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1、上页下页铃结束返回首页5.3解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质上页下页铃结束返回首页定义定义5.4 设函数设函数f(z)在无穷远点在无穷远点(去心去心)邻域邻域 N-:+|z|r0内解析内解析,则称点则称点为为f(z)的一个孤立奇点的一个孤立奇点.设点设点为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点,利用变换利用变换z/=1/z,于是于是)()1() (zfzfz在去心邻域在去心邻域:内解析规定如)10(1| |0: 0rrrzK:.)(我们还看出我们还看出之一孤立点之一孤立点就为就为zz0(5.12)如果点如果点是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.上页下页铃结束返回首页 (1)对于扩充
2、对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域平面上无穷远点的去心邻域 N-,有扩充有扩充z/平面上的原点的去心邻域平面上的原点的去心邻域; (2)在对应点z与z/上,函数) ()(zzf(3),(lim)(limzzfzz0或两个极限都不存在.定义定义5.5 若z/=0为) (z的可去奇点的可去奇点(解析点解析点),m级极点或本性奇点级极点或本性奇点,则我们相应地称则我们相应地称z=为为f(z)的可去奇点的可去奇点(解析点解析点),m级极点或本性奇点级极点或本性奇点.设在去心邻域设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将内将) (z展成罗朗级数展成罗朗级数:nnnzcz) (上页下页铃结束返回首页令z/=1
3、/z,根据(5.12),则有nnnzbzf)(其中)., 1, 0( ncbnn(5.13) (5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-:0r|z|+内的罗朗展式.对应在z=0的主要部分,我们称nnnzb为f(z)在z=的主要部分.)()1() (zfzfznnnzcz )() (z上页下页铃结束返回首页定理定理5.45.4/ / ( (对应于定理对应于定理5.4)f(z)5.4)f(z)的孤立奇点的孤立奇点z=z=为为m m级级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: : 定理定理5.3/ (对应于定理对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点的孤立奇点
4、z=为可去奇为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1)f(z)在在 的主要部分为零的主要部分为零; (2) (3)f(z)在在 的某去心邻域的某去心邻域N-内有界内有界.z);()(limbzfzz);0(221 mmmbzbzbzb(1) f(z)在在 z=的主要部分为的主要部分为上页下页铃结束返回首页定理定理5.5(对应于定理对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点的孤立奇点为极为极点的充要条件是点的充要条件是定理定理5.6(对应于定理对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点的孤立奇点为本为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立性奇点的充要条件
5、是下列任何一条成立:(1)f(z)在在z=的主要部分有无穷多项正幂的主要部分有无穷多项正幂),()(zzzfm(2)f(z)在在z=的某去心邻域的某去心邻域N-内能表成内能表成);0(其中其中 在在z=的邻域的邻域N内解析内解析,且且)(z(3)g(z)=1/f(z)以z=为m级零点(只要令g(z)=0).)(limzfz上页下页铃结束返回首页不等于零不等于零; )(limzfz广义不存在广义不存在(即当即当z趋向于趋向于时时f(z)不趋向于任何不趋向于任何(有限或无穷有限或无穷)极限极限).例1)()(211zzzfzzzzzzg2111212)()(2)上页下页铃结束返回首页补充例 2：求
6、出下列函数的 奇点，并确定他们的类型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点也要加以讨论。.11)()5(;sin)()4( ;11)()3()1 ()()2( ;) 1(1)() 1 (33225226zezfzzzzfzzzfzzzfzzzzf上页下页铃结束返回首页例例3 求出函数求出函数tan(1)( )1zf zz的全部奇点的全部奇点(含含点点),并判断其类型并判断其类型.例例4 问函数问函数1sec1z 在在z1的去心邻域内能否展开为洛朗级数的去心邻域内能否展开为洛朗级数.上页下页铃结束返回首页例例5 设设f(z)在在0|z-a|R内解析，且不恒为零；又内解析，且不恒为零；又若若f(z)有一列异于有一列异于a但却以但却以a为聚点的零点。试证为聚点的零点。试证a必为必为f(z)的本性奇点。的本性奇点。