiX e 0ie 182min:minie (1,2,)in(1,2,)jn正规方程可以写成：正规方程可以写成：也就是：也就是：230000iiiiiKiieXeXeXe121222223132333121110000iniiniiKKK nnK iieeXXXeXeXXXeXeXXXeXe X e0最小二乘估计的矩阵表示最小二乘估计的矩阵表示 Y = X+e对样本回归方程：对样本回归方程：两边同时左乘两边同时左乘XX：因
13、为（由正规方程得到）因为（由正规方程得到）: : X Y = X X+ Xe根据基本假设根据基本假设: : 可逆，可逆，方程左乘方程左乘得到得到OLSOLS估计量：估计量：-1 = (XX) XYX X1()X X0Xe21 回归线通过样本均值回归线通过样本均值 估计值估计值 的均值等于实际观测值的均值等于实际观测值 的均值的均值 剩余项剩余项 的均值为零的均值为零 被解释变量估计值被解释变量估计值 与剩余项与剩余项 不相关不相关 解释变量解释变量 与剩余项与剩余项 不相关不相关 （j=1,2,-k）23123kkYXXXiYiYie0neeiiiYie(,)0iiCov Y e()0iie
14、yieiX0),(ijieXCov或iYnY2122 1、 线性线性特征 是是Y的线性函数，因的线性函数，因 是非随机或取固是非随机或取固定值的矩阵定值的矩阵 2、 无偏无偏特性 (证明见教材证明见教材P101附录附录3.1) 3、 最小方差最小方差特性 在在 所有的线性无偏估计中，所有的线性无偏估计中，OLS估计估计 具有最小方差具有最小方差 (证明见教材证明见教材P101或附录或附录3.2) 结论结论：高斯：高斯-马尔科夫定理：马尔科夫定理：在在古典假定下，多元线古典假定下，多元线性回归的性回归的 OLS估计估计式是最佳线性无偏估计式（式是最佳线性无偏估计式（BLUE）()KKEKK-1(
15、X X) X-1 = (X X) X Y线性性线性性其中其中-1(X X) X Y = AY高斯高斯-马尔科夫定理证明（概要）马尔科夫定理证明（概要）-1A = (X X)X24无偏性：无偏性：证明：证明：()E-1-1-1-1-1 = (X X )X Y = (X X )X (X + u) = (X X )X X + (X X )X u = + (X X )X u即即其中：其中：两边取期望：两边取期望：( )( )EE + Au-1 + (X X)X u = + Au-1A = (X X)X25最小方差性最小方差性在所有线性无偏估计量中在所有线性无偏估计量中 ，OLS估计量具有最小方差。估计
16、量具有最小方差。为了求方差，需要计算方差协方差矩阵为了求方差，需要计算方差协方差矩阵()()E1122112211212122 ()()var()cov(,)cov(,)cov(,)var()cov(,)cov(kkkkkkEE 12,)cov(,)var()kkk方差协方差矩阵的计算2611111112()()()() ()() =()()() =()EEX XX uX XX uE X XX uu X X XX XX E uu X X XX XX1112121() ()() ()()nI X X XX XXX X XX XCX X记想一想：为什么叫方差协方差矩阵27 三、三、 OLSOLS估
17、计的分布性质估计的分布性质基本思想基本思想： 是随机变量，必须确定其分布性质才可能进行区是随机变量，必须确定其分布性质才可能进行区间估计和假设检验间估计和假设检验 是服从正态分布的随机变量，是服从正态分布的随机变量，决定了决定了Y Y也是服从正态分布的随机变量也是服从正态分布的随机变量 是是Y Y的线性函数，决定了的线性函数，决定了 也是服从正态分布的也是服从正态分布的随机变量随机变量iuY = X+ u28 的期望的期望 (由无偏性由无偏性) 的方差和标准误差：的方差和标准误差： 可以证明可以证明 的方差的方差协方差矩阵为协方差矩阵为（见下页）（见下页） 这里的这里的 （其中（其中 是矩阵是
18、矩阵 中第中第 j 行第行第 j 列的元素）列的元素） 所以所以 （j=1,2,-k） ( )E = 2Var-Cov( )1()X X2()jjjVarc()jjjSEcjjc1()X X),(2jjjjcN的期望与方差111212122212()kkkkkkccccccccc1X X29( )( )( ) COVEEE()() E11()() EX XX uu X X X11()()()E X XXuu X X X121()() X XXIX X X21()X X1() X XX Y1()() X XXX+ u1()X XX u2()E uuI其中：其中：(由无偏性由无偏性)(由同方差性由
