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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二二. .圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个同心圆，设为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连为大圆上的任意一点，连接接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点过点B作作BMAN，垂足为，
2、垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋旋转时点转时点M轨迹的参数方程轨迹的参数方程. OAMxyNB分析：设分析：设M点的坐标为（点的坐标为（x,y)点点A 的横坐标与的横坐标与M点的横坐点的横坐标相同标相同,点点B 的纵坐标与的纵坐标与M点的纵坐标点的纵坐标相同相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物OAMxyNB解：解：设设XOA=, 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由此由
3、此:即为点即为点M M轨迹的参数方程轨迹的参数方程. . sinbycosax( 为 参 数)消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为点即为点M M轨迹的普通方程轨迹的普通方程. . 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个同心圆，设为半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连为大圆上的任意一点，连接接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋旋转时点转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的
4、东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 .参数方程参数方程 是椭圆是椭圆 的参数方程的参数方程.cosxasinyb2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭分别是椭圆的长半轴长和短半轴长圆的长半轴长和短半轴长. ab 另外另外 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 的取值的取值范围是范围是0, 2)cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .x bYya焦点在 轴( 为 参 数)y ya aa ab b22221 （ .0)xb我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这
5、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物OAMxyNB归纳比较归纳比较椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=，是旋转角，是旋转角PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.称离心角称离心角我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里
6、呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是参数是参数)
7、，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），），短轴长为（短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），），离心率是（离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.22204936xymxy000,M(
8、,)消元，利用，求出进而求得切点 mxy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物M M设 (3 cos,2 sin)是椭圆上任一点.|3cos4sin -10|5d则小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.分析分析23cos
9、()2sinxy椭圆参数方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时, 取最小值，0098coscos,2sin2sin55此时339 8M( , )210055 5Mxy时，点与直线的距离取最小值。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2.已知椭圆已知椭圆 ,求椭圆内接矩形求椭圆内接矩形面积的最大值面积的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(
10、 cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.2sin 2ab2ab我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上在第一象限的椭圆弧上求一点求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:解 由椭圆参数方程，设点P(3cos ,2sin )PAB即求点 到直线的
11、距离的最大值。,ABCABPS面积一定 需求 S最大即可132xy直线AB的方程为：22| cossin6|23d6662 sin()1413,d当 =时有最大值 面积最大.43 22P这时点 的坐标为(, 2)2360 xy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练习练习1、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4
12、cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sin设 xy236cos6sinxy6 2sin()4我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(3cos ,2sin ).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)23、当参数 变化时，动点所确定的曲线必过点 点 点 点PABCD它的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5
13、练习练习317cos()_,8sin2_.4.椭圆为参数 的中心坐标为准线方程为xy(3, 2)289315x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物小结小结（1）椭圆的参数方程（）椭圆的参数方程（ab0）12222byax)(sincos为参数byax注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。义不同。（2）椭圆与直线相交问题）椭圆与直线相交问题y y22221xabcos( 为参数)sinxbya我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它
14、放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二二. .圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程探究：双曲线探究：双曲线 的参数方程的参数方程22221xyabb12,以原点 为圆心，为半径分别作同心圆Oa bC C1,设 为圆上任意一点，作直线设以为始边，为终边的角为ACOAOxOA1AC过点 作圆的切线AA与x轴交于点A ,22.CC过圆与x轴的交点B作圆的切线BB与直
15、线OA交于点B过点A ,B分别作y轴,x轴的平行线A M,B M交于点M.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程b( , )M x y设( ,0),( , ).A xB b y则1AC点 在圆上A(acos ,asin ).OAAAOA AA 又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：又点B在角 的终边上，tan.yb由三角函数定义有：tanyb1seccos记secxaxaMybsec()tan点点的的轨轨迹迹的的参
16、参数数方方程程是是为为参参数数AA=(x-acos ,-asin )消去参数得：22221xyab我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角与三角 恒等式恒等式 相比较而得到，所以双曲相比较而得到，所以双曲 线的参数方程的实质是三角代换线的参数方程的实质是三角代换.22221xyab22sec1tan 说明：说明： 这里参数这里参
