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1、优秀学习资料欢迎下载高中数学典型例题分析第六章 立体几何初步6.1 两条直线之间的位置关系一、知识导学1.平面的基本性质. 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理 3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 .2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理 4：
2、平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线 .异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离. 5.反证法 . 会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点. 强调 任何 一个平面 . 2异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）. 一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围. 3异面直线的公垂线要
3、求和两条异面直线垂直并且相交 ，4 异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度. 求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线. 5异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且Ab,aA, 则 a 与 b 异面 .三、经典例题导讲 例 1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是底面 ABCD 的中心， M 、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( ). A . 是 AC和 MN的公垂线 . B .垂直于 AC但不垂直于MN. C . 垂直于 MN ，但不垂直于AC. D .与 AC 、MN都不垂直 . 错解 :B. 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线
4、定理中的射影. 正解 ：A. 例 2 如图，已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD的中点，G,H分别是 BC,CD上的点 , 且2HCDHGCBG, 求证 : 直线 EG,FH,AC相交于一点 . 错解： 证明：E、F 分别是 AB,AD的中点 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载EF BD,EF=21BD, 又2HCDHGCBG, GHBD,GH=31BD, 四边形 EFGH 是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, 2HCDH,F 分别是 AD.AC与 FH交于一点 . 直
5、线 EG,FH,AC相交于一点正解： 证明：E、F 分别是 AB,AD的中点 , EFBD,EF=21BD, 又2HCDHGCBG, GH BD,GH=31BD, 四边形 EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, EG平面 ABC,FH平面 ACD, T面 ABC,且 T面 ACD,又平面 ABC平面 ACD=AC, ACT,直线 EG,FH,AC相交于一点T. 例 3 判断： 若 a,b 是两条异面直线， P为空间任意一点， 则过 P点有且仅有一个平面与a,b都平行 . 错解 ：认为正确 . 错因 ：空间想像力不够. 忽略 P在其中一条线上，或a 与 P确定平面恰好与b 平行，此时就不
6、能过 P作平面与a 平行 . 正解 ：假命题例 4 如图，在四边形ABCD中，已知 ABCD，直线 AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点 E，G，H，F求证： E，F，G，H 四点必定共线（在同一条直线上）分析 ：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线证明 AB/CD， AB，CD确定一个平面 又 AB E，AB，E ，E ，即 E为平面 与 的一个公共点同理可证F，G，H 均为平面与 的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E， F，G ，H四点必定共线点评： 在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后
7、得出这些点都在二平面的交线上的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载 例 5 如图，已知平面 ，且 l 设梯形 ABCD 中，AD BC ，且 AB，CD，求证： AB，CD ，l共点（相交于一点）分析： AB ，CD是梯形 ABCD的两条腰，必定相交于一点M ，只要证明M在l上，而l是两个平面 ， 的交线，因此，只要证明M ，且 M 即可证明： 梯形 ABCD 中，AD BC ，AB ， CD是梯形 ABCD 的两条腰 AB， CD必定相交于一点，设 AB CD M 又 AB，CD， M ，且
8、 M M 又 l， Ml，即 AB，CD ，l共点点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的 例 6 已知： a，b，c， d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b， c，d 共面分析 ：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内证明 1 o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a，b，c 相交于一点A 直线 d和 A确定一个平面又设直线d 与 a，b，c 分别相交于E，F，G ，则 A ，E，F，G A，E ，A，Ea， a同理可证 b，