19、同方差性)(由由OLS估计式估计式)29(1,2,)in(1,2,)jn注意注意 是向量是向量的方差的方差- -协方差协方差30 一般未知，可证明多元回归中一般未知，可证明多元回归中 的无偏的无偏 估计为：估计为：(证明见证明见P103附录附录3.3) 或表示为或表示为 将将 作标准化变换：作标准化变换： (0,1)()kkkkkkjjzNSEcknei22222nke e230对比对比: 一元回归中一元回归中22(2)ien31因因 是未知的，是未知的， 可用可用 代替代替 去估计参数的去估计参数的标准误差标准误差: 当为大样本时，用估计的参数标准误差对当为大样本时，用估计的参数标准误差对
20、作作标准化变换，所得标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分统计量仍可视为服从正态分布布当为小样本时，用估计的参数标准误差对当为小样本时，用估计的参数标准误差对 作标作标准化变换，所得的准化变换，所得的 t 统计量服从统计量服从 t 分布：分布：2222* ()()jjjjjjjtt nkcSE3132五、五、 回归系数的区间估计回归系数的区间估计 由于由于给定给定 ，查，查t分布表的自由度为分布表的自由度为 n-k 的临界值的临界值或或或表示为或表示为22()()1jjjjjPtSEtSE )1(kj221jjjjjjjPtctc 2()2()(,)jjn kjjjn kjjtctc*
21、 ()()jjjjjjjtt nkcSE)(2knt*22()()1()jjjPtnkttnkSE 3233一、多元回归的拟合优度检验一、多元回归的拟合优度检验 多重可决系数多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释在多元回归模型中，由各个解释 变量联合起来解释了的变量联合起来解释了的Y的变差，在的变差，在Y的总变差中占的总变差中占 的比重，用的比重，用 表示表示 多元回归中多元回归中多重可决系数可表示为多重可决系数可表示为 2R22222()1()iiiiYTSYeESSRSSRTSSYYTSSSy 12233iiikkiYXXX33o 判定系数 的不足o 可以证明，判定系数是模型中解释变量
22、个数的不减函数，这给对比含有不同解释变量个数的模型的决定系数带来困难。342R2221()iiiieRYY 判定系数随着回归变量个数增加的直观说明o 在多元回归中，除非新增加的回归变量系数估计值恰好为0，否则只要增加回归变量个数，拟合优度就增大。o 比如从一元回归模型开始加入第二个回归变量。当使用OLS估计含两个变量的模型时，OLS找到使残差平方和最小的系数取值。如果OLS碰巧选择的新回归系数为0，无论是否加入第二个变量，RSS都相同。但是如果OLS选择的是非零值，则相对于不包含这个回归变量的回归来说，必定降低RSS。36 修正的可决系数修正的可决系数思想：思想：可决系数只涉及变差，没有考虑可
23、决系数只涉及变差，没有考虑自由度自由度。 如果用自由度去校正所计算的变差，可纠如果用自由度去校正所计算的变差，可纠 正解释变量个数不同引起的对比困难。正解释变量个数不同引起的对比困难。回顾回顾: 自由度自由度：统计量的自由度指可自由变化的样本观统计量的自由度指可自由变化的样本观 测值个数，它等于所用样本观测值的个测值个数，它等于所用样本观测值的个 数减去对观测值的约束个数数减去对观测值的约束个数。37 可决系数的修正方法可决系数的修正方法 总变差总变差 TSS 自由度为自由度为 n-1 解释了的变差解释了的变差 ESS 自由度为自由度为 k-1 剩余平方和剩余平方和 RSS 自由度为自由度为
24、n-k 修正的可决系数为（对增加的解释变量施加了修正的可决系数为（对增加的解释变量施加了“惩罚惩罚”） 22)(iiyYY2()iYY22()iiiYYe222222()11111(1)(1)iiiienkennRRynnkynk 与 的关系可见：（1） 。意味着随着解释变量的个数增加， 比 增加的慢。（2） 总是非负，但是 可能为负。（3） 可以用于比较解释变量个数不同的模型。但只有被解释变量形式相同时，才具有可比性2211(1)nRRnK2R2R22RR2R2R2R2R2R3939基本思想：基本思想： 在多元回归中包含多个解释变量，它们与被解释在多元回归中包含多个解释变量，它们与被解释变量
25、是否有显著关系呢？变量是否有显著关系呢？ 当然可以分别检验各个解释变量对被解释变量影当然可以分别检验各个解释变量对被解释变量影响的显著性。响的显著性。 但是我们首先关注的是所有解释变量联合起来对被但是我们首先关注的是所有解释变量联合起来对被解释变量影响的显著性解释变量影响的显著性, , 或整个方程总的联合显著性，或整个方程总的联合显著性，需要对方程的总显著性在方差分析的基础上进行需要对方程的总显著性在方差分析的基础上进行F F检验检验。4040在讨论可决系数时已经分析了被解释变量总变差在讨论可决系数时已经分析了被解释变量总变差TSS的分解及自由度：的分解及自由度： TSS=ESS+RSS注意注
