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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有
2、错：表里边有一个活的生物第七章、参数估计第七章、参数估计第一节：第一节：点估计点估计第第三三节：节：估计量的评选标准估计量的评选标准第四节：区间估计第四节：区间估计第五节：正太总体均值与方差的区间估第五节：正太总体均值与方差的区间估计计第六节：（第六节：（01）分布参数的区间估计）分布参数的区间估计第七节：单侧置信区间第七节：单侧置信区间我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有
3、一个活的生物现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题:参数估计问题参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计参数估计估计废品率估计废品率估 计 湖 中 鱼估 计 湖 中 鱼数数估计平均降雨量估计平均降雨量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里
4、边有一个活的生物参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计在参数估计问题中，假定总体分布形式在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数已知，未知的仅仅是一个或几个参数. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第一节第一节 点点 估估 计计一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法二、估计量的求法二、估计量的求法三、估计量的评选标准三、估计
5、量的评选标准我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设总体设总体X的分布函数的分布函数 形式已知形式已知, 是待估是待估参数参数, 是是 X 的一个样本，的一个样本， 是相应的一个样本值是相应的一个样本值.一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法( ; )F x12,nx xx12,nXXX.),(),(2121 来估计未知参数来估计未知参数用它的观察值用它的观察值
6、一个适当的统计量一个适当的统计量点估计问题就是要构造点估计问题就是要构造nnxxxXXX.),(21的的估估计计量量称称为为 nXXX.),(21的的估估计计值值称称为为 nxxx., 简简记记为为通通称称估估计计 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物15011293260456543210knkk次的纱锭数次的纱锭数断头断头断头次数断头次数.,的估计值的估计值
7、作为参数作为参数把把的观察值的观察值再计算出再计算出先确定一个统计量先确定一个统计量 xxXX解解.133. 1 x.133. 1的的估估计计值值为为 .,150,0, 试试估估计计参参数数数数据据如如下下内内断断头头的的次次数数只只纱纱锭锭在在某某一一时时间间段段现现检检查查了了为为未未知知参参数数为为参参数数的的泊泊松松分分布布假假设设它它服服从从以以随随机机变变量量是是一一个个断断头头次次数数在在某某纺纺织织厂厂细细纱纱机机上上的的 X例例1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，
8、蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、估计量的求法二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数, 是随机变量是随机变量, 故故对不同的样本值对不同的样本值, 得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同, 求估求估计量的问题是关键问题计量的问题是关键问题.估计量的求法估计量的求法: (两种两种)矩估计法和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎
9、子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1. 矩估计法矩估计法 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方法思想建立起来的一种估计方法 .是是英国统计学家英国统计学家K.皮尔逊皮尔逊最早提出最早提出的的 .其基本思想是用样本矩估计总其基本思想是用样本矩估计总体矩体矩 . 理论依据理论依据: : 大数定律大数定律11niiXXn ()PE X 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一
10、跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物其中其中 为未知参数，现在从总体为未知参数，现在从总体X 中抽取样本中抽取样本 . . 由由辛钦大数定律辛钦大数定律设总体设总体X的分布函数为的分布函数为11lim0.nkkiniPXEXn可以推广为，可以推广为，.lim,011 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数.lim,011 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数11lim0.niniPXEXn12, , r12(, , )nXXX12( ;, , )rF x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖
11、的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设 X1, X2, , Xn 来自总体来自总体X的样本的样本记总体记总体k阶矩为阶矩为)(kkXE 样本样本k阶矩为阶矩为11nkkiiAXn 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩, 用样本矩的连续用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数函数来估计总体矩的连续函数, 从而得出参数从而得出参数估计，估计，这种估计法称为矩估计法这种估计法称为矩估计法.记总
12、体记总体k阶中心矩为阶中心矩为kkXEXE)( 样本样本k阶中心矩为阶中心矩为11()nkkiiBXXn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤: :11(2),;1,2,nlllliiAAXlkn令令.,21的的方方程程组组个个未未知知参参数数这这是是一一个个包包含含kk 12(1)()( ,)1,2,llkE Xlk 求求出出
13、12(3),k 解解出出其其中中12,k .用用表表示示(4) 用方程组的解用方程组的解 分别作为分别作为 的估计量，这种估计量称为矩估计量的估计量，这种估计量称为矩估计量. 矩估计量矩估计量的观察值称为矩估计值的观察值称为矩估计值.12 ,k 12,k 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,),( ,21的的矩矩估估计计量量求求的的样样本本是是来来自自总总体
