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1、1.2.1.2.2 2 组合组合有约束条件的排列组合问题有约束条件的排列组合问题 在一次数学竞赛中，某学校有在一次数学竞赛中，某学校有12人通过人通过了初试，学校要从中选出了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)(1)任意选任意选5 5人；人；一题多变一题多变(2)(2)甲、乙、丙三人必须参加；甲、乙、丙三人必须参加；(3)(3)甲、乙、丙三人不能参加；甲、乙、丙三人不能参加； 在一次数学竞赛中，某学校有在一次数学竞赛中，某学校有12人通过人通过了初试，学校要从中选出了初试，学校要从中选出5人去参加市
2、级培训，人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？在下列条件下，有多少种不同的选法？(4)(4)甲、乙、丙三人只能有甲、乙、丙三人只能有1 1人参加；人参加；一题多变一题多变 在一次数学竞赛中，某学校有在一次数学竞赛中，某学校有12人通过人通过了初试，学校要从中选出了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？在下列条件下，有多少种不同的选法？(5)(5)甲、乙、丙三人至少甲、乙、丙三人至少1 1人参加人参加一题多变一题多变v排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题v一、一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念提出分组与分配问题，
3、澄清模糊概念vn个不同元素按照某些条件分配给个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，个不同得对象，称为称为分配问题分配问题，分，分定向分配和不定向分配定向分配和不定向分配两种问题；两种问题；v将将n个不同元素按照某些条件分成个不同元素按照某些条件分成k组，称为组，称为分组问分组问题题.分组问题有分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均不平均分组、平均分组、和部分平均分组分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍
4、组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的是可区分的.对于后者必须先分组后排列。对于后者必须先分组后排列。二、基本的分组问题二、基本的分组问题例例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本一组四本，另外两组各一本.624222C C Cv三、基本的分配的问题三、基本的分配的问题v(一一)定向分配问题定向分配问题v例例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下六本不同的书，分给甲、乙、丙
5、三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？列条件下各有多少种不同的分配方法？v(1)甲两本、乙两本、丙两本甲两本、乙两本、丙两本.v(2)甲一本、乙两本、丙三本甲一本、乙两本、丙三本.v(3)甲四本、乙一本、丙一本甲四本、乙一本、丙一本.v(二二)不定向分配问题不定向分配问题v例例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？列条件下各有多少种不同的分配方法？v(1)每人两本每人两本.v(2) 一人一本、一人两本、一人三本一人一本、一人两本、一人三本.v(3) 一人四本、一人一本、一人一本一人四本、一人一本、一人一本.在
6、今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名、农业企业管理人员和农业法制管文秘人员二名、农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有10人，则可能出现的录用情况有人，则可能出现的录用情况有_种种.21110872520CCC解法解法1:解法解法2:42210422520CCA2520111224410CCCC3620C某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯
7、，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（种（B） 种种 （C） 种种 （D） 种种38C38A39C311CA例例4.4.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份
8、，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC隔板法隔板法59C59126C 隔板法隔板法例例7、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学名学生参加数学竞赛竞赛,每校至少有每校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C隔板法隔板法混混合问题，先合问题，
9、先“组组”后后“排排”对对某种产品的某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法有则这样的测试方法有种可能？种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种可能。576441634ACC次次1正正3次次练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生和名男生和1名女生参加
10、三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不人参加，则有不同参赛方法同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080CCCA2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生体检所学校为学生体检,每每校分配校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多少种不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和
