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1、浙江师范大学浙江师范大学 11.1.事件间的关系事件间的关系包含关系包含关系：事件：事件A发生必然导致发生必然导致B发生，记为发生，记为相等关系相等关系： ，记为，记为A=B。积事件积事件：事件：事件A与与B同时发生，记为同时发生，记为AB。和事件和事件：事件：事件A或或B至少有一个发生，记为至少有一个发生，记为 差事件差事件：事件：事件A发生而发生而B不发生，记为不发生，记为A- -B。互斥事件互斥事件：事件：事件A、B不能同时发生，即不能同时发生，即 ，又称，又称A、B为为互不相容事件互不相容事件。逆事件逆事件：“A不发生不发生”这一事件称为这一事件称为A的逆事件，记为的逆事件，记为 ，A
2、与与 又称为又称为对立事件对立事件。ABABABABBA且AAAA, AASASA事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算浙江师范大学浙江师范大学 2浙江师范大学浙江师范大学 32.2.事件的运算律事件的运算律交换律交换律：结合律结合律：分配律分配律：对偶律（对偶律（De Morgan德摩根律）德摩根律）：减法减法：;ABBAABBA()()AB CA BC()();ABCABC()()();AB CACBC()()()ABCABAC;ABAB;ABABABAB浙江师范大学浙江师范大学 4 概率概率：做：做n次重复试验，事件次重复试验，事件A发生的次数记为发生的次数记为 ，当当n很大时
3、，若频率很大时，若频率 稳定在常数稳定在常数P附近，则称附近，则称P为随机事件为随机事件A发生的概率，记作发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义概率的公理化定义：设：设E是随机试验，是随机试验，S是样本空是样本空间，对间，对E的每个随机事件的每个随机事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A)，若它满足：若它满足：非负性非负性：规范性规范性： ，S为样本空间（必然事件）为样本空间（必然事件）可列可加性可列可加性：若事件：若事件 中中 则则则称则称P(A)为事件为事件A的发生的发生概率概率。An/Ann( )( )()nfAP A n 0( )1P A( )=1P S12,nA AA,ij
4、A Aij1212()()()P AAP AP A浙江师范大学浙江师范大学 5概率的性质概率的性质1.1.有限可加性：有限个两两互斥的事件有限可加性：有限个两两互斥的事件 则则2.2. 是是A的对立事件，则的对立事件，则3.3. 则则4.4.一一 ，当，当A，B互斥即互斥即 时时5.5. 6.6. 推广：推广：12,nA AA()( )( )()P ABP AP BP AB1212()()()()nnP AAAP AP AP AA 1P AP A AB()= ( )( )P BAP BP A( )0,P( )1P S ( ) 1P A ()( )( )( )P ABCP AP BP C()()
5、()P ABP ACP BC()P ABCAB()( )( )P ABP AP B浙江师范大学浙江师范大学 6预备知识：排列、组合预备知识：排列、组合1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )：设完成一件事有设完成一件事有k类方类方法，每类分别有法，每类分别有 种方法，则完成这件事种方法，则完成这件事情共有情共有 种方法种方法. .2.2.分步计数原理分步计数原理( (乘法原理乘法原理) )：设完成一件事有设完成一件事有k个步个步骤，第一步有骤，第一步有 种方法，种方法，, ,第第k步有步有 种方法，则种方法，则完成这件事情共有完成这件事情共有 种方法种方法. .3.3.排列
6、：排列：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素，按一定次个元素，按一定次序排成一列序排成一列. . 排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排个元素的所有排列的个数记为列的个数记为注：注：(1)(1)mnAn nnm0! 112,km mm12kmmm12km mmkm1m!()!nnm11,mmnnAnA,mnA等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）浙江师范大学浙江师范大学 74.4.组合：组合：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素并成一组个元素并成一组( (与与顺序无关顺序无关).). 组合数：从组合数：从n个不同元素中取出个不同元素中取