26、意: Y的样本方差的样本方差= 总变差总变差/自由度自由度 即即显然，显然，Y的样本方差也可分解为两部分，可用的样本方差也可分解为两部分，可用方差分方差分析表析表分解分解22()11iiYYYTSSnn401.方差分析41 变差来源变差来源 平平 方方 和和 自由度自由度 方方 差差归于回归模型归于回归模型 ESS= ESS= k-1归于剩余归于剩余 RSS= n-kRSS= n-k总变差总变差 TSS= TSS= n-1基本思想基本思想: : 如果多个解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著如果多个解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著, , “归于回归于回归的方差归的方差“ 比比“归于剩
27、余的方差归于剩余的方差”显著地小应是大概率事件。显著地小应是大概率事件。2()iYY2()iiYY2()iYY2)(YYi2()iYY2()iiYY 方差分析表2() /(1)iYYk2() /()iiYYnk2() /(1)iYYn42原假设原假设:（所有所有解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著）解释变量联合起来对被解释变量的影响不显著）备择假设备择假设: 不全为不全为0建立统计量建立统计量(可以证明可以证明): 给定显著性水平给定显著性水平 ，查，查F分布表中自由度为分布表中自由度为 k-1 和和 n-k 的临界值的临界值 ，并通过样本观测，并通过样本观测值计算值计算F值值0:320k
28、H), 2 , 1(:1kjHj), 1(knkF22() /(1)(1)(1,)()() /()iiiYYkES S kFF knkRSS nkYYnk4243F检验方式如果计算的如果计算的F值大于临界值值大于临界值 ， 则拒绝则拒绝 ，说明回归模型有显著意义，说明回归模型有显著意义， 即所有解释变量联合起来对即所有解释变量联合起来对Y确有显著影响。确有显著影响。如果计算的如果计算的F值小于临界值值小于临界值 ，则不拒绝，则不拒绝 ，说明回归模型没有显著，说明回归模型没有显著 意义，即所有解释变量联合起来对意义，即所有解释变量联合起来对Y没有显著影响没有显著影响。一般统计软件直接给出F，和对
29、应的P值。0:320kH0:320kH), 1(knkF), 1(knkF可决系数和F检验的关系（1）都是对回归方程的整体显著性检验；（2）两者同增同减，具有一致性。2211nkRFkR在数量上，它们有如下关系45注意注意: : 在一元回归中在一元回归中F F检验与检验与t t检验等价检验等价, , 且且 (见教材见教材P87证明证明)但在多元回归中，但在多元回归中，F检验显著，不一定每个解释变量都对检验显著，不一定每个解释变量都对Y有显著影响。还需要分别检验有显著影响。还需要分别检验当其他解释变量保持不变当其他解释变量保持不变时时，各个解释变量，各个解释变量X对被解释变量对被解释变量Y是否有
30、显著影响。是否有显著影响。 方法：方法： 原假设原假设 （j=1,2,k） 备择假设备择假设 统计量统计量t为：为： 0:0jH0:1jH2tF * ()()jjjjjjtt nkSEc46给定显著性水平给定显著性水平 ，查，查t t分布表的临界值为分布表的临界值为如果如果 就不拒绝就不拒绝 ，而拒绝，而拒绝 即认为即认为 所对应的解释变量所对应的解释变量 对被解释变量对被解释变量Y Y的影响不显的影响不显著。著。 如果如果 就拒绝就拒绝 而不拒绝而不拒绝 即认为即认为 所对应的解释变量所对应的解释变量 对被解释变量对被解释变量Y Y的影响是的影响是 显著的。显著的。讨论：讨论：在多元回归中，
31、可以作在多元回归中，可以作F F检验，也可以分别对每个回检验，也可以分别对每个回归系数逐个地进行归系数逐个地进行 t t 检验。检验。 F F 检验与检验与t t检验的关系是什么？检验的关系是什么？)(2knt)()(2*2knttknt0:0jH0:1jHjjX)()(2*2*knttkntt或0:1jHjjX对各回归系数假设检验的作法0:0jH47F检验和t检验区别和联系F检验是模型整体显著性的检验。T检验是单个系数的显著性检验F检验通过（H0被拒绝），说明模型整体显著，但不表示每个系数都显著F检验不通过（不能拒绝H0），说明模型整体不显著，每个回归系数都不显著。在一元回归中，F=t2，两
32、者实际等价。48 49 第五节第五节 案例分析案例分析研究的目的要求研究的目的要求为了研究影响中国税收收入增长的主要原因，分析中央和地方为了研究影响中国税收收入增长的主要原因，分析中央和地方税收收税收收入增长的数量规律，预测中国税收未来的增长趋势，入增长的数量规律，预测中国税收未来的增长趋势，需要建立计量经济模型。需要建立计量经济模型。 研究范围：研究范围：19781978年年-2007-2007年年全国税收收入全国税收收入理论分析：理论分析：为了全面反映中国税收增长的全貌，选择包括为了全面反映中国税收增长的全貌，选择包括中央和地方税收的中央和地方税收的“国家财政收入国家财政收入”中的中的“各