9、 c a ， b，c，d 在同一平面 内2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图 这四条直线两两相交，则设相交直线a，b 确定一个平面设直线 c 与 a，b 分别交于点H， K，则 H ，K 又 H，Kc， c同理可证 d a ， b，c，d 四条直线在同一平面 内点 评：证明若干条线(或若干个点 )共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点 )确定一个平面，然后再证明其余的线(或点 )均在这个平面内本题最容易忽视“ 三线共点 ” 这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义 例 7在立方体ABCD A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线 BD1在平面 AC内的射
10、影；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载（2）直线 BD1和直线 AC的位置关系如何？（3）直线 BD1和直线 AC所成的角是多少度？解： (1) 连结 BD, 交 AC于点 O 上的射影在平面就是斜线平面ACBDBDACDD11,. (2)BD1和 AC是异面直线 . (3)过 O 作 BD1的平行线交DD1于点 M，连结 MA、MC，则 MOA 或其补角即为异面直线AC和 BD1所成的角 . 不难得到MAMC，而 O 为 AC的中点，因此MOAC，即 MOA90 ，异面直线BD1与 AC所成的
11、角为90 . 例 8 已知：在直角三角形ABC中，A为直角， PA 平面ABC ，BD PC ，垂足为D，求证： AD PC证明： PA 平面 ABC PA BA又BA AC BA 平面PACAD是BD在平面PAC内的射影又BDPCADPC. （三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1如图 , P 是 ABC所在平面外一点，连结PA 、 PB 、PC后，在包括AB 、BC 、 CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对2. 两个正方形ABCD 、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和 BF所成角的大小为3. 在棱长为a 的正方体ABCD A1B
12、1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是，它们的距离是 . 4. 长方体ABCDA B C D1111中，BCCDDD2214251，则A CB D111和所成角的大小为_ _. 5. 关于直角AOB在定平面 内的射影有如下判断：可能是0的角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180的角 . 其中正确判断的序号是_. （注：把你认为正确的序号都填上）. 6在空间四边形ABCD中，ABCD，AH平面BCD，求证：BHCD7如图正四面体中，D、E 是棱 PC 上不重合的两点；F、H 分别是棱PA 、 PB上的点，且与P点不重合求证： EF和 DH是异面直线精选学习资料 - -
13、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载6.2 直线与平面之间的位置关系一、知识导学1.掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）. 2.直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是0，当直线与平面垂直时所成的角是90，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角 . 3.掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）. 4.直
14、线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）. 5.直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）. 6.三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）. 7.从平面外一
15、点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短. 二、疑难知识导析1. 斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角. 2. 在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用. 3. 在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条 相交 直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的. 4. 直线与平
16、面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离. “如果在平面的同一侧 有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行. ”要注意“同一侧”、“距离相等” . 三、经典例题导讲 例 1 已知平面平面，直线l平面, 点 P直线l, 平面、间的距离为8，则在内到点 P的距离为10，且到l的距离为9 的点的轨迹是（）A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D .两个点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载错解 ：A. 错因 ：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢. 正解 ：B.
17、例 2 a 和 b 为异面直线，则过a 与 b 垂直的平面 ( ). A 有且只有一个 B一个面或无数个 C 可能不存在 D可能有无数个错解 ：A. 错因 ：过 a 与 b 垂直的平面条件不清. 正解 ：C. 例 3 由平面外一点 P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为 ABC的外心，求证：OP. 错解 ：因为 O为 ABC的外心， 所以 OA OB OC ，又因为PA PB PC ，PO公用， 所以 POA ，POB ，POC都全等，所以POA POB POC 2，所以OP. 错因： 上述解法中POA POB POC RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.