7、出m个元素的所有组个元素的所有组合的个数，记为合的个数，记为,mnCmnC!()!nm nm!mnAm(1)(1)!n nnmm浙江师范大学浙江师范大学 8等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）1.1.定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型试验的样本空间的元素只有试验的样本空间的元素只有有限个有限个试验中每个基本事件发生的试验中每个基本事件发生的可能性相同可能性相同2.2.等可能概型中事件概率的计算公式：等可能概型中事件概率的计算公式： n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件为事件A包包含的
8、结果数。含的结果数。 kP An浙江师范大学浙江师范大学 91.1.定义定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率条件概率，记为P(B|A)。例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A=至少有一次为正面H，B=两次掷出同一面，求P(B|A)解：样本空间S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT。则可得： P(B|A)1/3条件概率的计算公式条件概率的计算公式：ABA中包含的基本事件中包含的基本事件 |P ABP BAP A条件概率条件概率浙江师范大学浙江师范大学 10乘法定理乘法定理：设设P(A)0，则有，则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广：
9、推广：P(AB)0，则有，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)设设 为为n个事件个事件 ，且，且121()0nP A AA12,nA AA(2)n 12121121()(|) ()nnnnP A AAP AA AAP A AA1211122211(|,) (|,)(|) ()nnnnP AA AAP AA AAP AA P A浙江师范大学浙江师范大学 11全概率公式全概率公式划分划分：设：设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间， 为为E的一的一组事件，若组事件，若 则称则称 为样本空间为样本空间S的一个划分的一个划分. .例例 E：掷骰子观察点
10、数：掷骰子观察点数 是是S的一个划分的一个划分 不是不是S的一个划分的一个划分123=1 2 34 56BBB， ，12,nB BB, ,1,2,ijB Bij i jn12nBBBS12,nB BB1 2 3 4 5 6S ，123=1 2 33 45 6CCC， ，浙江师范大学浙江师范大学 12全概率公式全概率公式定理定理：设随机试验：设随机试验E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件的事件. . 为为S的一个划分，且的一个划分，且 则则 ，称之为，称之为全概率公式全概率公式。注：注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因因 的作用下事件的作用下
11、事件A发生概率的方法发生概率的方法. . （由因得果由因得果）12,nB BB()0(1,2, )iP Bin1122nn( )( |) ()( |) ()( |) ()P AP A B P BP A B P BP A B P B12,nB BB浙江师范大学浙江师范大学 13贝叶斯公式（贝叶斯公式（由果溯因由果溯因）设设E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件的事件. 为为S的一个划分，且的一个划分，且 ，则则 为为贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式.称称 为为先验概率先验概率；称称 为为后验概率后验概率.( )0, ()0.(1,2, )iP AP Bin12,nB BB1122nn
12、()( |) ( )( | )=( )( |) ( )( |) ()( |) ()iiiiP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P BP A B P B()iP B(|)iP BA浙江师范大学浙江师范大学 14条件概率 条件概率小结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式浙江师范大学浙江师范大学 15独立性独立性独立事件独立事件：两事件：两事件A、B，A发生对发生对B发生没有影响，发生没有影响，B发生也对发生也对A没有影响，则称两事件相互独立没有影响，则称两事件相互独立. .即即P( (A| |B)=)=P( (A) )且且P( (B| |A)=