14、体未未知知其其中中上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设总总体体baXXXXbabaXn解解)(XE1 ,2ba )(22XE ,41222baba 2)()(XEXD ,1211 niiXnAba令令2224)(12)(Ababa ,112 niiXn例例2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 )(1222121AAabAba即即解方程组得到解方程组得到a, b
15、的矩估计量分别为的矩估计量分别为)(32121AAAa ,)(312 niiXXnX)(32121AAAb ,)(312 niiXXnX我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物., 0,221222的矩估计量的矩估计量和和求求一个样本一个样本是是又设又设均为未知均为未知和和但但且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值设总体设总体 nXXXX 解解)(XE1 ,
16、2221AA 令令解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例3,22 2)()(XEXD )(22XE 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物上例表明上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异不同的总体分布而异.的的矩
17、矩估估计计量量即即得得未未知知例例222, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn矩法矩法的的优点优点是简单易行是简单易行. . 缺点缺点是，当总体类型是，当总体类型已知时，没有已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息. 一般一般场合下场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 最大
18、（极大）似然估计法最大（极大）似然估计法 最大似然法最大似然法是在总体类型已知条件下使用是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的. 然而，这个方然而，这个方法常归功于英国统计学家法常归功于英国统计学家费歇费歇. 费歇在费歇在1922年重新发现了这一方年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一法，并首先研究了这种方法的一些性质些性质 .GaussFisher Fisher我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里
19、边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物极大似然法的基本思想：极大似然法的基本思想：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 .是谁打中的呢？是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外某位同学与一位猎人一起外出打猎出打猎 .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑
20、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 你就会想，猎人命中的概率一般大于这位同你就会想，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想基本思想 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快
21、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设有外形完全相同的两个箱子设有外形完全相同的两个箱子, ,甲箱有甲箱有9999个白个白球球1 1个黑球个黑球, ,乙箱有乙箱有1 1个白球个白球9999个黑球个黑球. .今随机地抽今随机地抽取一箱取一箱, ,然后再从这箱中任取一球然后再从这箱中任取一球, ,结果发现是白结果发现是白球球. .问这球是从哪一个箱子中取出的问这球是从哪一个箱子中取出的? ?分析分析 导致结果是白球的原因有两个导致结果是白球的原因有两个, ,一个是这球一个是这球从甲箱取的从甲箱取的, ,另一个就是这球从乙箱取的另一个就是这球从乙箱取的. .如果是如果是从甲箱取的从甲箱取的,
22、 ,则取得白球的概率为则取得白球的概率为99%;99%;如果是从乙如果是从乙箱取的箱取的, ,则取得白球的概率为则取得白球的概率为1%,1%,由此看到由此看到, ,这球是这球是从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率要大从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率要大得多得多, ,因此很自然的因此很自然的, ,我们认为结论我们认为结论“这球是从甲这球是从甲箱中取出的箱中取出的”比结论比结论“这球是从乙箱中取出的这球是从乙箱中取出的”要合理得多要合理得多. .最后我们作出推断最后我们作出推断, ,这球是从甲箱取这球是从甲箱取出的出的. . 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美
23、丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物最大似然估计法最大似然估计法，是建立在最大似然原理的是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的的直观想法直观想法是：在试验中概率最大的事件最是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。例如，一个试验如有若干个可有可能出现。例如，一个试验如有若干个可能的结果能的结果 ，若在一次试验中，结果，若在一次试验中，结果A出现，出现，则一般认为则一
24、般认为A出现的概率最大。出现的概率最大。,A B C 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 极大似然估计法：极大似然估计法： 当给定样本当给定样本X1,X2,Xn时，定义时，定义似然函数似然函数为：为：这里这里 x1, x2 , xn 是样本的观察值是样本的观察值 .);();();(),;()(22111nnnxXPxXPxXPxxLL);();();(),;
25、()(211nnxfxfxfxxLL 看作参数看作参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多大可将以多大可能产生样本值能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种度量的一种度量 .( )L 选择选择 ,使使 达到最大值达到最大值. ( )L 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物若总体若总体X属属离散型离散型, 其分布律为其分布律为( ; ),P Xxp x1
