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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布主要内容主要内容：随机变量的概念及其分布函数随机变量的概念及其分布函数一维离散型随机变量一维离散型随机变量一维连续型随机变量一维连续型随机变量一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2.1 随机变量的概念及其分布函数随机变量的概念及其分布函数 为什么要研究随机变量为什
2、么要研究随机变量？ 将样本空间中的样本点与数量相联系，从而便于处理。 将随机事件与变量相联系(可用变量表示事件)，这样可以用函数方法研究概率问题。 正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件； 随机变量就是“其值随机会而定”的变量。其机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，6这6个数值中的1个，到底是哪一个，要等掷了骰子后才知道。因此，随机变量是试验结果的函
3、数。123456=, 1,2,3,4,5,6iw w w w w wwii样本空间其中，样本点出现的点数为( )(), 1,2,3,4,5,6iXXX wX wii随机变量 是样本点的函数：其中，R 随机变量就是随机取值的量，其取的值由随机试验的结果（样本点）来确定。随机变量是的映射（函数）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物135X=, =|( )=w w ww X wX简记利用随机变量 表示随机事件：出现的骰子点数为奇数为奇数为奇数123=, =|( )=w w ww X wX简记出现的骰子
4、点数3332345=, =|2( )525=w w w wwX wX简记2出现的骰子点数5我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义2.1.1 设(,F,P)为概率空间，称映射X:R为随机变量，如果对任意xR ，有 | X ()x F (2.1.1) |X()x是满足条件X()x的样本点的集合，是事件域F中的一个随机事件。 通常用X,Y, 来表示随机变量，用x , y , 表示其取值。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测
5、没有错：表里边有一个活的生物说明：说明： 设X=X()，X()是定义在概率空间(,F,P)上的单值实函数。 对于任一实数x，样本点（基本事件）的集合|X()x都是F中的一个随机事件，则称X=X()为随机变量。 随机变量X=X()是样本点（基本事件）的函数，是自变量，在不必强调时，简记X()为X，而的集合|X()x 所表示的事件简记为Xx。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 定义随机变量后，随机事件可以用随机变量的定义随机变量后，随机事件可以用随机变量的取值范围取值范围来描述。例如对任意实数来描
6、述。例如对任意实数x,x1,x2可以证明，形如可以证明，形如:X()=x, :X()x,:X()x, :X()x,:x1X()x2, w:x1X()x2,等 等 ， 都 是 随 机 事 件 ， 在 不 必 强 调等 等 ， 都 是 随 机 事 件 ， 在 不 必 强 调 时 ， 简 记时 ， 简 记:x1X()x2为为x1Xx2。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物用随机变量表示事件用随机变量表示事件:例例：在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数 X 是随机变量。 可能结果 w i
7、=“100个产品中有i个废品” i=0,1,.,100 样本空间=w0, w1, w2, , w100 X=X (w) w X=X(w0)=0, X=X(w1)=1, X=X(w2)=2, , X=X(w100)=100 事件“废品数不超过50”=w : X (w) 50 =w0, w1, , w50 = X 50 事件30X 50=w30, w31, , w49我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2.1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义2.1.2 设(,F,P)为概率空间，X
8、为随机变量，X的分布函数分布函数FX 定义为 :( )|( ),( )()XXFxPw X wx wxRFxP Xx, 对任意简写为： 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理2.1.1 设(,F,P)为概率空间，X为随机变量，其分布函数为FX ，则 上述三条性质为随机变量分布函数的特征性质特征性质，即若有定义于R上的实函数F满足性质(i)(iii)，则可以构造一个概率空间(,F,P)和其上的随机变量X，使FX (x)=F (x)，01212000( )( )(0( )1,.,()(),(
9、), lim( )().( )lim( )()0,lim( )()1)XXXXXXXxxXXXXxxiiiiiFxxRxxFxFxFxxFxFxFxFxFiFxF 对任意有 即单调不减 且对任意 即右连续 。x R我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 ()()() ( )( ) XXP aXbP XbP XaFbFa利用分布函数计算事件的概率：()()( )(0)XXP aXbP XbP XFbFaa()(0)(0)()XXP aXbP XbPFbXFaa()(0)( )()XXP aXbP X