13、)=P( (B) )，则，则P( (AB)=)=P( (A) )P( (B| |A)=)=P( (A) )P( (B) )例例 抛甲，乙两枚硬币，抛甲，乙两枚硬币，A=甲出现正面甲出现正面H ，B=乙乙出现正面出现正面H ，问，问A，B同时发生的概率同时发生的概率. .定理定理 四对事件四对事件 中有一对相互独中有一对相互独立，则另外三对也相互独立立，则另外三对也相互独立. .独立与互斥的区别独立与互斥的区别： A，B相互独立：相互独立：P( (AB)=)=P( (A) )P( (B) )； A，B互斥：互斥：P( (AB)=0)=0。, ;A BA BA BA B； ； 浙江师范大学浙江师范
14、大学 161212112,2, ,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定义：设为 个随机事件，若对 均有：则称相互独立多个事件的独立多个事件的独立浙江师范大学浙江师范大学 17定义定义 随机试验的结果可以用一个实值变量表示，随机试验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规律性，这种变量称为随机变量，通常用律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表表示。示。中心问题中心问题：将试验结果数量化：将试验结果数量化随机变量分为离散型和连续型：随机变量分为离散型和连续型：1.1.离散型离散型：X的取
15、值是有限个或可列无限个。的取值是有限个或可列无限个。2.2.连续型连续型：X的取值是连续的。的取值是连续的。esxX=f(e)为S上的单值函数，X为实数 浙江师范大学浙江师范大学 18分布律分布律 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的分布律分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来，分布律可用列表的方式直观的表示出来(1,2, )kkP Xxp kXkp1p1x2xnx2pnp1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率分布律（概率分布）分布律（概率分布）浙江师范大学浙江师范大学 191212 0 10 1X Xkp1.1.两点分布，又称为两点分布，又称
16、为(0-1)(0-1)分布分布(0-1)(0-1)分布的分布律为分布的分布律为也可以写为也可以写为对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即 ，则一定能在，则一定能在S上定义一个服从上定义一个服从(0-1)(0-1)分布分布的随机变量，令的随机变量，令例例 抛硬币一次，定义随机变量抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，为出现正面的次数，则则 0 10 1X Xkp1-p p1()(1),0,1kkP Xkppk12 ,Se e120 1 eeXee0 1 X反面正面三种重要的离散型随机变量三种重要的离散型随机变量浙江师范大学浙江师范大学 202.2.
17、二项分布二项分布随机试验随机试验E只有两个可能结果：只有两个可能结果：A和和 ，则称，则称E为为伯伯努利试验努利试验。设。设P( (A)=)=p( (0p1),),则则将伯努利试验将伯努利试验独立独立地地重复重复进行进行n次，称为次，称为n重伯努利重伯努利试验试验。X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，X所有可所有可能取值能取值k=0,1,2,=0,1,2, ,n。求。求P X= =k P X= =k 记记q=1-=1-p，随机变量随机变量X服从参数为服从参数为n, ,p的二项分布，记为的二项分布，记为当当n=1=1时，即为时，即为(0-1)(0-1)分布分
18、布。(1)kkn knC ppA 1P Ap ,0,1,2,kn00()nnkkn knkkP XkC p q()nqp1 ( , )Xb n p浙江师范大学浙江师范大学 21若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为称称X服从参数为服从参数为的的泊松分布，记，记() 0,1,2, 0!keP Xkkk，( )X 3.3.泊松分布泊松分布(Poisson(Poisson分布分布) )Poisson定理 设 是一个常数，n是任意正整数，设 ， 则对于任一固定的非负整数k，有 0nnplim(1)!kkknknnnneC ppk 浙江师范大学浙江师范大学 22当 时近似公式近似效果更佳。1
19、0100npn，20,0.05, 1, kn kkknnpeC ppnpk二项分布与泊松分布有 以下近似公式 ：当时其中！浙江师范大学浙江师范大学 23定义：定义：设设X为一个随机变量，为一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数 称为随机变量称为随机变量X的概率分布函数，简称的概率分布函数，简称分布函数分布函数。由分布函数的定义，有由分布函数的定义，有( )F xP Xx1221P xXxP XxP Xx21()()F xF x分布函数分布函数( )F x 的几何意义：xX注注: 分布函数分布函数F(x)在在x处的函数值表示处的函数值表示x落在区间落在区间 上的概率。上的概率。浙江师范