26、( ; )niip x, 当给定样本值当给定样本值12( ,)nx xx分布律分布律为为似然函数似然函数形式已知形式已知,为待估参数为待估参数,12(,)nXXX是总体是总体X的一个样本，则样本的一个样本，则样本12,nXXX的的它是它是 的函数的函数, 称称( )L为样本的为样本的似然函数似然函数.的概率为的概率为1( )(; ) ,niiLp x后后, 则样本则样本取到观察值取到观察值12,nXXX12,nx xx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为
27、什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物若总体若总体X属属连续型连续型, 其概率密度函数为其概率密度函数为( ; ),f x12,nx xx形式已知形式已知,为待估参数为待估参数,12(,)nXXX是总体是总体X的一个样本，则的一个样本，则12,nXXX的联合的联合1(;)d,niiif xx1( ; )niif x, 设设密度密度为为 是相应于样本是相应于样本的一个样本值的一个样本值, 则则12,nXXX12(,)nXXX的邻域内的概率近似为的邻域内的概率近似为12( ,)nx xx落在点落在点因因 不随不随 而变，故只需考虑而变，故只需
28、考虑1dniix1(;)niif x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物若若1212( ,; )max ( ,; )nnL x xxL x xx则称则称12( ,)nx xx为为 的最大似然估计值的最大似然估计值. 替换成样替换成样为参数为参数的最大似然估计量的最大似然估计量. 若将上式中样本值若将上式中样本值12( ,)nx xx12(,)nXXX,则则得得1
29、2(,)nXXX本本称称称为似然方称为似然方程程dln ( )0dL为最大似然估计的必要条件为为最大似然估计的必要条件为 因此，因此，由于由于与与在同一在同一 处达到处达到最大值，最大值， ( )Lln ( )L我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物求最大似然估计量的一般步骤为：求最大似然估计量的一般步骤为： （1）求似然函数求似然函数( )L（2）一般地，求出一
30、般地，求出ln( )L及似然方程及似然方程 （3）解似然方程得到最大似然估计值解似然方程得到最大似然估计值 12( ,)nx xx（4）最后得到最大似然估计量最后得到最大似然估计量 12(,)nXXXdln ( )0dL我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,), 1(21的的最最大大似似然然估估计计量量求求个个样样本本的的一一是是来来自自设设pXXXXpBXn
31、,2121一个样本值一个样本值的的为相应于样本为相应于样本设设nnXXXxxx解解1 , 0,)1(1 xppxXPXxx的的分分布布律律为为似然函数似然函数iixnixpppL 11)1()(,)1(11 niiniixnxpp例例4我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii , 01)(lndd11 pxnpx
32、pLpniinii令令的的最最大大似似然然估估计计值值解解得得 p.11xxnpnii 的最大似然估计量为的最大似然估计量为p.11XXnpnii 这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,),(22122的的最最大大似似然然估估计计量量和和求求的的一一个个样样本本值值是是来来自自为为未未知知参参数数设设总
33、总体体 XxxxNXn解解的概率密度为的概率密度为X,),;()(222221 xexpX 的的似然函数为似然函数为,21),(222)(12 ixnieL例例5我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL 0),(ln0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 nii
34、xn 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解得解得由由0112 niinx ,11xxnnii 解解得得由由0)()(21212222 niixn ,)(1212xxnnii 为为的最大似然估计量分别的最大似然估计量分别和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它们与相应的矩估计量相同它们与相应的矩估计量相同.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把
35、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,21的最大似然估计量的最大似然估计量求求的一个样本值的一个样本值是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体baXxxxbabaXn解解),min()(nxxxx211 记记),max()(nnxxxx21 的概率密度为的概率密度为X 其它,),;(01bxaabbaxp例例6我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样
36、一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,)()(bxxabxxxann 121等价于因为的函数的似然函数为的函数的似然函数为作为作为ba, 其它,)(),()()(011nnxbxaabbaL有的任意于是对于满足条件baxbxan,)()( 1,)()(),()()(nnnxxabbaL111 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个
37、活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,nnnxxxbxabaL )(,),()()()()(11取到最大值时在即似然函数的最大似然估计值的最大似然估计值ba,min)(inixxa 11,max)(ininxxb 1的最大似然估计量的最大似然估计量ba,min1iniXa .max1iniXb 说明：用求导方法求参数的最大似然估计有时说明：用求导方法求参数的最大似然估计有时行不通，这时要用极大似然原则来求行不通，这时要用极大似然原则来求 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把
38、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物小结小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法: 矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最在最大似然估计法使用不方便时大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法再用矩估计法.);();,()( niinxpxxxLL121似似然然函函数数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样
