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1、知识点大全 09. 立体几何知识要点一、平面 . 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成3 或 4 部分 .（两个平面平行，两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1 或 3 个平面 .（三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行）注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成8 部分 .（X、Y、Z 三个方向）二、空间直线 . 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在
2、任一平面内注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交若直线 a、b 异面， a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内 . 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等. （）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba，则ba,的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直
3、线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围180,0）（直线与直线所成角90,0）（斜线与平面成角90,0）（直线与平面所成角90,0）（向量与向量所成角)180,0推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P
4、 且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）注：直线a与平面内一条直线平行，则a. （）（平面外一条直线）直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交 . （）（平面外一条直线）若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行 . （）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证
5、之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （）（可能在此平面内）平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）直线l与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 .（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 12方向相同12方向不相同POAa精选学习资料 - - - - - - -
6、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页知识点大全若PA，a AO，得a PO （三垂线定理），得不出 PO . 因为a PO，但 PO 不垂直 OA. 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 注 ：垂直于同一平面的两个平面平行. （）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一直线的两个
7、平面平行.（）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行.（）5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短. 注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（） 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另
8、一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. （ “面面平行， 线线平行” ）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那
9、么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O 作 OA 、OB 分别垂直于21,ll，因为OBPMOAPM,则OBPMOAPM,. 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：cos2222mndnml（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有2,0）7. 最小角定理：21coscoscos（1为最小角，如图）最小角定理的应用（PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4 条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2 条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角
10、相等，一定有3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1 条或者没有 . 五、棱锥、棱柱 . 1. 棱柱 . 直棱柱侧面积：ChS（ C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. 斜棱住侧面积：lCS1（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的 . 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 . 直四棱柱 平行六面体 = 直平行六面体. 图112图2PMABO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页
11、知识点大全四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形侧面与底面边长相等棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形 . 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. 平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. 注：四棱柱的对角线不一定相交于一
12、点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,，则1coscoscos222. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,，则2coscoscos222. 注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，
13、 若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形. 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3VS hV. 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注： i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：Ch21S（底面周长为C，斜高为h ）棱锥的侧面积与底面积的射影公式：cos底侧
14、SS（侧面与底面成的二面角为）附：以知cl，bacos，为二面角bla. 则laS211，blS212，bacos得cos底侧SS. 注： S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. 棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 . labc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页知识点大全特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相
15、等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. 棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. 棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. 棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. 三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. 每个四面体都有外接球，球心0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径. 注： i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方
16、形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证： A BCD ，AC BD BCAD. 令bACcADaAB,得cacbADBCcADabABACBC,，已知0,0cabbca0cbca则0ADBC. iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点O ，则ACACOBACoo,平面FGHBOACBOO90易知EFGH为平行四边形EFGH 为长方形 . 若对角线等，则EFGHF
17、GEF为正方形 . 3. 球：球的截面是一个圆面.球的表面积公式：24 RS.球的体积公式：334RV.纬度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数. 经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度 . 附：圆柱体积：hrV2（r为半径， h 为高）圆锥体积：hrV231（r为半径， h为高）锥形体积：ShV31（ S为底面积，h 为高）4. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，ah36，243aS底，243aS侧得aaaRRaRaaa
18、46342334/424331433643222. 注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量 . 1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 . （） 当0b时，不成立 向量cba,共面即它们所在直线共面. （） 可能异面 BCDAabcFEHGBCDAOOrOR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页知识点大全若ab，则存在小任一实数，使ba. （） 与0
19、b不成立 若a为非零向量，则00 a. （） 这里用到)0(bb之积仍为向量 （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,bba，ab的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ba. （3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a. （4） 共面向量定理： 如果两个向量ba,不共线，则向量P与向量ba,共面的充要条件是存在实数对x、 y 使byaxP. 空间任一点O和不共线三点A、B、C，则) 1(zyxOCzOByOAxOP是 PABC 四点共面的充要条件.（简证：ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1(P、A、B、C 四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.
20、 2. 空间向量基本定理：如果三个向量cba,不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使czbyaxp. 推论：设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点， 则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使OCzOByOAxOP(这里隐含 x+y+z1). 注：设四面体ABCD 的三条棱，,dADcACbAB其中 Q 是 BCD 的重心，则向量)(31cbaAQ用MQAMAQ即证 . 3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. 令a=(a1,a2,a3),),(321bbbb
21、，则),(332211babababa)(,(321Raaaa332211babababaa)(,332211Rbababab332211bababa0332211babababa222321aaaaaa(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2) 232221232221332211|,cosbbbaaababababababa空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd. （2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量 . （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面的法向量
22、， AB是平面的一条射线，其中A，则点B到ADCMBG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页知识点大全平面的距离为|nnAB. 利用法向量求二面角的平面角定理：设21, nn分别是二面角l中平面,的法向量，则21, nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,nn方向相同，则为补角，21,nn反方，则为其夹角）.证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,，且 CDE三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使CECDAB. （常设CECDAB求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB与平面相交） .
23、nBCAn2n1CEDABII. 竞赛知识要点一、四面体 . 1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为31；12 个面角之和为720 ，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180 . 2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，
24、记 V、l、S、R、r、h 分别表示其体积、六条棱长之和、 表面积、 外接球半径、 内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体. （在等腰四面体ABCD 中，记 BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为 V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为 h），则有等腰四面体的体积可表示为222312222222
25、22cbabacacbV；等腰四面体的外接球半径可表示为22242cbaR；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232cbam；h = 4r. 二、空间正余弦定理. 空间正弦定理：sinABD/sin A-BC-D=sin ABC/sin A-BD-C=sin CBD/sin C-BA-D 空间余弦定理：cosABD=cos ABCcosCBD+sin ABCsin CBDcosA-BC-D 立体几何知识要点二、常用结论、方法和公式1.从一点 O 出发的三条射线OA 、OB、OC，若 AOB= AOC，则点 A 在平面 BOC 上的射影在 BOC 的平分线上；OABC
26、D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页知识点大全2. 已知 :直二面角MABN 中，AE M， BFN,EAB=1, ABF=2， 异面直线AE 与 BF 所成的角为，则;coscoscos213.立平斜公式： 如图，AB 和平面所成的角是1， AC 在平面内， BC 和 AB 的射影 BA1成2，设 ABC=3,则 cos1cos2=cos3；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等
27、，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角
28、的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；特别 :对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，
29、则 S侧cos=S底；9.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,因此有 cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有 cos2+cos2+cos2=2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中 S是柱体的底面积，h 是柱体的高 . 13.直棱柱的侧面积和全面积S直棱柱侧= c(c 表示底面周长，表示侧棱长 ) S棱柱全=S底+S侧14棱锥的体积 :V棱锥=Sh31，其中 S是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。15.球的体积公式V=334R，表面积公式24 RS；掌握球面上两点A、B 间的距离求法： （1）计算线段AB 的长，（ 2）计算球心角AOB 的弧度数； (3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；BCADA1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页