18、正解 ：取 BC的中点 D，连 PD 、OD ，,ABPOPO.PBPC OBOCBCPD BCODBCPODBCPO面同理， 例 4 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=3 ，AA1=4,M 为 AA1的中点，P是 BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到 M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N, 求: （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和 NC的长；（3）平面 NMP 和平面 ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）错因： （1）不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解 , 不会找29的线段在哪里 ;(2) 不会找二面角的平面角. 正解
19、： (1) 正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4 的矩形，其对角线长为974922(2) 如图，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1在同一平面上，点 P运动到点P1的位置，连接MP1 ，则 MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点 M的最短路线 . 设 PC x，则 P1Cx，在2,292)3221xxMAPRt中，（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载54,5211NCAPCPMANC(3) 连接 PP1（如图），则 PP1就是平面NMP与平面 ABC的交线，作 NH1
20、PP于 H，又 CC1平面 ABC ，连结 CH ，由三垂线定理的逆定理得，1PPCH. 所成二面角的平面角。与平面就是平面ABCNMPNHC1,60211CHPCPPCHPHCRt中，在54tanCHNCNHCNCHRt中，在 例 5 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是 PA 的中点，求证：PC 平面 BDQ 分析： 要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了证明： 如图所示，连结AC ，交 BD 于点 O ，四边形ABCD 是平行四边形. AO=CO ，连结 OQ ，则 OQ 在平面 BDQ 内，且 OQ 是APC的中位线， PCOQ
21、 PC 在平面 BDQ 外， PC 平面 BDQ 点评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行 . 例 6在正方体A1B1C1D1 ABCD 中，E、F分别是棱AB 、BC的中点， O是底面 ABCD 的中点 求证： EF垂直平面BB1O证明： 如图 , 连接 AC 、BD ，则 O为 AC和 BD的交点E、F 分别是 AB 、BC的中点，EF是 ABC的中位线，EFACB1B平面 ABCD,AC平面 ABCD ACB1B，由正方形ABCD 知： AC BO ，又 BO与 BB1是平面 BB1O上的两条相交直线，精选学习资料 - - - - - - - -
22、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载AC平面 BB1O(线面垂直判定定理) ACEF， EF平面 BB1O 例 7 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 是 BB1的中点， O 是底面正方形ABCD 的中心，求证： OE平面 ACD1分析 ：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE 垂直证明： 连结 B1D 、 A!D 、BD ，在 B1BD 中，E,O 分别是 B1B 和 DB 的中点，EO B1D B1A1面 AA1D1D ，DA1为 DB1在面 A
23、A1D1D 内的射影又 AD1A1D ，AD1DB1同理可证 B1DD1C 又 AD111DCD，AD1,D1C面 ACD1，B1D平面 ACD1B1DOE ，OE平面 ACD1点评： 要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用 例 8 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点 N在 BD上, 点 M在 B1C上 , 且 CM=DN, 求证 :MN平面 AA1B1B. 证明：证法一 . 如图 , 作 ME BC,交 BB1于 E,作 NFAD,交 AB
24、于 F, 连EF则 EF平面 AA1B1B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载,11CBMBBCME,BDBNADNF,ADNFBDBNBCMEME=NF 又 ME BC ADNF,MEFN 为平行四边形, MN EF. MN平面 AA1B1B. 证法二 . 如图 , 连接并延长CN交 BA延长线于点P,连 B1P,则 B1P平面 AA1B1B. NDCNBP ,.NPCNNBDN又 CM=DN,B1C=BD,.1NPCNNBDNMBCMMNB1P. B1P平面 AA1B1B, MN 平面 A
25、A1B1B. 证法三 . 如图 , 作 MP BB1, 交 BC于点 P, 连 NP. MP BB1,.1PBCPMBCMBD=B1C,DN=CM,.1BNMB.,1NBDNPBCPNBDNMBCMNPCD AB.面 MNP 面 AA1B1B. MN 平面 AA1B1B. 四、典型习题导练1设 a ，b 是空间两条垂直的直线，且 b平面则在“ a平面”、“a”、“a 与相交”这三种情况中，能够出现的情况有（）A0 个B1 C2 个D3 个2一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是（）A梯形B任意四边形C平行四边形D菱形3若
