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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节第三节 复化求积公式复化求积公式将积分区间将积分区间 分成若干个分成若干个小区间小区间，然后在每个小区，然后在每个小区间上采用间上采用低阶低阶的的牛顿牛顿- -柯特斯柯特斯公式。然后将所有小区间公式。然后将所有小区间的计算结果加起来。的计算结果加起来。 , a b一、一、复化复化梯形公式：梯形公式：将积分区间将积分区间 n等分等分： , a b分点分点,kbaxakh hn 在区间在区间 上采用梯形公式上采用梯形公式10 11,(, ,)kkxxkn 1
2、10()( )( )kknbxaxkI ff x dxf x dx 112( )( ()(),kkxkkkxhIf x dxf xf x 1102()()nkkkhf xf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复化梯形复化梯形公式公式1122()( )()( )nnkkhTff af xf b 复化梯形复化梯形公式的几何意义公式的几何意义小梯形小梯形面积面积之和之和近似近似( )yf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的
3、猜测没有错：表里边有一个活的生物复化梯形复化梯形公式的余项公式的余项设设2( ) , f xC a b 212()()( )nnbaRfITfh f ，则余项估计式为：，则余项估计式为：的误差是的误差是二阶的二阶的。由上式可知，误差与由上式可知，误差与 同阶，此时称同阶，此时称复化梯形公式复化梯形公式2h误差的阶数越高，精度越好！误差的阶数越高，精度越好！我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、二、复化复化辛蒲生公式：辛蒲生公式：分点分点,kbaxakh hn 在区间在区间 上采用上采用辛蒲生辛
4、蒲生公式公式10 11,(, ,)kkxxkn ( )( )baI ff x dx 110( )kknxxkf x dx 1110246()()()nkkkkhf xf xf x 其中其中122()()kkhf xf x 将积分区间将积分区间 n等分：等分： , a b111246( )( ()()(),kkxkkkxkhIf x dxf xf xf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复化复化辛蒲生辛蒲生公式公式111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf
5、 xf b 复化辛蒲生复化辛蒲生公式的几何意义公式的几何意义小抛物小抛物面积面积之和之和近似近似( )yf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复化辛蒲生复化辛蒲生公式的余项公式的余项设设4( )( ) , f xCa b 441802( )()()( )nnbahRfISff ，则有余项估计式，则有余项估计式复化辛蒲生复化辛蒲生公式中公式中“半点半点”的处理的处理可将整个区间等分成可将整个区间等分成偶数个偶数个小区间，每两个小区间小区间，每两个小区间合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间
6、。合并起来视为复化辛蒲生公式中的一个小区间。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物111100427321290()( )()()nnnkkkkhCff af xf x 1130143214()()( )nnkkkkf xf xf b 类似地，可以得到类似地，可以得到复化柯特斯复化柯特斯公式公式它的余项为它的余项为6629454( )()()()( ), ( , )nnbahRfICffa b 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的
7、猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2：将：将0,1区间八等分，根据如下函数值表，利用复区间八等分，根据如下函数值表，利用复化化梯形公式、梯形公式、复化复化辛蒲生辛蒲生公式公式计算积分计算积分 的近似值。的近似值。10sin xIdxx 0 1/8 1/4 3/8 10.997398 0.989688 0.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x解：解： 分别采用复化分别采用复化辛蒲生公式、复化辛蒲生公式、复化梯形公式梯形公式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽
8、的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复化梯形复化梯形公式公式1122()( )()( )nnkkhTff af xf b 复化复化辛蒲生辛蒲生公式公式111012426( )( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复化复化梯形梯形公式公式( (n = 8) )，复化复化辛蒲生辛蒲生公式公式( (n = 4) )，81113022 8848153712848( )( )( )( )( )( )( )(
9、)( )( )T ffffffffff 18h 0 945692. 411357046 4888811321424( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Sffffffffff 0 9460832. 14h 0 946083070367.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1）使用使用复化复化梯形公式、梯形公式、辛蒲生辛蒲生公式，首先要确定步长公式，首先要确定步长 ；h（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3
10、）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，计算机上实现起来不方便，通常采用通常采用 “事后估计法事后估计法”。三、三、积分步长的积分步长的自动自动选取选取：注意事项：注意事项： 基本思想基本思想：将积分区间将积分区间逐次分半，逐次分半，比较前后两次的近似值比较前后两次的近似值 终止法则终止法则：前后两次近似值的误差小于已知精度前后两次近似值的误差小于已知精度2nnII 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 具体过程
11、具体过程（以以复化复化梯形公式为例梯形公式为例）1、首先将区间首先将区间 n等分：等分： , a bbahn 1122( )()( )nnkkhTf af xf b 2、再将区间再将区间 2n等分，即步长减半：等分，即步长减半： , a b12hh 11121102222( )()()( )nnnkkkkhTf af xf xf b 1102122()nnkkhTf x 122()()kkhf xf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物上述条件上述条件满足满足，程序终止；否则，继续，程序终止