20、大学浙江师范大学 24 (1) (2)F(x)是一个不减函数是一个不减函数 (3)对于离散型随机变量，若分布律为对于离散型随机变量，若分布律为 则其分布函数则其分布函数( )kkxxF xP XxP Xx0( )1F x,()lim( )1xFF x ,()lim( )0 xFF x kkP Xxp分布函数分布函数1221 0()()()P xXxF xF x( )F x 的性质：浙江师范大学浙江师范大学 25定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： ( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X的概率密度函数，简称概
21、率密度概率密度。 则称X为连续型随机变量，概率密度概率密度浙江师范大学浙江师范大学 2600()( )( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx211221123) () ( ) 0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa对于任意的实数 ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点( )yf x1x2x1面积为12 P xXx浙江师范大学浙江师范大学 271.1.均匀分布均匀分布定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度函数具有概
22、率密度函数 则称则称X在区间在区间( (a, ,b) )上服从上服从均匀分布均匀分布。记为。记为注注：X落在落在( (a, ,b) )上任一子区间内的概率只依赖于子上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。区间的长度，而与位置无关。1 ( )0 axbf xba其他三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量( , )XU a b 1c lcacclblP cXcldtcbaba 设 -与 无关浙江师范大学浙江师范大学 28均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb f x0bxa1b a F x0bxa1浙江师范大学浙江师范大学 29定
23、义：连续型随机变量定义：连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 称称X服从参数为服从参数为 的指数分布，记为的指数分布，记为指数分布的分布函数指数分布的分布函数1 0( ) (0)0 xexf x其它 0 0( ) (0) 1 0 xxF xex2.2.指数分布指数分布浙江师范大学浙江师范大学 301.1.定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 其中其中 为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 的的正态分布正态分布（也称为（也称为GaussGauss分布分布），记为），记为,(0) 2()2212( )()xf xex , 2( ,)XN 三种重要的连
24、续型随机变量三种重要的连续型随机变量3.3.正态分布正态分布浙江师范大学浙江师范大学 312. f( (x) )图形的性质：图形的性质：关于关于 对称对称结论：结论：当当 时，取得最大值时，取得最大值 固定，改变固定，改变 ，f( (x) )的图形不变，沿的图形不变，沿x轴平移轴平移 固定，改变固定，改变 ，由最大值，由最大值 知，知， 越小，越小，图形越尖，图形越尖，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。 时，时， ，即曲线以，即曲线以X轴为渐近线。轴为渐近线。 3.3.分布函数分布函数F( (x) )x0, hPhxPxh x12( )f12( )fx ( )0f x 22()()2
25、2221122( )ttxxF xedtedt浙江师范大学浙江师范大学 324.4.标准正态分布标准正态分布 时，称时，称X服从标准正态分布，服从标准正态分布， 概率密度函数概率密度函数 分布函数分布函数 结论结论： 的函数值见的函数值见第第382382页页标准正态分布表标准正态分布表 例例 ，求，求(0,1)XN0,12212( )xxe2212( )tx xedt()1( )x x ( ) x(0,1)XN 2.013.25PX浙江师范大学浙江师范大学 335.5.正态分布转变为标准正态分布正态分布转变为标准正态分布引理引理 若若 ，则，则结论：结论：I.I. ，则它的分布函数，可写成：，