11、护士生和护士.5401)()(24122613CCCC混混合问题，先合问题，先“组组”后后“排排”例例3: 4名男生名男生5名女生，一共名女生，一共9名实习生分配到名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少名的不同分配方案共有多少种？种？ 解：由题意可知，有且仅有解：由题意可知，有且仅有2名女生要分在同名女生要分在同 一个班，一个班， 244544C A A5760混混合问题，先合问题，先“组组”后后“排排”例例7 7、有翻译人员、有翻译人员1111名，其中名，其中5 5名仅通英语、名仅通
12、英语、4 4名仅通名仅通法语，还有法语，还有2 2名英、法语皆通。现欲从中选出名英、法语皆通。现欲从中选出8 8名，其名，其中中4 4名译英语，另外名译英语，另外4 4名译法语，一共可列多少张不同名译法语，一共可列多少张不同的名单？的名单？4413434245425445542423345254()185C CC C CC CC CC CA C C方法一： 44134245625554185C CC C CC C方法二：多面手问题例例5. 5. 有有1212名划船运动员名划船运动员, ,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷, , 4 4人只会划右舷人只会划右舷, , 其它其它5 5人既会划左
13、舷人既会划左舷, , 又会划又会划右舷右舷, , 现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加划船比赛在左右舷参加划船比赛, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ?多面手问题分析：分析：设集合设集合A=只会划左舷的只会划左舷的3个人个人，B=只会划右舷的只会划右舷的4个个人人，C=既会划左舷又会划右舷的既会划左舷又会划右舷的5个人个人先分类，以集合先分类，以集合A为基准，划左舷的为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情个人中，有以下几类情况：况：A中有中有3人；人；A中有中有2人；人；C中有中有1人；人；A中有中有1人，人，C中有中有2人；人；C中
14、有中有3人。人。 第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选中选3人，人， 有有 种种 ,以下类同以下类同 39C332 1312303339358357356C CC C CC C CC C C2174例例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；(1)(1)因为因为4 4只鞋来自只鞋来自2 2双鞋双鞋, , 所以有所以有21045C组对问题组对问题例例8、10双互不相同的鞋
15、子混装在一只口袋中，从中任双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（2） 4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；(2)因为因为4只鞋来自只鞋来自4双不同的鞋双不同的鞋, 而从而从10双鞋中取双鞋中取4双有双有种种 方法方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各各有有 种取法种取法,所以一共有所以一共有 种取法种取法.410C12C411111022223360C C C C C 例例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任
16、意取出意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（3） 4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。(3)(3)因为因为4 4只鞋来自只鞋来自3 3双鞋双鞋, ,而从而从1010双鞋中取双鞋中取3 3双有双有 种种取法取法,3,3双鞋中取出双鞋中取出1 1双有双有 种方法种方法, ,另另2 2双鞋中各取双鞋中各取1 1只只有有 种方法故共有种方法故共有 种取法种取法. .31 0C13C1122C C3111103221440CC C C1211109221440C C C C 121018(9)1440CC8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出双互不相同
17、的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。2828C 44821120C 122872672C C 注意区别注意区别“恰好恰好”与与“至少至少”例例2 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种小结：小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也
18、是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。解：12116522240CCCC）（5C21016 C练习: 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_种解：441 41262()255CCC把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础例例1、如图，某电子器件是由三个电、如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路阻组成的回路,其中有其中有6个焊接个焊接点点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那么焊那么焊接点脱落的可能性共有（接点脱落的可能性共有（ ） (A)63种种
19、 （B）64种种 （C）6种种 （D）36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知12666663CCC由乘法原理可知由乘法原理可知 22 22 22 22 22-1=632-1=63特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排例例3 将将5列车停在列车停在5条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中a列车不停在列车不停在第一轨道上，第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（放方法有（ ）（A）120种种 （B）96种种 （C）78种种 （D）72种种解：解：4113433378AAAA练习练习3 3 从从7 7盆不同的盆花中选出盆不同