12、；否则，继续分半分半计算。计算。3、终止条件：终止条件：由由复化复化梯形公式的余项知梯形公式的余项知2112()()nba baITfn 222122()()nba baITfn 24nnITIT ( )fx 变化不大变化不大时时由此得到近似关系式由此得到近似关系式2214 1()nnnITTT 误差控制条件误差控制条件214 1()nnTT 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3：根据如下函数值表，利用复化：根据如下函数值表，利用复化梯形公式计算积分梯形公式计算积分 的近似值，要求误差不超
13、过的近似值，要求误差不超过 。10sin xIdxx 0 1/8 1/4 3/8 10.997398 0.989688 0.976727 1/2 5/8 6/8 7/8 10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471ix()if x解：解： 先在整个区间上用先在整个区间上用梯形公式梯形公式60 5 10. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物110010 92073562( ( )( ).Tff 然后将区间二等分，利用递推公式求出然后将区间二等分，利用递推公式
14、求出211110 9397933222( ).TTf 12102122(), nnnkkhbaTTf xhn 递推公式递推公式进一步二分积分区间，类似可求出进一步二分积分区间，类似可求出4211130 94451532444 ( )( ).TTff 如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果如此不断二分并利用递推公式，可得下表中的结果我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2kn k 表示二分次数，区间数表示二分次数，区间数knTknT1234567890.93979330.94451350.94
15、569090.94598500.94605960.94607690.94608150.94608270.9460830由表中可以看出，对分由表中可以看出，对分8次和对分次和对分7次之间的差次之间的差8762210 00000040 5 103().TT 因而因而 是满足精度要求的解。是满足精度要求的解。820 9460827.T 误差控制条件误差控制条件214 1()nnTT 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物收敛收敛速度慢速度慢 对于对于复化复化辛蒲生辛蒲生公式、公式、柯特斯柯特斯公式可以类
16、似得到公式可以类似得到222141()nnnISSS 223141()nnnICCC 不足不足我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物加速加速收敛收敛2214 1()nnnITTT 222141()nnnISSS 223141()nnnICCC 应用步长逐次减半得到的复化应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化梯形值、复化辛蒲生值辛蒲生值、复化、复化柯特斯柯特斯值与精确值的比较值与精确值的比较nS nC nR 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉
17、快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第四节第四节 龙贝格龙贝格求积公式求积公式 龙贝格龙贝格积分思想积分思想由上节分析知，用由上节分析知，用复化复化梯形公式计算积分值梯形公式计算积分值I2nT的的误差误差大约为：大约为：213()nnTT 令令2213()nnnITTT 243nnTT 由复化由复化梯形公式知梯形公式知12102122()nnnkkbaTTf xn 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物12102412333()()nnnnkkTTbaTf xn 1122( )()( )n
18、nkkbaTf af xf bn 11102246( )()()( )nnkkkkbaf af xf xf bn nS 111012426()( )()()( )nnnkkkkhSff af xf xf b 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物梯形公式的加速方法：梯形公式的加速方法：2244134141nnnnnTTSTT 利用利用复化复化梯形梯形公式前后两次的积分近似值公式前后两次的积分近似值 和和 ，2nTnT按按照上式作出的照上式作出的线性组合线性组合是具有是具有更高精度更高精度的的积分值
19、。积分值。龙贝格积分公式龙贝格积分公式正是由此产生！正是由此产生！上述公式说明：上述公式说明：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物龙贝格龙贝格 值序列值序列辛蒲生加速公式：辛蒲生加速公式：222441nnSS 柯特斯加速公式：柯特斯加速公式：323441nnnCCR 类似于梯形加速公式的处理方法，得到：类似于梯形加速公式的处理方法，得到：222141()nnnISSS 222441nnnSSC 223141()nnnICCC 323441nnCC 柯特斯柯特斯 值序列值序列我吓了一跳，蝎子是多么
20、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物上述用若干个积分近似值算出更精确的积分近上述用若干个积分近似值算出更精确的积分近似值的方法，称之为似值的方法，称之为外推法外推法。4个积分值序列：个积分值序列： 2kT梯形值序列梯形值序列辛蒲生值序列辛蒲生值序列龙贝格值序列龙贝格值序列柯特斯值序列柯特斯值序列 2kS 2kC 2kR1222441kkkTTS 122222441kkkSSC 132232441kkkCCR 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没
21、有错：表里边有一个活的生物外推法外推法的计算步骤的计算步骤1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R32T16S12102122()nnnkkbaTTf xn 8C4R我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3 3：利用利用龙贝格龙贝格积分法式积分法式计算积分计算积分要求精确到小数点后面要求精确到小数点后面7位。位。1 5011.Idxx 解：解：11( )f xx 11 501 51 052. ( )( . ).Tff 根据龙贝格积分法计算得根据龙贝格积分法计算得2111 50
22、 750 9535714292.( .).TTf 21140 9214285713.TTS 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4210 750 751 1250 9259835752. ( .)( .).TTff 42240 9167876243.TTS 211160 91647822815.SSC 具体结果见下表具体结果见下表我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 05.2kT2kS2kC2kRk021340953571429.0921428571.0925983575.0918741799.0916905342.0916787624.0916327874.0916293190.0916478228.0916297224.0916290077.0916294351.0916290776.精确值为精确值为 0.91629073187415506518352721176801