39、一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物费希尔资料费希尔资料Ronald Aylmer FisherBorn: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, Australia我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东
40、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节第三节 估计量的评价标准估计量的评价标准一、无偏性一、无偏性二、有效性二、有效性三、相合性三、相合性我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物问题的提出问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量
41、可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那那么那一个估计量好？好坏的标准是什么一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、无偏性（无偏估计）一、无偏性（无偏估计）的的一一个个样样本本，为为总总体体若若XXXXn,21 ,的的分分布布中中的的待待估估参参数数是是包包含含在在总总体体 X
42、 )(的的取取值值范范围围是是 无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . ,)(的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量定义,)()(,. EEXXXn2126. ,)(的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量定义,)()(,. EEXXXn2126我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感
43、到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.1 , ,)1()(121的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩总总体体服服从从什什么么分分布布论论的的一一个个样样本本，试试证证明明不不是是又又设设存存在在阶阶矩矩的的设设总总体体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证证同同分分布布，与与因因为为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故故有有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例1. 的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩故故kkkAk 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里
44、呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物特别地特别地:.)(1估估计计量量的的无无偏偏的的数数学学期期望望总总是是总总体体 XEXX 不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是
45、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物. 0, , ,1/ 的的无无偏偏估估计计都都是是和和的的样样本本，试试证证是是来来自自总总体体又又设设其其中中参参数数其其它它度度概概率率密密的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为设设总总体体 ),min(, 00,1);(21)1(21nnxXXXnnXXXXXXxexpX证证)(XE因为因为,)( XE. 的的无无偏偏估估计计量量是是所所以以 X例例2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把
46、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物min,0( ; )0,nxnexpx其其它它(1) (),E Xn故故知知(1)(),E nX. 的无偏估计量也是所以)(1nX 由以上两例可知,同一个参数可以有不同的无偏估计量.(1)12 min(,) nXXXX而而具有概率密度具有概率密度我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活
47、的生物 无偏性虽然是评价估计量的一个重要标无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准，而且在许多场合是合理的、必要的。然而，准，而且在许多场合是合理的、必要的。然而，有时一个参数的无偏估计可能不存在或者不合有时一个参数的无偏估计可能不存在或者不合理。理。 于是，人们又在无偏性的基础上增加了对于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求。若估计量的方差越小。表明该估方差的要求。若估计量的方差越小。表明该估计量的取值（即估计值）围绕着待估参数的波计量的取值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小，也就是更为理想的估计量。为此，动就越小，也就是更为理想的估计量。为此，引入最小方差无偏计。引入最小方差无偏计
48、。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设二、有效性（最小方差无偏估计）二、有效性（最小方差无偏估计） 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.11122212(,)(,)nnXXXXXX与都是都是 的无偏估计量，若有的无偏估计量，若有 ，则称，则称 比比
49、有效有效.12()()DD12我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 .X ,有效较的无偏估计量时试证当)(11nXn 证明证明,)( 2 XD由于由于,)( 2nXD 故有故有,)()(221nXD 又因为,)()(21 nXD 故有 ,1时时当当 n),()()(XDnXD 1 .X 有效较的无偏估计量故)(1nX例例3 (续例续例2)我吓了一跳，蝎子是多么丑
50、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明说明.),()()(,MVUEDD缩写为量的最小方差无偏估计是则称都有的任意无偏估计量使得对于的一个无偏估计量如果存在000 最小方差无偏估计是一种最优估计.定义定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么