10、bP XFFaba()()()11( )lim( )( )im0)l()XXXXnnXP XaP XaP XaFaP XaFaFFannaFa我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.2 一维离散型随机变量一维离散型随机变量 称只能取有限多个不同的值或可列多个不同的值的这类随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。 设离散型随机变量X的取值为a1, a2,an,，且已知 P(X = ai) = pi, i = 1,2,记 称上式右端为X的概率分布列，简称X的分布列分布列，称(p1 , p2 , ,
11、pn , )为X的概率分布概率分布。概率分布满足以下两个性质：(1) pi0， i = 1,2,3, (2) 1212nnaaaXppp 11iip我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物离散型随机变量的分布函数为其图形为右连续阶梯函数，在各点ai处提高pi。( )()iiaxXFxP Xxp，有ba 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例 设射手进行计分打靶练习，有如下规定：射入区域e1得2分，射
12、入区域e2得1分，否则就得0分）。一射手进行一次射击的得分是随机变量，其可能取得的值为0，1，2。不同的射手在射击之前，他们进行一次射击的得分值都是不可预知的。 射手甲在一次射击中得分X的概率分布列为： 射手乙在一次射击中得分Y的概率分布列为： 8 . 02 . 00210X1 . 03 . 06 . 0210Ye2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物计算Y的分布函数:FY(x)=P(Y x):0 00.6 01( )0.9 1 21 2YxxFxxx当x0时， FY (x)=P(Y x)=P(
13、)=0当0 x1时， FY (x)=P(Y x)=P(Y=0)=0.6当1 x2时， FY (x)=P(Y x)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.6+0.3=0.9当2 x时， FY (x)=P(Y x)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2) =0.6+0.3+0.1=1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.2.1二项分布二项分布 如果一个随机变量X取值为0,1, 2,n，且 称X服从二项分布二项分布，记为XB(n , p) 。二项分布列是：正是因为 是二项式px + (1-p)n 展开中
14、xk的系数，故称(2.2.3)给出的X的分布为二项分布()(1)0,1,2,2.2.3)kkn knP XkC ppkn 0011-1-001nnkkn knnnnnnknXC p qC p qC p qC p q(1)kkn knC pp我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 两点分布两点分布(0- -1分布分布)：若随机变量X只能取两个值0和1，其分布列为： 单点分布单点分布(退化分布退化分布)：若随机变量X只取常数值C，即 实际上这时X并不是随机变量，为了方便和统一起见，将其看作随机变量。0
15、11Xpp= = 11，其分布列： CP XCX 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物当XB(n,p)时，a k) =(= ) P Xkn XP Xn +1+11n 1(=+)()(=+ k) =()(=+)(1)(1)=(1)(=)(1)= (1)=(=) knknkllklkP XknXkP Xkn XP XkP XknpppppP XlppppP Xn -11-我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活
16、的生物同样，也可证同样，也可证 (+ k) =() P Xkn XP Xn 111(+ k)(+)()(+)=()()(1)(1)1(1)= (1)(1)(1)1(1)(1)() =(1)= (1)1(1)knlnlknkllknlnln P Xkn XP XknXkP XknP XkP XkppppppppppP Xnppppp -1-1-1-我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物超几何分布超几何分布例例 在一箱N件装的产品中混进了M件次品，今从中抽取n件(nN) ，从中（即n件中）查出次品的件
17、数X的概率分布-称为超几何分布。C C= ) =,C = 0,1, 2, min(kn kMN MnNP(Xkkn, M-)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物负二项分布负二项分布 在“成功”概率是p的贝努利试验中，出现第r次成功时所作的试验次数X所服从的分布称为负二项分布。由于f(k;r,p)是负指数二项式 展开式中的项，故X所服从的分布称为负二项分布。11(=) =p q=; ,=,+ 1,+ 2,= 1rrk rkP XkCfk r pkr rrqp-rqpp-1-我吓了一跳，蝎子是多么丑
