2022年高考数学常用公式 .pdf

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1、高考数学（文科）常用公式及重要基础知识记忆检查目录第 一 章集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 2 第 二 章函 数 3 第 三 章倒 数 及 其 应 用 7 第 四 章三 角 函 数 8 第 五 章平 面 向 量 12 第 六 章数 列 13 第 七 章不 等 式 15 第 八 章立 体 几 何 17 第 九 章平 面 解 析 几 何 19 第 十 章概 率 、 统 计 及 统 计 案 例 24第 十 一 章算 法 初 步 及 框 图 25 第 十 二 章推 理 与 证 明 26 第 十 三 章数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入 26 第 十 四 章几 何 证 明 选 讲 26 第

2、十 五 章坐 标 系 和 参 数 方 程 27 第 十 六 章不 等 式 选 讲 27 第 一 章集合与常用逻辑用语1. 集合的基本运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页；2. .集合的包含关系:；3. 识记重要结论：ABAAB;ABAAB; UUUABCCAC B;UUUABCCAC B4对常用集合的元素的认识2340Ax xx中的元素是方程2340 xx的解，A即方程的解集；260Bx xx中的元素是不等式260 xx的解，B即不等式的解集；221,05Cy yxxx中的元素是函数221,05yxxx的函数值，

3、C即函数的值域；22log21Dx yxx中的元素是函数22log21yxx的定义域，D即函数的定义域；,23Mx yyx中的元素可看成是关于, x y的方程的解集，也可看成以方程23yx的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。5. 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 6. 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根, 与0)()(21kfkf不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特 别 地 , 方 程)0(02acbxax有 且 只 有 一 个 实 根 在),(21kk内 , 等 价 于0)()(

4、21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk. 7. 闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1) 当 a0 时，若qpabx,2，则有minmax( )(),( )max(),( )2bf xff xfpf qa；若qpabx,2，则有max( )max( ),( )f xf pf q，min( )min( ),( )f xfpf q. (2) 当 a0 和 x0和 x0)或向右 (0)或向下 (b 0时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa

5、68. （1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：| |abab，,a bR；| |abaccb，,a bR. （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axbc；|axbc；根的分布图像充要条件12xxk18161412101012x=- b/2axxOk0,0,2fkbka12kxxx =-b/2akx2x1Of(k)0,0,2fkbka12xkx1210 x = -b/2akx2x1Of(k)0fk1212,x xk kx = -b/2af(k1)f(k2)x2x1Ok1k212120,0,0,2fkfkbkka12xx、有且只有一个在12,k

6、k内Ok1k2120fkf k或11210,22fkkkbka或21220,22fkkkbka对于0a的情形“大射线小线段”积定和最小和定积最大大射线小线段“一定二正三相等”-3 -1 1 5 - - - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页|xcxba. 69. 无理不等式（1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x；（2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或；（3）2( )0( )( )( )0( )

7、 ( )f xf xg xg xf xg x70. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ()( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x第 八 章立 体 几 何71. 常用公理和定理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平

8、面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行定理 ：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这

9、两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直72. 三余弦定理（最小角定理: 立平斜公式）设 AB与平面 所成的角为1,AC 是内的任一条直线，且AC与 AB的射影 AB/所成的角为2，AB/与 AC所成的角为则12coscoscos. 如右图。73. 空间两点间的距离公式若 A111(,)x yz， B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 74. 面积射影定理：cosSS.( 平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 如图。75 已

10、知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为、 、，因此有222coscoscos1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为、，则有222coscoscos2。 （线线面 12）76 棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比）若每个顶点引出的棱数为m，则： . 77. 球球的半径是R，则其体积343VR, 其表面积24S

11、R；球的半径（R） ，截面圆半径（r） ，球心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关系：22rRd，它们是计算球的关键所在。78. 球的组合体(1) 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2) 球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a. 79 柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）;13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）

12、. 80.空间向量的直角坐标运算：设111222,ax y zbxyz，则121212,abxxyyzz；121212,abxxyyzz；121212a bx xy yzz；ABCBABCB图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页ab121212,xxyyzzR,或111222xyzxyz；ab1212120 x xy yz z81. 二面角l的平面角计算（夹角）公式：设,a b为平面，的法向量。通常情况下，若已知111222,ax y zbxyz，则1 2121 2222222111222cos ,xxy yzz