26、则它的分布函数，可写成：II.II. III.III.正态分布的问题都可以通过线性变换转化为标准正正态分布的问题都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后查书中第态分布，然后查书中第382382页标准正态分布表得解页标准正态分布表得解例例 ，求，求(0,1)XZN( )()XxxF xP XxP2( ,)XN 2( ,)XN 1212xxXP xXxP21()()xx(1,4)XN01.6PX浙江师范大学浙江师范大学 34随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1.1.离散型离散型离散型随机变量的函数分布律的求法：离散型随机变量的函数分布律的求法：1.1.找出找出Y=g(=g(X) )的所有可
27、能取值的所有可能取值2.2.找出每个值对应的找出每个值对应的X取值，将对应概率相加取值，将对应概率相加例例 设随机变量设随机变量X具有分布律具有分布律求求 的分布律。的分布律。X -1 0 1 2 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.40.2 0.3 0.1 0.4kp2YX问题提出问题提出：已知随机变量：已知随机变量X的概率分布，且已知的概率分布，且已知Y=g(X)， 求求Y的概率分布。的概率分布。关键是找出关键是找出Y的等价事件。的等价事件。浙江师范大学浙江师范大学 352.2.连续型连续型 连续型随机变量的函数分布的求法：连续型随机变量的函数分布的求法：1.1.求求Y=g(=g
28、(X) )的取值范围的取值范围2.2.分段讨论分段讨论在取值范围外的在取值范围外的y，在取值范围内的在取值范围内的y， ( )0Yfy 11( ) ()( )( )YXFyP YyP g XyP XgyFgy111( )( )( )( ) ( )YYXXfyFyFgyfgygy浙江师范大学浙江师范大学 36( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY ：设，或。， 则 具有概率密度为：定定理理( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，浙江师范大学浙江师范大学 37第四
29、章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征浙江师范大学浙江师范大学 38定义：定义：定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , 0，有2( )( ).D XP XE X切比雪夫不等式的等价形式2()()1.D XP XE X 注注： 1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E(X)附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究。浙江师范大学浙江师范大学 47第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布浙江
30、师范大学浙江师范大学 48样本样本总体：总体：试验中全部可能的观察值（试验中全部可能的观察值（研究对象的全体，研究对象的全体，如一批灯泡），如一批灯泡），一个总体对应于一个随机变量一个总体对应于一个随机变量X。个体：个体：每个可能观察值称为个体（每个可能观察值称为个体（组成总体的每个元组成总体的每个元素，如某个灯泡）素，如某个灯泡）抽样：抽样：从总体从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。取值过程。随机样本：随机样本：随机抽取的随机抽取的n个个体的集合个个体的集合(X1,X2,Xn), n为样本容量。为样本容量。简单随机样本：简单随机样本：满足以下两个
31、条件的随机样本满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn)1. 每个每个Xi与与X同分布同分布2. X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量说明说明：后面提到的样本均指简单随机样本。后面提到的样本均指简单随机样本。浙江师范大学浙江师范大学 49统计量：统计量：设设 是总体是总体X的样本，则函数的样本，则函数 如果不包含任何未知参数则称为样本如果不包含任何未知参数则称为样本 的一个统计量。的一个统计量。 221231232123323121, 1 2 2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXXXX 思考题：设在总体中抽取样本其中 已知，未知指出在哪些是统计量，哪
32、些不是统计量，为什么？答：只有(4)不是统计量。统计量统计量12,nXXX12,ng XXX12,nXXX简言之，样本的不含任何未知参数的函数。简言之，样本的不含任何未知参数的函数。浙江师范大学浙江师范大学 50常用的统计量常用的统计量1.1.样本平均值：样本平均值：2.2.样本方差：样本方差：3.3.样本均方差：样本均方差：4.4.样本样本k阶阶( (原点原点) )矩：矩：5.5.样本样本k阶中心矩：阶中心矩：11niiXXn22111niiSXXn22111niiXnXn22111niiSSXXn11,1,2,nkkkiiAXXkn11,2,3,nkkiiBXXkn浙江师范大学浙江师范大学