26、一直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载A平行B相交C异面D平行、相交或异面4空间四边形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是E 、F 、G 、H ，若两条对角线BD 、AC 的长分别为2 和 4，则 EG2+HF2的值（）A5 B10 C20 D40 5点 P 、Q 、R 、S 分别是空间四边形ABCD 四边的中点，则：当ACBD时，四边形PQRS 是_形；当 AC=BD 时，四边形PQRS 是_形6已知两个
27、全等的矩形ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，M 、N 分别在它们的对角线AC ，BF 上，且 CM=BN ，求证： MN 平面 BCE 7. 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形 ,且.6011BCDCDCCBC(1)证明 C1CBD; (2)当1CCCD的值为多少时， 能使 A1C平面 C1BD ？请给出证明 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载6.3 平面与平面之间的位置关系一、基础知识导学1空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）
28、.2理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理 （如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）. 3理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角 , 就说这两个平面垂直）；判定定理 （如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理 （如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）. 4 二面角的有关概念 （从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算； 二面角的平面角（以二面角的棱
29、上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法( 定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等). 二、疑难知识导析1两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等. 在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用 . 3 对于命题 “三个平面两两相交，有三条交线， 则这三条交线互相平行或者相交于同一点. ”要会证明 . 4. 在
30、证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5注意二面角的范围是,0，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在. 求二面角的大小还有公式SS/cos , 用的时候要进行交代. 在二面 角 棱 没 有 给 出 的 情 况 下 求 二 面 角 大 小 方 法 一 ： 补 充 棱 ； 方 法 二 ： 利 用 “ 如 果ll，则，且 ,” ；方法三：公式SS/cos 等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角） 、数据在不同的面上转换. 三、经典例题导讲 例 1 一直线与直二面角的两个面所成的角分别为， ，则 +满足（）. A. +900 D
31、. +900错解 :A. 错因 ：忽视直线与二面角棱垂直的情况. 正解 ：B. 例 2 . 如图， ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）. A90B60C50D45错解 : A. 正解 ：C 例 3 已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10， 高是 12， 过底面一边AB ， 作与底面 ABC成060精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载角的截面面积是_. 错解 ：50 3. 用
32、面积射影公式求解：S底=,32510043S截 =35060cos底S. 错因： 没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形. 正解 ：48 3. 例 4 点O是边长为 4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角DAC B（1）求EOF的大小；（2）求二面角EOFA的大小错解 : 不能认识折叠后变量与不变量. 不会找二面角的平面角. 正解 ： （ 1）如图，过点E 作EG AC ，垂足为G，过点F 作FHAC，垂足为H，则2EGFH，2 2GH因为二面角DAC B为直二面角，22222cos90EFGHEGFHEG FH222(22)(2)(
33、2)012.又在EOF中，2OEOF，22222222(2 3)1cos22222OEOFEFEOFOE OF120EOF（2）过点 G作 GM垂直于FO的延长线于点M ，连 EM 二面角DAC B为直二面角，平面DAC 平面 BAC ，交线为AC ，又 EG AC ， EG 平面 BAC GM OF ，由三垂线定理，得EM OF EMG就是二面角EOFA的平面角在 RtEGM 中，90EGM，2EG，112GMOE，C D M H G O F A B E G H M A B C D E F O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12