13、a bxyzxyz82. 空间两点的距离公式：设111222,Ax y zBxyz，则222121212ABdxxyyzz、.83 高中数学角的范围： 向量夹角 :0,180 ；直线的倾斜角:0,180 )； 共面直线的夹角:0,90； 直线和平面夹角:0,90； 异面直线夹角 :(0 ,90 ； 二面角 :0 ,180 。第 九 章平 面 解 析 几 何84. 斜率公式2121yykxx（111(,)P xy、222(,)P xy）tan2. 曲 线yfx在 点000,Pxy处 的 切 线 的 斜 率/0kfx， 切 线 方 程 ：/000yfxxxy.直线ykxb的一个方向向量为1,k85

14、. 直线的五种方程一般两点斜截距（1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P xy，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P xy、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).86. 两条直线的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb; 12121llk k.(2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB

15、yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；（3）直线l:0AxByC中，若0,0AB, 则l垂直于y轴；若0,0AB,则l垂直于x轴。87四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程(1) 定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx),其 中k是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点000(,)Pxy的 直 线 系 方 程 为00()()0A xxB y

16、y, 其中,A B是待定的系数(2) 共点直线系方程：经过两直线1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0A xB yCA xB yC(除2l) ，其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0) ， 是参变量(4) 垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0， B0) 垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量88. 点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 89.0AxByC或0

17、(其中 A、B 不同时为0).所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC(或0)所表示的平面区域是：若0C,则用原点0,0O试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；若0C，则用点1,0或者0,1试，方法同上。90. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr；（2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的直径式方程1212()() ()()0 x xx xy yy y( 圆的直径的端点是11( , )A x y、22( ,)B x y). 91. 点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax

18、的位置关系有三种若2200()()daxby， 则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 92. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 93. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd条公切线相交22121rrdrr; 是 0， （0，1） 、 （1，0）试非 0， （0、0）试有谁垂（吹）谁精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、- - -第 20 页，共 27 页条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 94. 圆 的 切 线 方 程 ： 已 知 圆222xyr 过 圆 上 的000(,)P xy点 的 切 线 方 程 为200 x xy yr; 95. 椭圆椭圆定义：120212MFMFa 2a |F F |（）；2221111F BOFOB（即222cba，注意11Rt FOB） ；设P是椭圆上任意一点，且12F PF， 则有22212122cos2PFPFPFPFc. 下表是椭圆的标准方程及几何性质。椭圆22221(0)xyabab焦半径公式：)(21caxePF，)(22xcaePF；椭圆的的内

20、外部：点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab；点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab；椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 96. 双曲线双曲线定义：1212MF |-| MF= 2a 2a| F F |0；标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形范围|x|a,|y|b |x|b,|y|a 对称性关于 x轴、 y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标0,0ba、，00ba， 、 ，焦点坐标0c，0c，半长轴长半轴椭长为a，短半轴

21、长为b焦距焦距为2cabc、 、关系222abc离心率cea22211bbeoreaax y F1 F2 O A1 A2B2B1 F1 F2 y x O B1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页2221111AOOBAB（即222cba，注意11Rt AOB，其中11AB、为同一象限内的实顶点、虚顶点，O为坐标原点） ；设M是双曲线上任意一点，且12F MF，则有22212122cos2MFMFMFMFc. 下表是其标准方程及几何意义。 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式：21| () |aPFe

22、 xc，22| () |aPFexc; 双曲线的内外部：点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab；点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab; 双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 97. 抛物线抛物线022ppxy的焦点弦（过焦点的弦）为AB，1122,A x yB xy，则有如下结论：焦半径公式：12pAFx；标准方程22221(0)xyabab、22221(0)yxabab、图形范围xa或者xaya或者ya对称性关于 x轴、 y轴成轴对称

23、；关于原点成中心对称顶点坐标0a，0a，焦点坐标0c，0c，半长轴实半轴椭长为a，虚半轴长为b焦距焦距为2cabc、 、关系222acb离心率cea22211bbeoreaa渐近线byxaayxbxyF2F1MyxoF2F1M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页四大方程四条规律： 一 次 项 是谁， 焦点 在谁轴上；一次项系数的正负，代表开口方向的上下或右左； 焦点坐标 一个是 0， 另一非0， 且 刚 好 是一次项系数的14； 准线方程 的数值刚好是焦点的非0 坐标的相反数。焦点弦长pxxpxpxAB212122

