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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 算符算符 2-1 定义定义主要内容：主要内容：2-2 算符的代数运算算符的代数运算2-3 作用于左矢的算符作用于左矢的算符 2-4 厄米算符和幺正算符厄米算符和幺正算符2-5 投影算符投影算符我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质。这些性质很容易回到
2、单一空间的表示方法中去。2-1 定义定义A 在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义定义域域；得出的右矢全体称为值域值域。二者可以不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的，称为线性算符线性算符： aAaAAAA(2.1) 满足下列二条件的，称为反线性算符：反线性算符： *aAaAAAA(2.2) 其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线性算符，下面我们只
3、讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）中每个右矢的作用结果即可。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是它的一个子空间。 可以证明，线性算符具有下列性质：（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。（2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于
4、或小于定义域空间的维数。（3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间： aa其中两个特殊的算符：1 ，1 ，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ABBABABABA这时我们记作BA 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物BAAB 则说这两个算符是可对易的
5、可对易的，或称为两个算符对易对易。 BAABBA,定义：(2.2) 经常使用的几个对易关系：经常使用的几个对易关系： ,FGGF ,MFGFMGF MGFMFGMGF, ,GMFMGFMGF 恒恒等等式式）JacobiBACACBCBA(0, , , 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则： AAAABCACABACABCBA3等等。可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数： nnAaAaAaaAF2210
6、甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问题），例如可以写aAnnneAanAaAaaA03322!131! 211！(2.3) 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式BABAeeeA1A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物111AAAAAA11不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什
7、么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另外两个线性算符B和C存在，满足AB=1, CA=1 (2.4) 则算符A有逆，而且CBA1证明:我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。BAAB1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物21CACABA1CA1定理证毕。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个
8、活的生物2-2 算符的代数运算算符的代数运算 在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算，在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。 AABABBAABAABABBABABABBBA,221100（2.5） . .）（，）（，）（）（）（）（）（7 . 26 . 211BAABABAABABAAiiiii我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例1：证明： niniiniininABAiinnABAinBA00,!,（2.8）
9、证明：证明： 用数学归纳法证明，当n=1时上式为 ,BABAAB原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形式的式子。将原式从左方用A作用，得inininABAAinBA01，）（ AABABBAABAABABBABABABBBA,221100我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 niniiniininABAiinnABAinBA00,!,inininABAAinBA01，）（ nininiiniiniininABAiinnABAiinnABAinBA000111,!,!,1BAAB
10、ABAAiii，）（）（）（在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得 111,!1!1!njinjABAjjnnjn )1(将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得 1011,!1!1niininABAiinnBA这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成立，因此，原式对任何整数n都成立。证毕。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 niniiniininABAiinnABAinBA00,!,例2：证明：
11、 0,!1iiAABAiBee（2.9） 这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。证明：证明： 利用(2.8)式，有 AnnAAeBAnBee!10 000000,!1!1,!1,!1!1iiAininiAniiniAnAAABAieAinBAieABAiinnneBAnBee 000000,!1!1,!1,!1!1iiAininiAniiniAnAAABAieAinBAieABAiinnneBAnBee我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物为证明（2.9）式可取 AABeeFAAAA
12、AAeBAAedFdeBAeeBAABeddF,22AAeBAe,这时AAAAAAeBAAedFdeBAeeBAABeddF,22 000,!1!1iiiiiiiAABAidFdiFBeeAAeBAe,)2( 0,!1iiAABAiBeeABABAABAA, ,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例5：证明Glauber公式：2/CBABAeeee（2.14） 0,BCAC证明：证明：令令)()(BABAeeef)()()()()(BABABABAeBAeeeBeeAfddf)()(BABAAe
13、eeAf)()(BABBBAeeAeeeAf0)(0)(,!1,)(!1)(iiiiiBBABiABiAeeA 0,!1iiAABAiBee我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0, ,)2(ABBAB,)2(2ABABA0)(0)(,!1,)(!1)(iiiiiBBABiABiAeeA)()()(BABBBAeeAeeeAfddf)(),()(BABAeeABAeAf)()(,)(BABABABAeeABeeAeeAf)(,)()()(fBAeeeABeeAeAfBABABABA)()(BABA
14、eeefCBAfln,21)(ln2,212)(BACef, 1)0( fC,ABA,212)(BAef我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)()(BABAeeef,212)(BAef,21)(2BABABAeeee令令1CBABABABABABAeeeeee21)(,21)(,21)(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-3 作用于左矢的算符作用于左矢的算符我们在右矢空间中定义了算符我们在右矢