20、的盆花中选出5 5盆摆放在主席台前，盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_种种不同的摆放方法。不同的摆放方法。解：解：14561800AA782334455AAAC“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例例4 4 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种）种960960种种 （B B）840840种种 （C C）720720种种 （D D）600600种种解：解：242245960AAA另解：另解：25125
21、4960AAA小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用一个整体，即采用“捆绑法捆绑法”；以某些元素不能相；以某些元素不能相邻为附加条件的邻为附加条件的,可采用可采用“插空法插空法”。“插空插空”有同有同时时“插空插空”和有逐一和有逐一“插空插空”,并要注意条件的限定并要注意条件的限定.211182772()AC C C1277C A211182772()AC C C1277C A例例6：（1）平面内有）平面内有9个点，其中个点，其中4个点在一条直线个点在一条直线上，此外没有上，此外没有3个点在一条直线上，过这个点在一条直线上，过这
22、9个点可确个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？定多少条直线？可以作多少个三角形？（2）空间）空间12个点，其中个点，其中5个点共面，此外无任何个点共面，此外无任何4个个点共面，这点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？个点可确定多少个不同的平面？22941CC或254 5 1C 32254554CCC 3394CC或32275775 1CCC 331251CC或例例8 8、某医院有内科医生、某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现要名，现要派派5 5人参加支边医疗队，至少要有人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和名内科医生和1 1名名外科医生参加，有多少种选法
23、？外科医生参加，有多少种选法？55520812CCC例例9:某外语组有某外语组有9人人,每人至少会英语和日语中的一每人至少会英语和日语中的一门门,其中其中7人会英语人会英语,3人会日语人会日语,从中选出会英语与从中选出会英语与日语的各日语的各1人人,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解：由于解：由于73=109，所以，所以9人中必有人中必有1人既会英语又会日语人既会英语又会日语(1)从只会英语的从只会英语的6人中选人中选1人，只会日语的人，只会日语的2人中选人中选1人，人，有有N1=62=12 (2)既会英语又会日语的那位选定，其余既会英语又会日语的那位选定，其余8人中选人中选1人，人，
24、有有N2=18=8由分类计数原理得由分类计数原理得N= N1+ N2=20.选人问题：选人问题：2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。32328778.()()A CCCC32328778.()()B CCCC32328778.C C CC C3218711.DC C C3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同
25、的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（ ）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）2353. AC A3353.2B C A35.C A233535.2D C AA1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种 。99CD如图，某城市中，如图，某城市中，M、N两
26、地有整齐的道路网，两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从则从M到到N不同的走法共有（不同的走法共有（ ） （A）25 （B）15 （C）13 （D）10总共需总共需6步到达，其中步到达，其中2步向北或者步向北或者4步向东步向东26C46C或或B5、如图、如图,某市有某市有7条南北向街道，条南北向街道，5条东西向街道条东西向街道（每小方格均为正方形）（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？）其中有多少个正方形？ （3）从）从A点到点到B点最短路线的走法有多少种？点最短
27、路线的走法有多少种？2285C C60741111CC首先，只由一个小正方形组成的有首先，只由一个小正方形组成的有7*4由由2*2小正方形组成的有小正方形组成的有6*3由由3*3小正方形组成的有小正方形组成的有5*2由由4*4小正方形组成的有小正方形组成的有4*1所以所以7*46*35*24*1=60 (1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？排列与组合应用题的技巧汇总排列与组合应用题的技巧汇总在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排在解决一个实际问题
28、的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题而解决问题的第一列、组合的综合性问题而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步分类；二是按事情发生的过程进行分步解决排列组合应用题的常用方法：解决排列组合应用题的常用方法：(1)合理分类，准确分步；合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后；特殊
29、优先，一般在后；(3)先取后排，间接排除；先取后排，间接排除；(4)集团捆绑，间隔插空；集团捆绑，间隔插空；(5)抽象问题，构造模型；抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序均分除序，定序除序 用数字用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五组成没有重复数字的五位数，则其中数字位数，则其中数字2,3相邻的偶数有相邻的偶数有_个个(用数字作答用数字作答)例例1【解析解析】数字数字2和和3相邻的偶数有两种情况第相邻的偶数有两种情况第一种情况，当数字一种情况，当数字2在个位上时，则在个位上时，则3必定在十位必定在十位上，此时这样的五位数共有上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当个；第二种