18、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 两个同类型的系统，开始时各有N个备件，一旦出现故障，就要更换一个备件。假定两个系统的运行条件相同，不同时发生故障不同时发生故障。试求当一个系统需用备件而发现备件已用光时，另一系统尚有r个备件的概率Pr。 (r=0,1, ,N)解解 只考虑出故障的时刻故障的出现看作是贝努利试验，有第一个系统出故障A第二个系统出故障A1=( ) =2pP A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 要第
19、一个系统缺备件而第二个系统剩r件，应该是A出现N1次故障(前N次用去所有N个备件，最后一次故障发生时缺乏调换的备件)，而A出现Nr次，这事件的概率为： 对于第二个系统先缺备件的情况可同样考虑，因此所求概率Pr为：2222NrNrNNrNrNrPCC-1-112222+12()1+ 1+ 1 1 22r 1rkrk 1NrNNrf k; r, p = Cp q= f(2Nr, N, /) = C-我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2.3 一维连续型随机变量一维连续型随机变量 当随机变量X在整个
20、实数轴上取值或在实数轴上的一个区间取值，而X的分布函数可写为一个非负可积函数的变上限积分时， 称X为一维连续型随机变量。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义2.3.1 设(,F,P)为概率空间，X为其上的随机变量，FX(x)为X的分布函数。如果存在非负可积函数fX(x)和对任意实数x，使称X为连续型随机变量，称为fX(x)为X的概率密度函数概率密度函数，简称密度函数密度函数。 可以证明，连续型连续型随机变量的分布函数是随机变量的分布函数是连续函数。连续函数。 ( ) =( )xXXFxf
21、t dt x -(,)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物密度函数与分布函数的性质密度函数与分布函数的性质： (1) ( )0(2)( ) d = 1f xff xxfxxx+-x dxlimt dt F xF1 lim我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(3) 而分布函数F(x)的导函数(在f(x)连续点上)就是其密度函数,即 d ( )( ) =dF x f xx x0 xxxx0 xxxx0
22、 x0F xxF xFxlimxf t dtf t dt limxf t dt limxf xxx limf xx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(4) () =( )() =()d XXbaP aXbFbFafxx-(5) 密度函数f(x)并不直接表示概率值的大小。但在区间很小时， f(x) 的数值还是能反映出随机变量在x附近取值的概率大小的。上式表明，在小区间x-x,x内的概率值大约为大约为密度值与区间长度x的乘积。()( )( )xxxP xxXxf ttf xx d我吓了一跳，蝎子是
23、多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(6)可见，连续型随机变量X取一个固定值的概率为0。并且有0(=)( )= 0(=) = 0+0dCCCCP XP XCf ttClim()() ()()( )( )P aXbP aXbP aXbP aXbF bF a 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 设随机变量X的分布函数为() 求常数、；() 判断X是否是连续型随机变量；() 求 P(-1X1/2)解解 (1) 由分
24、布函数性质得 2103103xxAe ,xF xBe,x 2103113xxxxxxlim F xlimAeAlim F xlimBeB我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2)因为 所以所以F(x)不是连续函数不是连续函数，从而X不是连续型随机变量。 011201333xlim F xF 11111( 1)122(31113313)2 PXFFeee我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 设已
25、知连续型随机变量X的密度函数是(1) 确定a的值；(2) 求X的分布函数F(x)；(3) 求概率P(X21)。解解 (1)根据概率密度的性质，有a0以及 称该随机变量X服从标准柯西(Cauchy)分布。222( )=11=() =111=( ) =1，1，ABABABadxx dxdxa limxxa lim arctan AarctanBaaxx2( ) ()1axxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2) 求X的分布函数F(x)：(3)求概率P(X21)：211F(x)P(Xx)111
26、122xx(x)dxdxx(arctanx)arctanx22112112211(1)1(1)1( 11)1111( )11221111(1)( 11)22(11)P XP XPXxxxxP XPXxxPX 21dd对于，有1d我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 向半径为R的圆形靶射击，假定不会发生脱靶的情况，弹着点落在以靶心O为中心，r为半径(rR)的圆形区域的概率与该区域的面积成正比。设随机变量X表示弹着点与靶心的距离，试求试求X的分布函数的分布函数F(x)及其密度函数及其密度函数f(