33、 51统计学三大分布统计学三大分布 22122221,0,1 1,2, 11ininiXXXXXNinnn 设设随随机机变变量量相相互互独独立立， 则 则称称 服 服从从自自由由度度为为 的的， 指 指式式右右端端包包分分布布记记为为含含的的独独立立自自由由变变义义度度定定：量量的的个个数数 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 设设并并且且相相互互独独立立， 服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记 则 则称称随随变变量量为为机机定定义义： 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn设设且且独独立立， 则 则称称随随机机变变量
34、量服服定定义义：从从自自由由度度的的 分分布布，记记为为 其 其中中称称为为第第一一自自由由度度，称称为为第第二二自自由由度度浙江师范大学浙江师范大学 52 2 分分布布的的一一些些重重要要性性质质： 22221. ,2nEn Dn设则有22211221212122. ,YnYnY YYYnn设且相互独立，则有22分布的可加性性质 称为，可推广到有限个的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn设且相互独立，则 22222,01,nnfny dyn为分布的上对给定的概率称满足条件的点上 分位点的分位值可查点分布表. 2n02分布的分位点x( )f x0.1,25n例：20.125
35、34.381浙江师范大学浙江师范大学 53 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 设设并并且且相相互互独独立立， 服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记 则 则称称随随变变量量为为机机定定义义： , 01,tnh t dttnt ntt对给定的称满足条件的点为分布的。 分布的上 分位点可上位点查分分布表t分布 121222 1, nnntt nh ttnn 分布的概率密度为： tn f xx0t分布的分位点10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函数1( )( )tntn 浙江师范大学浙江师范大学 54 221211212212, ,/,/ UnVnX
36、YU nFn nFFF n nV nnn设设且且独独立立， 则 则称称随随机机变变量量服服定定义义：从从自自由由度度的的 分分布布，记记为为 其 其中中称称为为第第一一自自由由度度，称称为为第第二二自自由由度度F分布 111212221121221212 ,2,0 2210,nnnnF n nnnn nyyynnn y n分布的概率密度为：其它11221( ,),(,)FF n nFF n n性质：则 浙江师范大学浙江师范大学 55121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 对于给定的称满足条件的点为分布的。的值可分位点查上分布表0 x12 f
37、x21,20nn225n 210n F分布的密度函数0 x12,Fn n( )f xF分布的分位点111221( ,)(,)Fn nF n n0.955,10F例如：例如：0.05110.211.10,54.74F浙江师范大学浙江师范大学 56z,0,1 ,01XNZP XZZ此外 设标若满足准正态条件 分布的上则称点为分位点。1ZZ 浙江师范大学浙江师范大学 57第七章第七章 参数估计参数估计浙江师范大学浙江师范大学 58 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 设总体 的分布函数为
38、是待估计的未知参数，假定总体 的 阶原点矩存在，则有：对于样用样本矩作为总体矩的估计，即本其 阶样本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一个矩估计量矩估计法矩估计法浙江师范大学浙江师范大学 59最大似然估计的求法最大似然估计的求法写出似然函数写出似然函数求求 ，使得，使得 为为 的最大值，求法如下：的最大值，求法如下： 求使得方程求使得方程 又又 在同一在同一 处取得极值，因此，处取得极值，因此， 的最的最大似然估计值可从方程大似然估计值可从方程 中求得中求得 称称 为似然方程为似然方程( )0L 的( )L( )L( )L( )( )LL与l nln ( )0Lln (
39、 )0L1.1.单参数单参数浙江师范大学浙江师范大学 602.2.双参数双参数似然函数似然函数似然方程似然方程121122ln ( ,)0 ln ( ,)0 LL 1211221212( ,);,;,;, nLp xp xp x最大似然估计法最大似然估计法浙江师范大学浙江师范大学 61估计量的评选标准估计量的评选标准 对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？如何评价好坏？ 通常用三条标准检验：通常用三条标准检验：无偏性无偏性，有效性有效性，相合性相合性 无偏性无偏性 ,nEliEm E若那么若则称为估计量 的偏差渐近称 是 的无