15、空间中定义了算符A： AAAAA（2.17） 注意我们对左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢。注意我们对左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢。 右矢空间右矢空间 左矢空间左矢空间 *aaABABBABA我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物*aaA（2.19） AA（2.20） 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将（将（2.20）式用于右矢空间的算符）式用于右矢空间的算符B： BB（2.2
16、1） AA 现在有了左矢和右矢两个互为对偶的空间，而算符是两个现在有了左矢和右矢两个互为对偶的空间，而算符是两个空间公用的。算符向右可以作用于右矢，向左可以作用于左矢。空间公用的。算符向右可以作用于右矢，向左可以作用于左矢。算符的这种既能向左，又能向右作用的性质，是对偶空间优于算符的这种既能向左，又能向右作用的性质，是对偶空间优于单一空间的主要之点。单一空间的主要之点。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明：证明： 定理的必要性是明显的，我们证明其充分性。定理的必要性是明显的，我们证明其充分
17、性。 AAAAAAAAAAA0A0AA（2.22） 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0AA0AAiAiiA（2.23） 0AoAoA定理证毕。定理证毕。 第第6节节我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 最后，简单的提一下单一空间的情况。由于单一空间是右最后，简单的提一下单一空间的情况。由于单一空间是右矢空间的复制品，除了内积的说法稍加改变以外，单一空间的矢空间的复制品，除了内积的说法稍加改变以
18、外，单一空间的事情与右矢空间的事情完全一样。但这里伴算符的引入是在左事情与右矢空间的事情完全一样。但这里伴算符的引入是在左右矢两空间进行的，在单一空间情况下，要作一点改变。右矢两空间进行的，在单一空间情况下，要作一点改变。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 BB, BB(2.24) 单一空间的伴算符：单一空间的伴算符：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-4 厄米算符和幺正算符厄米算符和幺正
19、算符一、厄米算符一、厄米算符 若算符满足若算符满足 ，HH则称则称为厄米算符或自伴算符为厄米算符或自伴算符实数H证明：证明： *HHHH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物HHHHH*因此因此0HHHH我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、等距算符和幺正算符二、等距算符和幺正算符 定理定理 以下三个命题是等价的：以下三个命题是等价的：（1） UUU满足，和对任意（2） 成立。对任意U（3） 下面
20、的定理指出了等距算符的主要性质。下面的定理指出了等距算符的主要性质。 1UU证明：证明： 我们依次证明前一条是后一条的充分条件。我们依次证明前一条是后一条的充分条件。 21 UUUU这就是（这就是（2）。）。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物已知有，从而有已知有，从而有 13 UU0) 1(UU于是得于是得1UU这就是（这就是（1）。证毕。）。证毕。幺正算符是满足以下条件的算符：幺正算符是满足以下条件的算符：11UUUUUU，即（2.26） 幺正算符一定是等距算符，因此有上面定理中指出的性质。
21、幺正算符一定是等距算符，因此有上面定理中指出的性质。幺正算符在讨论两组基矢的关系时起重要作用。下面给出两幺正算符在讨论两组基矢的关系时起重要作用。下面给出两条有关的定理。条有关的定理。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明：证明： 证明一组矢量是基矢，只须证明它是正交归一化的，证明一组矢量是基矢，只须证明它是正交归一化的，并且是完全的即可。首先有并且是完全的即可。首先有 ijjijiUUUUUUUUUUiiiiii我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但
22、是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物AAAAAAiiiiiiiii由此得由此得AA1AA (2.27)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1AA1AA(2.28) 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、幺正变换三、幺正变换 从幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模，也不改从幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模，也不改变两矢量的内积，从而不改变正交关系。因此一组基矢经
23、过幺正变两矢量的内积，从而不改变正交关系。因此一组基矢经过幺正变换之后仍是这个空间的基矢。从这一点来看，在物理上有时称变换之后仍是这个空间的基矢。从这一点来看，在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量（在多维空间中）的转动。矢量的幺正变换为矢量（在多维空间中）的转动。 AUUU满足，和对任意成立。对任意U我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物现在，用幺正算符对空间中全部矢量进行幺正变换：现在，用幺正算符对空间中全部矢量进行幺正变换：AUU,（2.29） 1UAUUAUA1UAUA1UAUA（2.30）
24、(2.29)和和(2.30)两式就是矢量与算符的幺正变换。由此可以看出，两式就是矢量与算符的幺正变换。由此可以看出，一个包含矢量和算符的关系式，经过幺正变换之后其形式不变。一个包含矢量和算符的关系式，经过幺正变换之后其形式不变。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2-5 投影算符投影算符iiiP（2.31） iiiP我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物332211123P它作用在任意右矢上得它作
25、用在任意右矢上得332211123P我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物投影算符的性质：投影算符的性质： （1）投影算符是线性算符）投影算符是线性算符； （2）投影算符是厄米算符投影算符是厄米算符； iiiPPP)(iiiiiP*右方确实是实数。对于其它投影算符也可以同样证明。右方确实是实数。对于其它投影算符也可以同样证明。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（3）投影算符的重要性是它的幂等性，即
26、投影算符的重要性是它的幂等性，即 PP 23131,311233121232ijiiiijijijjiiiiiiiiiiiiPPPPPP313131312123jjjiiijjjiiiP123313131Piiijjijii我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（4）完全性）完全性 我们也可以讨论投向整个空间的投影，这时投影算符是我们也可以讨论投向整个空间的投影，这时投影算符是iiiP右边取和是对所有基矢。这个投影算符对空间中任何矢量的作用是右边取和是对所有基矢。这个投影算符对空间中任何矢量的作用是iiiP1iii（2.32） 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1iiiiii1这正是完全性定理中的这正是完全性定理中的Parseveal等式。等式。 上式左方是一个向整个空间投影的投影算符。既然是向全上式左方是一个向整个空间投影的投影算符。既然是向全空间投影，矢量投影后就不会发生任何变化。注意（空间投影，矢量投影后就不会发生任何变化。注意（2.32）式）式的关键是空间的基矢一个都不能少，否则就不能构成完全性关的关键是空间的基矢一个都不能少，否则就不能构成完全性关系。系。