34、 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载tan2EGEMGGMarctan2EMG所以，二面角EOFA的大小为arctan2 例 5 如图，平面平面 平面 ，且 在 、 之间，若 和 的距离是 5， 和 的距离是3，直线l和 、 、 分别交于A、B、C， AC12，则 AB ，BC . 解 : 作l ， ， l 与 、 也 垂 直 ，l 与 、 、 分 别 交 于 A1、 B1、 C1. 因 此 ， A1B1是 与 平 面 间 的 距 离 ， B1C1是 与 平面 间 的 距 离 ， A1C1是 与 之 间 的 距 离 . A1B1 5， B1C1 3， A1C1 8， 又 知 AC 12 ,1
35、111CABAACABAB=2158125，1111CBBABCAB， BC=2953215 . 答 ： AB=215， BC29 . 例 6 如图，线段PQ 分别交两个平行平面、于 A、B 两点，线段 PD 分别交 、于 C、D 两点，线段 QF 分别交 、于 F、E 两点，若PA9，AB 12，BQ12， ACF 的面积为 72，求 BDE 的面积 . 解：平面QAFAF，平面 QAFBE 又 ，AFBE 同理可证： AC BD. FAC 与 EBD 相等成互补由 FA BE，得： BE：AFQB：QA 12：241： 2， BE=AF21由 BD AC，得： AC：BDPA：PB9：21
36、3：7， BD=AC37又 ACF 的面积为 72，即FACACAFsin2172 SDBE=FACACAFEBDBDBEsinsin37212121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载=8472sin672167FACACAF, 答： BDE 的面积为84 平方单位 . 例 7如图， B 为ACD 所在平面外一点，M、N、G 分别为ABC 、ABD 、BCD的重心 . （1）求证：平面MNG 平面 ACD （2）求 SMNG：SADC解:（1）连结 BM 、BN、BG 并延长交AC、AD 、C
37、D 分别于 P、F、H M、N、G 分别为 ABC 、 ABD 、 BCD 的重心，则有：2GHBGNFBNMPBM连结 PF、 FH、PH 有 MN PF 又 PF平面 ACD MN 平面 ACD 同理： MG 平面 ACD ，MGMN M 平面 MNG 平面 ACD. （2）由（ 1）可知：32BHBGPHMGMG=PH32，又 PH=AD21MG=AD31，同理： NG=CDMNAC3131,，MNG ACD ，其相似比为1：3 SMNG：SADC=1： 9 例 8 如图，平面EFGH分别平行于CD 、AB ，E、F、G 、H 分别在BD 、 BC 、AC 、AD上，且 CD a，ABb
38、，CD AB.(1) 求证： EFGH 是矩形 . (2) 求当点 E在什么位置时，EFGH 的面积最大 . (1) 证明 ：CD 面 EFGH, 而面 EFGH 面 BCD EF.CD EF同理 HG CD.EF HG同理 HE GF.四边形EFGH 为平行四边形由 CD EF ，HE ABHEF为 CD和 AB所成的角或其补角，又CD AB.HE EF.四边形EFGH 为矩形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载(2) 解：由 (1) 可知在B CD中 EF CD ，其中DEm ，EBn
39、 anmnEFDBBECDEF,由 HE ABbnmmHEDBDEABHE,又四边形EFGH为矩形S矩形 EFGHHE EF nmmbnmna2)(nmmnab m n2mn，（ m n）2 mn 2)(nmmn41，当且仅当m n 时取等号，即E为 BD的中点时 , S矩形 EFGH=2)(nmmnab41ab，矩形 EFGH 的面积最大为41ab. 点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等. 四、典型习题导练1. 山坡面 与水平面成30的角， 坡面上有一条公路AB与坡角线BC成 45的角， 沿公路向上去 1 公里时，路基升高_米2. 过正方形ABCD的
40、顶点 A作线段 PA 平面 ABCD ，且 PA=AB ，则平面ABP与平面 CDP所成二面角 ( 小于或等于90) 的度数是 _3. 在 60二面角的棱上，有两个点A、B，AC 、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段已知： AB4cm ，AC=6cm ，BD8cm，求 CD长4. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且ASB= ASC=60 ， BSC=90 .求证：平面ABC 平面BSC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载5. 已知：如图，SA 平面
41、 ABC ， AB BC ，DE垂直平分 SC ，且分别交 AC 、SC于 D、 E，又 SA=AB ，SB=BC ，求二面角EBD C的度数 . 6.4 空间角和距离一、 知识导学1. 掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算 . 2掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.二、疑难知识导析1求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角 . 2求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等. 3空间距离的计算一般将其转化为两点间的
42、距离. 求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之. 另外要注意垂直的作用. 球心到截面圆心的距离由勾股定理得22rRd4球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆 . 5要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.三、经典例题导讲 例 1平面外有两点 A,B，它们与平面的距离分别为a,b ，线段 AB上有一点P ，且AP:PB=m:n，则点 P到平面的距离为 _. 错解 ：nambmn. 错因： 只考虑 AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况. 正解 ：|nambmb