27、x)解解 因为不会发生脱靶，所以X的一切可能值是0,R， 当xR时，F(x)=P(X x)=P(必然事件)=1 由于 所以，密度函数为：20 0 01 xxF( x)xRRxR( )( )f xF x0( )xxRf xxxRR 20 或 20我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.3.1 均匀分布均匀分布 最简单的连续型随机变量X是密度函数在某有限区间取正的常数值，其余皆取零的随机变量，称为均匀分布。 均匀分布密度函数f(x)为 , XU(a,b)unRif(a,b)1( ) =0Xxa,bb
28、af xxa,ba b称 为服从上均匀分布的随机变量，记作。软件中的均匀分布函数为，- ，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物其分布函数F(x)为：(1)( )()( )00(2)1( )( )0(3)1( )( )001xxxaxaxabxabxaF xP Xxf x dxdxaxbxaF xf x dxdxdxbabaxbF xf x dxdxdxdxba我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(
29、 )1xaxaF xaxbbaxb0 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明说明 均匀分布的概率密度函数fX在a,b上取常数，对任意满足ac0且1，满足分布函数的性质；又因密度函数fX是a,b上的常数(线密度)，故称这类分布为均匀分布。均匀分布的应用举例： 对几何概型，若投点落入区间a,b，设X为落点坐标，则XU(a,b)。 数值计算中的误差量服从均匀分布。dcabcddxab)dXc(P1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的
30、猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 随机地向区间-1,1投掷点，X为其落点坐标，试求关于t的二次方程 t2+3Xt+1=0 有实根的概率。解解 X在-1,1上服从均匀分布，其密度函数为方程t2+3Xt+1=0 有实根的的充要条件是9X2-4 0则方程有实根的概率为111( )20 其它x,f x21232132| |32111(940)(|)( )3223xPXP Xf x dxdxdx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物思考题思考题 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一
31、时刻的可能性是相同的，求(1)乘客候车时间不超过3分钟的概率；(2)若甲、乙、丙分别独立等候1、2、3路汽车时，三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。答案答案：(1) P=0.6； (2)P=0.352我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.3.2 指数分布指数分布 若一个连续型随机变量X具有概率密度函数：则称X服从参数为(0) 的指数分布指数分布，记作 XExp()。R软件中对应软件中对应Xx的的指数分布函数为指数分布函数为pexp(x,a)。 其分布函数为 “稀有事件稀有事件”(在有
32、限时间内只发生有限次，在极短时间内只发生一次)发生的事件间隔服从指数分布。“寿命寿命”问题也可认为服从指数分布。e 0( ) =00 xxf xx-1 0( ) =( )d =00 xxexF xf ttx-我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 指数分布的密度函数与分布函数图像我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2.3.2 设某服务窗口接待顾客的时间T服从参数为1/10的 指数分布(单位：分钟
33、)，则其概率密度为 假设一次服务时间超过15分钟，顾客即评价为“不满意”，试求： (1) 10位顾客中恰有两位评价为不满意的概率。 (2) 10位顾客中最多有两位评价为不满意的概率 (3) 10位顾客中至少有两位评价为不满意的概率。1010( )1000tTetftt我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 首先求出一位顾客评价为“不满意”的概率。用R软件计算有 P(T15)=1-P(T15)=1-pexp(15,0.1)0.2231302 设每位顾客的服务时间相互独立且服从相同参数的指数分布
34、，所以10为顾客中不满意的顾客数YB(10,0.2231) 10位顾客中恰有两位评价为不满意的概率 用R软件计算 22810(= 2) =0.2973P YC p q 31010215151(15)()0 223110-ttP Tedtee.(= 2) =(1,10,0.2231302)0.2972454P Ydbinom我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2) 10位顾客中最多有两位评价为不满意的概率(3) 10位顾客中至少有两位评价为不满意的概率。607299031302)(2,10,0.