24、；212y yp，2124px x.抛物线的内外部：点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p；点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p；抛物线pxy220p上的动点可设为P),2(2ypy，可简化计算。 抛物线的切线方程：抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx；抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. 98. 抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形99. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或22

25、222211212121221(1)()1|1()41|ABkxxkxxkxxx xyyk（弦端点A),(),(2211yxByx， 由方程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,k为直线的斜率）; 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为221AxBy；处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：设A),(),(2211yxByx为椭圆方程焦点准线图形22ypx0pF,02p2px220ypx pF,02p2px22xpy0pF0,2p2py220 xpy pF0,2p2pyF y x O F y x O F y x O F y x O 精选学习资料 - -

26、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页22221(0)xyabab上不同两点，00,Mxx是AB中点，则22ABOMbkka；对于双曲线22221(0)xyabab、，类似可得：22ABOMbkka；对于抛物线22ypx0p有122ABpkyy. 100. 圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A AxByCB AxByCFxyABAB. 第 十 章

27、概 率 、 统 计 及 统 计 案 例101. 等可能性事件的概率：()mP An=102. P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件 A.103. 互斥事件A，B分别发生的概率的和:P(A B)=P(A) P(B) 104. n个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 105. 抽样方法主要有：简单随机抽样( 抽签法、随机样数表法) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例

28、抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：或者kknnNN106. 总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图. 107. 样本平均数：123.nxxxxxn；样本方差：21231.nsxxxxxxxxn；样本标准差：1231.nsxxxxxxxxn。nmA试验的基本事件总数包含的基本事件数事件每部分抽取的个体数样本容量该部分的个体总数总体中的个体数精选学习资料 - - - - - - -

29、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页如果执行下面的程序框图，如图，输入N=5,则输出的数等于_；阅读下面的程序框图，运行相应的程序后， 则输出 S的值为 _. 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法， 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4 位居民的月均用水量分别为:14,xx(单位： 吨 )。根据如图所示的程序框图，若1234,x xxx分别为 1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为_.第 十 一 章算法初步及框图108. 画出计算2222246100的程序框图，如图；对图，若输入12，则执行程序后输出y 的值为 :_ 开始s=0 i

30、=2 s=s+i2 i=i+2 i=100 输出 s 结束是否图开始S1=0,i=1 11ssii1 输出 y 结束N 输入 y Y y=4x x11 输出 s 结束是否图1ii开始S=0,k=1 11ssk kkN 输出 S 结束是否图输入 N k=k+1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页第 十 二 章推 理 与 证 明109. 归纳推理 是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。；类比推理 是从特殊到特殊的推理

31、。通常是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠110. 综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”；反证法，往往用于“正难则反”，思路决定出路。第 十 三 章数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入110. 复数的相等：,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）111. 复数zabi的模：|z=|abi=22ab. 112. 复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i

32、; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd.113.22z zzz(其中zabi和zabi互为共轭复数) 114. 212ii；11iii；11iii虚数单位i的幂的周期性：41nii，421ni，43nii，441ni，nN115. 设1322i,则有 : 210；331；22,. 第 十 四 章几 何 证 明 选 讲116 圆周角定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。推论 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 弦切角定理 ：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的

33、度数等于它所夹弧度数的一半。 切割线定理 ：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点一、二、三、四i负一，相反数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页的线段长的比例中项。推论（割线定理） ：从圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积。 相交弦定理 ：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 直角三角形的射影定理：RtABC中，AD为斜边上的高，如图。则有2CDAD DB;2ACAD AB;2BCBD AB. 第 十 五 章坐

34、标 系 和 参 数 方 程117. 极坐标和直角坐标的互化设为平面上的任一点，它的直角坐标为，极坐标为，如图，由图可知下面的关系式成立：cossinxy或者22tan0 xyyxx这就是极坐标和直角坐标之间的互化公式。第 十 六 章不 等 式 选 讲118. 函数12fxxx的值域。 （ 答案提示：1,， 图像如图所示） 。 函数fx的几何意义；表示在数轴上，到定点1 和 2 的距离之和。函数1,21223,121,1xg xxxxxx值域，（答案提示1,1，其图像如图所示）。函数g x的几何意义：表示在数轴上，到定点1 的距离与到定点2 的距离的差。会根据绝对值的几何意义，求不等式121xx、121xx的解集。具体求解不等式的类型及具体的解法，见“第七章不等式”。图xyOM图DACB图2 1 1 -1 x o 12yxxy x o 3 2 1 2 1 3 12yxxy 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页