43、namnmn或|. 例 2 与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面共有_个. 错解 ：4 个. 错因：只分1 个点与 3 个点在平面两侧.没有考虑2 个点与 2 个点在平面两侧. 正解 ：7 个. 例 3 一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、 E、F，且知 SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）A.2923B.2719C.3130 D.2723错解： A、B、C.由过 D或 E作面 ABC的平行面，所截体计算而得 . 正解： D. 当平面 EFD处于水平位置时，容器盛水最多精选学习资料 - - - - - -
44、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载2121sin31sin313131hASBSBSAhDSESESDhShSVVSABSDESABCSDEF27431323221hhSBSESASD最多可盛原来水得12723274 例 4 斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a 的正三角形， 侧棱长等于 b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB 、 AC都成 450角，求这个三棱柱的侧面积. 错解 ：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当， 即 “过 BC作平面与AA1垂直于 M ” ；三是由条件 “ A1AB=A1ACA
45、A1在底面 ABC上的射影是 BAC的平分线”不给出论证. 正解 ：过点B 作 BM AA1于 M，连结CM，在 ABM 和 ACM 中， AB=AC， MAB=MAC=450，MA 为公共边，ABM ACM， AMC=AMB=900， AA1面 BHC，即平面 BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=22a， BMC周长为 2x22a+a=(1+2)a，且棱长为 b， S侧=(1+2)ab 例 5已知 CA平面 ，垂足为 A；AB ，BDAB，且 BD 与成 30角；AC=BD=b ，AB=a.求 C， D两点间的距离. 解 : 本题应分两种情况讨论：（1）如下左图 .C，D 在同侧
46、：过D 作 DF，垂足为F. 连 BF，则,30DBF于是221bBDDF. 根据三垂线定理BD AB得 BFAB. 在 RtABF中，AF=24322baBFAB过 D作 DEAC于 E，则 DE=AF ，AE=DF=2b. 所以 EC=AC-AE= b-2b=2b. 故CD=22243222222)(babaAFECDEECb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载(2) 如上右图 .C，D在两侧时：同法可求得CD=223ba点评:本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来
47、求解. 例 6 （06 年湖北卷）如图，在棱长为1 的正方体1111DCBAABCD中，p是侧棱1CC上的一点，mCP. （1）试确定m，使得直线AP与平面11BBDD所成角的正切值为23；（2）在线段11CA上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，QD1在平面1APD上的射影垂直于AP. 并证明你的结论. 解：解法一（1）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点O,AP 与平面11BDD B相交于点， ,连结OG，因为PC平面11BDD B，平面11BDD B平面 APC OG, 故 OGPC ，所以， OG21PC2m. 又 AO BD,AOBB1，所以 AO平面11BDD B，故 AGO是
48、AP与平面11BDD B所成的角 . 在 RtAOG 中， tanAGO23222mGOOA，即 m31. 所以，当m31时，直线AP与平面11BDD B所成的角的正切值为3 2. （2）可以推测，点Q 应当是 AICI的中点 O1，因为D1O1 A1C1, 且 D1O1 A1A ，所以D1O1平面 ACC1A1，又 AP平面 ACC1A1，故D1O1AP . OD1C1CDABA1B1PG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载那么根据三垂线定理知，D1O1在平面 APD1的射影与AP垂直。解法二
49、： (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0， 1) 所以1(1,BD又由10,0AC BDAC BB知，AC为平面11BB D D的一个法向量。设AP 与 平 面11BB D D所 成 的 角 为， 则22si ncos()222AP ACAPACm。依题意有2223 2,221(32)m解得13m。故当13m时，直线AP与平面11BB D D所成的角的正切值为3 2。（ 2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1x， 1)，1( ,1,0)DQxx
50、。依题意，对任意的m 要使 D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于AP，等价于 D1QAP110(1)0.2AP D Qxxx即 Q 为 A1C1的中点时，满足题设要求。 例 7 在梯形 ABCD 中，ADC=90 ， AB DC ，AB=1 ，DC=2 ，2AD，P为平面 ABCD外一点， PAD是正三角形，且PA AB ，求： （1）平面 PBC和平面 PAD所成二面角的大小；（2）D点到平面PBC的距离解: （1）设 AD BC=E ，可知 PE是平面 PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE ，则EPD=90 ， PD PE 又 PA AB ，DA AB ，故 AB平面