40、偏估计量 12,nXXEX满足 则称定义是 的一若参数 的估计个无偏量：估计量。浙江师范大学浙江师范大学 62 有效性有效性 121212 , DD设是 的两个无偏估计， 如果对一切成立，且至少对某一个上式中的不等式成立， 定 则称 比义：有效。浙江师范大学浙江师范大学 63相合性相合性1,0 0, nnXXnlim P设为参数 的估计量， 若对于任意，当时， 依概率收敛于 ， 定 即有：义成立 则称 为 的相合估计量：，或一致估计量浙江师范大学浙江师范大学 642, N单个正态总体的情形2212, 1nXXXNXS 来自和分别为样本均值和方差 置信度为1. 均值 的置信区间 21 已知时,
41、0,1XXNn是 的无偏估计 由 21XPZn 有221P XZXZnn 即22,XZXZnn置信区间为： 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计2Z1222Z浙江师范大学浙江师范大学 65 22 未知时1431Xt nSn由第页定理三有： 22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信区间为： 2t1222t浙江师范大学浙江师范大学 6622. 方差的置信区间设 未知22214311nSn由第页定理二有： 22212221111nSPnn 有2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnS
42、nn置信区间为： 1-?思考题:均方差 的置信度为的置信区间是什么22212122浙江师范大学浙江师范大学 67Thank You!浙江师范大学浙江师范大学 68第八章第八章 假设检验假设检验浙江师范大学浙江师范大学 69问题：设X ，已知，未知。给定 ，问 ？)(2，N00假设. 0100：，：HH 称为原假设(零假设)， 称为备择假设(对立假设)。0H1H通过某种方式确定常数k。若 ，则接受 ，若 ，则拒绝 (接受 )。0 xk0H0 xk0H1H犯两类错误的概率： 若 为真而被拒绝，我们称为犯第一类错误(又称犯“弃真”错误，其概率记为。一般， 0.1. 若 为假而被接受，我们称为犯第二类
43、错误(又称犯“取伪”错误，其概率记为。0H0H浙江师范大学浙江师范大学 70记).()(0000HPHHP拒绝为真拒绝取检验统计量为0/XZn我们称拒绝 的区域W为拒绝域，将接受 的区域称为接受域。0H0H 的拒绝域为W=Z ， 的接受域为 =Z 。0H0H2/z2/zW0(|)|2/kkP XkPZP Znn2/kP Zn即即 0 0 0 0 0Z检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域nXZ/0) 1,0( N2/zZ zZzZ 0 0 0 02tt 0tttt 0 (1)XtSnt
44、 n t 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 2 02 2 0222(1)n 20,a 0)0,a 0)y=logy=loga ax x(a0,a 1,x0(a0,a 1,x0y=lnxy=lnx)( xfy 0yxy11xyaayxlnaxexyaln1log1浙江师范大学浙江师范大学 75函数函数y=f(xy=f(x) ) 导函数导函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanxy=cotxy=cotx)( xfy xycosxysin基本初等函数导
45、数公式表基本初等函数导数公式表2 2xy2cos1xy2sin1浙江师范大学浙江师范大学 76基本求导公式基本求导公式 0. 1 c1)(. 2 xx aaaxxln)(. 3 xxee ( 4. )xx1)ln ( 6. 1)(log axxaln. 5 xxcos)(sin. 7 xxsin)(cos. 8 sec)( 9. 2xx tanxx2-csc)(cot 10. 浙江师范大学浙江师范大学 7721xx 1)(arccot 14. sec)(sec 15. xxxtan -csc)(csc 16.xxxcot -11)(arcsin 11. 2xx )1(-1 x -11)(arccos 12. 2xx )1(-1 x 1)(arc 13. 21tanxx 浙江师范大学浙江师范大学 78函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则可可导导，在在点点及及设设函函数数xxvvxuu)()( 处处也也可可导导，且且在在点点 xvvu)0( vuvu vuvuuv 2vvuvuvu 1.可以推广到有限个可以推广到有限个2.3. .uCCu 特别地特别地,C为常数为常数.，则则vu ，vu