33、项税收各项税收”（简称（简称“税收收入税收收入”）作为被解释变量；选择国内生产总值（）作为被解释变量；选择国内生产总值（GDP）作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出财政支出”作为公共财政需求的代表；选择作为公共财政需求的代表；选择“商品零售价格指数商品零售价格指数”作为物作为物价水平的代表。价水平的代表。50年份税收收入（亿元）（Y）国内生产总值（亿元）（X2）财政支出（亿元）（X3）商品零售价格指数（%）（X4）1978519.283624.11122.09100.71979537.824038.21281.79102.0198057
34、1.704517.81228.83106.01981629.894862.41138.41102.41982700.025294.71229.98101.91983775.595934.51409.52101.51984947.357171.01701.02102.819852040.798964.42004.25108.819862090.7310202.22204.91106.019872140.3611962.52262.18107.319882390.4714928.32491.21118.519892727.4016909.22823.78117.819902821.8618547.
35、93083.59102.119912990.1721617.83386.62102.919923296.9126638.13742.20105.419934255.3034634.44642.30113.219945126.8846759.45792.62121.719956038.0458478.16823.72114.819966909.8267884.67937.55106.119978234.0474462.69233.56100.819989262.8078345.210798.1897.4199910682.5882067.513187.6797.0200012581.518946
36、8.115886.5098.5200115301.3897314.818902.5899.220022003200420052006200717636.4520017.3124165.6828778.5434804.3545621.97104790.6135822.8159878.3183217.4211923.5249529.922053.1524649.9528486.8933930.2840422.7349781.3598.799.9102.8100.8101103.852序列序列Y、X2、X3、X4的线性图的线性图可以看出可以看出Y、X2、X3都是逐年增都是逐年增长的，但增长速率有所变
37、动，而长的，但增长速率有所变动，而且且X4在多数年份呈现出水平波动。在多数年份呈现出水平波动。说明变量间不一定是线性关系，说明变量间不一定是线性关系，可探索将模型设定为以下对数模可探索将模型设定为以下对数模型：型：注意这里的注意这里的“商品零售价格指数商品零售价格指数”1222334lnlnlntttttYXXXu（X4）未取对数。）未取对数。53 三、估计参数三、估计参数模型估计的结果为：模型估计的结果为：234ln2.8491 0.4123ln0.6664ln0.0115iYXXX 20.9873R 20.9858R (0.6397) (0.1355) (0.1557) (0.0055)
38、t= (-4.4538) (3.0420) (4.2788) (2.0856) F=673.7521 df=30541 1、经济意义检验：、经济意义检验：模型估计结果说明，在假定其它变量不变的情况下，当年GDP每增长1%，税收收入会增长0.4123%；当年财政支出每增长1%，平均说来税收收入会增长0.6664%；当年商品零售价格指数上涨一个百分点，平均说来税收收入会增长0.0115%。这与理论分析和经验判断相一致。2 2、统计检验：、统计检验： 拟合优度：拟合优度： ， 表明样本回归方程较好地表明样本回归方程较好地拟合了样本观测值。拟合了样本观测值。 F F检验：检验：对对 已得到已得到 F
39、=F =673.7521，给定，给定查表得自由度查表得自由度k-1=3和n-k=26的临界值：的临界值： ，因为，因为 F=673.7521，说明模型总体上显著，说明模型总体上显著，即即“国国内生产总值内生产总值”、“财政支出财政支出”、“商品零售价格指数商品零售价格指数”等变量等变量联合起来确实对联合起来确实对“税收收入税收收入”有显著影响。有显著影响。05. 05420.9873R 20.9858R 0234:0H(3,21)2.98F(3,26)2.98F t t分别针对分别针对 ，给定显著性水平，给定显著性水平 , ,查查t t分布表得自由度为分布表得自由度为n-k=21n-k=21的
