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1、1 矩阵、行列式复习一、理解矩阵的概念并能正确的表示矩阵1、矩阵的定义（1）nm个实数njmiaij,2, 1;, 2, 1,排成m行n列的矩形数表mnnmnnaaaaaaaaaA212221211211叫做矩阵。记作nmA，nm叫做矩阵的维数。矩形数表叫做矩阵 ，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 . （ 2）在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量12,na aa称为 行向量 ；垂直方向排列的数组成的向量12nbbb称为 列向量 ； 由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做m nA。有时矩阵也可用A、B等字母表示。（3）当一个矩阵中所有元素均为0 时，我们称这个矩阵为零矩阵
2、 。如000000为一个23阶零矩阵。（4）当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为 方矩阵 ，简称 方阵 ，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n阶方阵 ，如矩阵512128363836232128、2332441mn均为三阶方阵。在一个n阶方阵中， 从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做 单位矩阵 。 如矩阵1001为 2 阶单位矩阵， 矩阵100010001为 3 阶单位矩阵。（5）如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做 同阶矩阵 ；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵， 当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做
3、相等的矩阵 ，记为AB。2、线性方程组的系数矩阵和增广矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页2 对于方程组231324244xymzxyzxynz中未知数zyx,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441mn，我们叫做方程组的系数矩阵 ；而矩阵2313242414mn叫做方程组的增广矩阵 。3、矩阵的三种变换互换矩阵的两行；把某一行同乘（除）以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行。变换的目的是将线性方程组系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。二、掌握矩阵的加法、减法及乘法运算1、矩阵的和（
4、差）当两个矩阵A，B 的行数与列数分别相同时，将它们对应位置上的元素相加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B 的和（差）， 记作： A+B （ A-B ）运算律：加法交换律： A+B=B+A 加法结合律： （A+B ）+C=A+ （B+C ）2、矩阵与实数的积设为任意实数， 把矩阵 A 的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数的乘积矩阵 .记作：A 运算律：（、为实数）分配律：BABA；AAA)(结合律：AAA3、矩阵的乘积一般，设A 是km阶矩阵， B 是nk阶矩阵，设C 为nm矩阵，如果矩阵C 中第i 行第 j 列元素ijC是矩阵 A 第 i 个行向量与矩阵B 的第 j 个列向量的数量积，
5、那么C 矩阵叫做 A 与 B 的乘积 .记作： C=AB 运算律分配律：ACABCBA)(，CABAACB)(结合律：BABAAB，BCACAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页3 注：交换律不成立，即BAAB三、掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：设二元一次方程组（* ）222111cybxacybxa（其中yx,是未知数，2121,bbaa是未知数的系数且不全为零，21,cc是常数项）用加减消元法解方程组（* ）: 当01221baba时，方程组（ *）有唯一解：1221122112211221ba
6、bacacaybababcbcx，引入记号21aa21bb表示算式1221baba，即21aa21bb1221baba从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等记D21aa21bb，xD21cc21bb，yD21aa21cc，则当D21aa21bb=01221baba时，方程组（ *）有唯一解，可用二阶行列式表示为DDyDDxyx当 D=0 时,0 xyDD无穷组解；当 D=0 时,0,0 xyDorD无解。系数行列式1122abDab也为二元一次方程组解的判别式。四、三阶行列式1、三阶行列式的展开方法：对角线方式展开精选学习资料
7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页4 按某一行 (或列 )展开法333231232221131211aaaaaaaaa =112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a=11a33322322aaaa-12a33312321aaaa+13a32312221aaaa记322211aaM3323aa，111111)1(MA；312112aaM3323aa，12A1221)1(M；312113aaM3222aa，133113)1(MA。称jM1为元素j
8、a1的 余子式 ，即将元素ja1所在的第一行、 第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称jA1为元素ja1的代数余子式，jjjMA111)1(（)3,2,1j。则三阶行列式就可以写成D=333231232221131211aaaaaaaaa =131312121111AaAaAa, 这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地， 若将D按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列) 展开式。五、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC三个顶点坐标分别为),(11yx、),(22yx、),(33yx，则11223311121ABCxySxyxyA、B、C三点共线的充分必要条件为1122331101xyxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页