17、数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.aoxy)MBABAb双曲线的参数方程双曲线的参数方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程： sec()tanxayb为 参 数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：bsec()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：b为离心角我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：
18、表里边有一个活的生物例例2、2222100 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？xyMababOMABMAOB(,)OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：解：不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标（asec ,bta为n ）,b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.tan(sec).则直线的方程为： bAxaaMyb我吓了一跳，蝎子是多么丑恶
19、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物OBMAxy解：解：Bax = （sectan ）.2同理可得，点B的横坐标为ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2=ABxxs i n 2c o sc o s2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。MAOB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的
20、生物化下列参数方程为普通方程，并说明它们化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线表示什么曲线?由此你有什么想法？由此你有什么想法？a1(2()1()2）为参数,a0,b0 xtttbytt()2(b)()2为参数,a0, 0ttttaxeetbyee探究探究我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二二. .圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoM(x,y
21、)22.(1)ypx设抛物线的普通方程为tan .(2)yx由三角函数的定义可得(1),(2), x y由解出，(1)()这就是抛物线不包括顶点 的参数方程抛物线的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tanpxpy得 到为 参 数M抛物线上任意点 （x,y)MOX我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoM(x,y)1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 则为参数有抛物线的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tan为 参 数pxpy(0,00)，由此参数方程表示
22、的点正好就是抛物线的顶点当时t222()2(,)y当时，参数方程就表示抛物线=2为px。参数xpttyptt参数 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。t我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物220)由此得抛物线（的参数方程为：ypx p22()2xpttypt 为参数参数 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。t22(0)?思考：类比上面的方法怎样选取参数，建立抛物线 的参数方程xpy p22tan()2tanxpyp为参数tan,(,)tt 如果令22(
23、)2xpttypt为参数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物参数 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。t22(0)所以抛物线 的参数方程为：xpy p22()2xpttypt为参数22(0)进一步探究抛物线 的参数方程，并对四种结果进行归纳总结。 xpy p我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物抛物线的参数方程22()2xpttypt为参数抛物线上除顶点外的任意一点与原点连参数线
24、的的几何意义。：斜率的倒数t220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 为参数总结总结我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物t抛物线上除顶点外的任意一点与原参点数 的几何意义：连线的斜率。22(0)xpy p22()2xpttypt为参数抛物线的参数方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 为参数总结总结我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyoBAM2,2(0),
25、例、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点 ，求点 的轨迹方程。OA Bypx pOAOB OMABABMM( , ),M x y解：设点211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,OAOB2,2(0
26、),例、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。OA Bypx pOAOB OMABABMM221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px ttpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2),AMxptypt222(2,2)MBptxpty,A M B且三点共线，221221(2)(2)(2)(2)xptptyptxypt121 2()20.(3)y ttpt tx即：(1),(2)(3),()20yypxx将代入得到:2220(0)xypxx即M这就是点的轨迹方程我吓了一
27、跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物22211(2)(2)OAptpt由例可得:22222(2)(2)OBptpt21121p tt,?在例题中，点在什么位置时，的面积最小？探最小值是多究少：A BAOB12AOBSOA OB22221p tt2221222ptt2221 2122(1) (1)p t ttt22122()4ptt24p12tt 当且仅当，,A Bx即当点关于 轴对称时，AOB的面积最小，24.p最小值为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我
28、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物21212121212121221()2,11、若曲线为参数 上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、， 、， 、， 、xpttyptMMt tM MAttBttCDttttc22111222(2,2),(2,2)MptptMptpt解：设112222122222M Mptptkptpt121tt练习练习我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物20022( 1,0)、设为抛物线上的动点，给定点，点 为线段的中点，求点 的
29、轨迹方程。MyxMPM MP( , )P x y解：设22Myx为抛物线上的动点，22,2)Mptpt可设 （00( 1,0)MPM M又定点，点 为线段的中点，2212(22ptxtpty为参数）, tP消参数得点 的轨迹方程：2.2pypx练习练习我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2224 cos2 sin3cos0 xyxy解：方程2224 cos2 sin3cos0,()_?3.已知圆的方程为为参数 ，那么圆心的轨迹的普通方程为xyxy22(2cos )(sin )1xy可化为2cos()sin则圆心的参数方程为为参数xy2214xy化为普通方程是2214xyx, ),设圆心为 （My