35、222102)(Y2010.pbinomqpPkkk 110010(2)=1(1)=12=(1,10,0.2231302)=0 6899464-kkkP YP Yp qpbinom.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性： 指数分布与几何分布一样有无记忆性，若XExp()，对任意t0，s0，有()(+ s)(+)(+) =()() =(+=(s) =()t+sts P Xts XP Xts, XsP XtsP XsP X P XseePts XP Xt Xt e
36、 - 根据条件概率的定义和指数分布的分布函数，有我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.3.3 2.3.3 正态分布正态分布 实际上许多随机变量都服从或近似服从正态分布，如测量误差；产品的质量指示(零件的尺寸、材料的强度、电子管的寿命)；生物学中，同一群体的某种特征(某种动物的身长、体重；某种植物的株高、单位面积产量，)等等。 在理论上可以证明，若在理论上可以证明，若X是某一随机试验的随机变量，如果是某一随机试验的随机变量，如果决定试验结果的是大量的偶然因素的总和，各个偶然因素之间近决定试验结果
37、的是大量的偶然因素的总和，各个偶然因素之间近乎相互独立，并且每个偶然因素的单独作用相对于作用的总和来乎相互独立，并且每个偶然因素的单独作用相对于作用的总和来说均匀地小，那么说均匀地小，那么X就近似服从正态分布。就近似服从正态分布。 正态分布(高斯Gauss)分布是最重要的连续型分布，在概率论中占有极其重要的地位，有着十分广泛的实际应用。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物正态分布正态分布: :若随机变量若随机变量X的分布密度为的分布密度为:其中其中、0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数
38、为、的正态分的正态分布布(高斯分布高斯分布)，记作记作 XN(,2).22() 21( ) = ( + )2x f xex-R软件中正态分布的软件中正态分布的P(Xx)的分布函数为的分布函数为pnorm(x)。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为 特别地称特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度及分为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为：布函数常记为：2/221)(xex xtdtex2/221)( 2221( )( + )2(t )xF xed
39、tx -由于 的原函数无显式表达，故标准正态分布经数值计算被制成表格，供正反查用。2xedx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物若 XN( 2 )，则结论当a=-或b=+时也成立。证明证明 ab，有( ) =()()baP aXb-22222()2221( ) =( )d =ed2121()()2x bbaa( x )bab ta P aXbf xxxxed()baedtxt-令-我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：
40、表里边有一个活的生物( )=()=() =()() 标准变换-查标准正-态分布表aXbP aXbPabbaPY 一般正态分布的概率可由标准正态分布计算。一般正态分布的概率可由标准正态分布计算。 命题命题:若 XN( 2 ), 作标准变换：则新的随机变量 YN(0 1)=X-Y Y( ) =1() =1()bbP XbaP XaP Xa特别地-，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )( )()()(0,1)XxF xP XxPxF xXxxPXN )1 , 0(),(2NXNX ，则，则如如证
41、明：证明：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物正态分布的密度函数与分布函数有下列性质：正态分布的密度函数与分布函数有下列性质：(1) f(x)和和F(x)处处大于零，且具有各阶连续导数；处处大于零，且具有各阶连续导数；(2) f(x)在区间在区间(- -,)内单调增加，在区间内单调增加，在区间(,+)内单调内单调减少，在减少，在x= 处取得最大值处取得最大值 。 当当x- -或或x+时时, f(x)0, 即即x轴轴(y=0)是是f(x)的渐近线的渐近线, 即即x离离越越远，远，f(x)的值越小，
42、表明的值越小，表明对于同样长度的区间对于同样长度的区间, 离离越远，越远，X落在这个区间落在这个区间上的概率越小。上的概率越小。x=处曲线有拐点。处曲线有拐点。1( ) =2f 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 f(x)的图形关于直线的图形关于直线x= 对称，即对称，即f( - -x)=f( +x)。 是是X的数学期望的数学期望(加权平均加权平均值值)。 =0时，时，则有则有f(- -x)=f(x)，即这时，即这时f(x)关于关于y轴轴(x=0)对称。对称。 固定固定，改变，改变 的值的值，