40、临界值的临界值 。由回归结果已知与由回归结果已知与 、 、 、 对应的对应的t t值分别为：值分别为：-4.4538、3.0420、4.2788、2.0856，其绝对值均大于其绝对值均大于 ，这说明在显著性水平，这说明在显著性水平 下，分下，分别都应当拒绝别都应当拒绝 说明当在其它解释变量不变的情况下，解释变量说明当在其它解释变量不变的情况下，解释变量“国内生国内生产总值产总值” 、“财政支出财政支出” ” 、“商品零售价格指数商品零售价格指数” ” 分分别对被解释变量别对被解释变量“税收收入税收收入”Y Y都有显著的影响。都有显著的影响。 05. 0552()2.056tnk0 (1,2,3
41、,4)jj0:H12342()2.056tnk0:H0 (1,2,3,4)jj05. 0第六节第六节 非线性回归模型非线性回归模型一、可线性化的模型二、不可线性化的模型三、如何处理非线性效应56一、可线性化模型o 经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型57o 多项式模型o 倒数变换模型（双曲函数模型）5821123kiiikiiYXXXu1212111YuXuYXo 双对数模型（幂函数模型）o 半对数模型5912lnlnYXu1212lnlnYXuYXu uCDYAL K e生产函数：二、不可线性化模型o 无法通过变量变换或函数变换的方式转化为线性模型。o 将其进行泰勒展开，再用
42、迭代估计方法进行估计。o EVEIWS提供的非线性最小二乘方法（NLS）60三、如何处理非线性效应 引例： 隐含的假设边际效应（比如边际消费倾向）为常数。 这在实际中可能并不成立，边际效应可能与X1,或者X2的水平有关。 如何建模？121YXu12132YXXu1、多项式建模方法2123YXXu在模型中出现解释变量的二次项。例如：此时边际消费倾向为：222X应该采用几次多项式？ X的阶数越高，越灵活。但是也加入了更多的回归变量，会降低系数估计的精度。 要权衡灵活性和统计精确度。不要一味追求高的项数，足够就行。 可以通过t检验帮助确定。直到所有阶数的系数都显著为止（2）对数建模方法12lnYXu
43、12lnlnYXu12lnYXu三种对数回归模型65 YX log X1Ylog XYlog log YXYXYXYX因变量自变量 参数 含义对 的斜率，（常边际效应）增加 ， 改变的单位。（）100增加一单位， 变化的百分比（100 ） YX对 的弹性，（常弹性）661557.836.42ln()testscoreIncome几个例子：、表示收入增加1%时，测试成绩提高0.01*36.42=0.36分。2 ln()2.6550.0086(1earningsage、对大学毕业生的调查）年龄每增加 岁，预计收入增加100*0.0086）%=0.86%3 ln6.3360.055ln()tests
44、coreIncome、表示收入增加1%时，预计成绩提高0.0554%67（3）自变量的交互作用 （以两个连续型自变量为例） Y表示收入的对数 X1表示工作经验 X2表示受教育的年数 年资的边际影响：b1+b3*X2 教育的边际影响：b2+b3*X101122312Y=*XXXXu68（4）一个综合的例子o Translog模型(C-D生产函数的扩展）01222345log( )log()log( ) log ()log ( )log()*log( )YKLKLKL1. 多元线性回归模型及其矩阵形式。多元线性回归模型及其矩阵形式。2. 多元线性回归模型中对随机扰动项多元线性回归模型中对随机扰动项
45、u的假定，除了其他的假定，除了其他基本假定以外，还要求满足无多重共线性假定。基本假定以外，还要求满足无多重共线性假定。3. 多元线性回归模型参数的最小二乘估计量；在基本假定多元线性回归模型参数的最小二乘估计量；在基本假定满足的条件下，多元线性回归模型最小二乘估计式是最满足的条件下，多元线性回归模型最小二乘估计式是最佳线性无偏估计量佳线性无偏估计量。4. 多元线性回归模型中参数区间估计的方法。多元线性回归模型中参数区间估计的方法。69 5. 多重可决系数的意义和计算方法，修正可决系数多重可决系数的意义和计算方法，修正可决系数的作用和方法。的作用和方法。6. 对多元线性回归模型中所有解释变量联合显著性的对多元线性回归模型中所有解释变量联合显著性的F检验。检验。7. 多元回归分析中，对各个解释变量是否对被解释变多元回归分析中，对各个解释变量是否对被解释变量有显著影响的量有显著影响的t检验。检验。 8. 非线性回归模型的建立和系数含义非线性回归模型的建立和系数含义707171第三章结束了！第三章结束了！