43、则图形沿着，则图形沿着Ox轴平移，形状不变，故正态分布的概轴平移，形状不变，故正态分布的概率密度曲线率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数的位置完全由参数 所确定，所确定， 称为位置参数称为位置参数。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 固定固定 ，改变，改变 ，由于最大由于最大值，可知值，可知 越小越小，密度，密度曲线曲线越尖狭越尖狭；因而；因而X落在落在 附近的概率越大；附近的概率越大； 固定时，固定时， 越大越大，密，密度曲线度曲线越平宽越平宽。 是是X的标准差的标准差(描描述了述了X的发
44、散程度的发散程度)。 1( )2f 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(3) F(-x)=1-F( + x) 特特别别有有 (-x)=1- (x)(4)2,( ,)( )()()()XN XxxFP XxP 若，则x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(5) 如果如果XN(0,1),则则 P(|X|x)=2(x)-1证明证明(6) 如果如果XN(0,1)，则，则 P|X|x=2 1-(x)证明证
45、明|( )()( ) 1( )2 ( ) 1 PXxPxXxxxxxx|1|12( )121( )PXxPXxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 设设XN(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数，借助于标准正态分布的分布函数(x)的表计的表计算：算： (1)PX- -1.24 (2)P|X|1.54 (3)使使P(|X|x)=0.1的的x。(1)(1.24)1 0.89250.1075(2)(1.54)2 0.9382 1( 1.24)1(1.24)2 (1.54) 1= 0.8764
46、-解解P X =P | X |= 0.996-hP Xh = 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例2.3.6 (估计股价变化幅度估计股价变化幅度)设某支股票的初始价格为设某支股票的初始价格为S0=40元，元，预期收益率预期收益率为每年为每年16%，波动率，波动率为每年为每年20%。在。在Black-Scholes模型下模型下(Black和和Scholes为为1997年诺贝尔经济学奖得主年诺贝尔经济学奖得主)，股票在每个时刻股票在每个时刻t的价格的价格St为随机变量，且为随机变量，且其中其中 试
47、估计六个月后这支股票的价格范围试估计六个月后这支股票的价格范围(允许允许出错的概率为出错的概率为5% )解解 六个月即六个月即t = 0.5年，所以由题设有年，所以由题设有)2(20ttBtexpSS-。)(0,2NBt20.50.50.2()(40) (0.16) 0.5 0.2)2() 3.758879(3.758879,0.1414214) (0,1)0.1414214-即 tln SlnBln SNN我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0.5(0,1)(|)=2( ) 15%95%2(
48、) 1=0.95( )=0.975 (R(0.975)=1.96() 1.960.95(3.758879 1.96 0.1414214(若，- 。出错概率为，置信度为，即令-，反差表或用 软件的得，于是-3.7588790.1414214即-X NP Xyyyyquormyln SPPln S0.53.758879 1.96 0.14142143.758879 1.96 0.14142140.50.5) 3.758879 1.96 0.1414214)=0.95()(32.5156.60)=0.95 5%32.5156.60-+即在允许出错的概率为的条件下，预计该只股票六个月后的价格会在和元之
49、间。P eSePS我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布分钟）服从正态分布N(60,16)，（1
50、）如有）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？分钟可用，问应走哪一条路线？（2）如只有）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？分钟可用，问应走哪一条路线？我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：解：应应走走第第二二条条路路线线。的的概概率率为为：走走第第二二条条路路线线及及时时赶赶到到的的概概率率为为：走走第第一一条条路路线线及及时时赶赶到到分分钟钟可可用用时时有有表表示示行行车车时时间间。设设 9938. 0)46070(709772. 0)105070(7070)1(XPXPX我吓了一跳，蝎子