30、情况，当数字数字4在个位上时，且在个位上时，且2,3必须相邻，此时满足要求必须相邻，此时满足要求的五位数有的五位数有AA12(个个)，则一共有，则一共有61218(个个)【答案答案】18【题后小结题后小结】“个位个位”是特殊位置或是特殊位置或“偶数数偶数数字字”是特殊元素，应优先考虑是特殊元素，应优先考虑 从从1,3,5,7,9五个数字中选五个数字中选2个，个，0,2,4,6,8五个数字中选五个数字中选3个，能组成多少个无个，能组成多少个无重复数字的五位数？重复数字的五位数？例例2【题后小结题后小结】对于组合、排列的综合问题，一般采取先取元对于组合、排列的综合问题，一般采取先取元素后排列的方法
31、素后排列的方法 某校高二年级共有六个班级，现从外地某校高二年级共有六个班级，现从外地转入转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为()A80 B90 C100 D120例例3【答案答案】B【题后小结题后小结】本题是平均分组再分配问题平均分组是组合数除以本题是平均分组再分配问题平均分组是组合数除以“组数组数”的排列数，分配就是排列的排列数，分配就是排列1、从6名运动员中选4人参加4 100米接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有 中不同的安排方法. 231 12 23 2.、某次文艺晚会上
32、共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目的方法：个唱歌节目开头，另一个压台；个唱歌节目不相邻；个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻2521440302402880 1. 2.2662423266742511440;2880A A 答： 、(1)(2)A A =30240; (3)A A A43265441 31 323211243 43 44 342222-2 + =252) 24 72 72 84 252.AA AACCA、 一 ）；二 ） *A +AA +AA +(CC4425624C34A24C34A分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，
33、一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人，丙组人，丙组3人；人；分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。例例1 1：12 12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。人按照下列要求分配，求不同的分法种数。答案答案C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。
34、人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A331. 高二要从全级高二要从全级10名独唱选手中选出名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？611524824848(AC A AA A种）练习：练习： 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。每次取全排列。a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？必须排在首位或末位，有多少种排法？一题多变一题多变 解：解： （解题思路）分两步完成，把（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两排在首
35、末两端有端有A22种，再把其余种，再把其余3个元素排在中间个元素排在中间3个位置有个位置有A33种。种。由乘法共有由乘法共有A22. A33=12(种种)排法。排法。优优先先法法 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。每次取全排列。a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？既不在首位也不在末位，有多少种排法？一题多变一题多变 解：解： 先从先从b,c,d三个选其中两个三个选其中两个排在首末两位，有排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有排在中间三个位置有A33种，由乘法原理种，由乘法原理: 共有共有A32. A33
36、=36种排列种排列.间接法：间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。种）排法。 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。每次取全排列。 a,e排在一起多少种排法？排在一起多少种排法？一题多变一题多变 解：解：捆绑法：捆绑法：a,e排在一起，可以将排在一起，可以将a,e看成看成一个整体一个整体,作为一个元素与其它作为一个元素与其它3个元素全排列，有个元素全排列，有A44种；种； a,e两个元素的全排列数为两个元素的全排列数为A22种，由乘法原种，由乘法原理共有理共有A44. A22(种种)排列。排列。 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d, e每
37、次取全排列。每次取全排列。 a,e不相邻有多少种排法？不相邻有多少种排法？一题多变一题多变 解：解：排除法：排除法：即用即用5个元素的全排列数个元素的全排列数A55，扣除扣除a,e排在一起排列数排在一起排列数A44. A22，则，则a,e不相邻的排列总数不相邻的排列总数为为A55- A44. A22（种）种）插空法插空法：即把：即把a,e以外的三个元素全排列有以外的三个元素全排列有A33种，种，再把再把a,e插入三个元素排定后形成的插入三个元素排定后形成的4个空位上有个空位上有A42种，由乘法原理共有种，由乘法原理共有A33. A42 (种种) 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d
38、, e每次取全排列。每次取全排列。 a在在e的左边（可不相邻）有多少种排法？的左边（可不相邻）有多少种排法？一题多变一题多变 解解: a在在e的左边的左边(可不相邻可不相邻)，这表明，这表明a,e只有一种顺只有一种顺序，但序，但a,e间的排列数为间的排列数为A22，所以，可把所以，可把5个元素全排个元素全排列得排列数列得排列数A55，然后再除以然后再除以a,e的排列数的排列数A22。所以共所以共有排列总数为有排列总数为A55 / A22（种）种） 注意：若是注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数个元素按一定顺序，则必须除以排列数 P33。 例例2：已知集合已知集合A=1，2，3，4，5
39、，6，7，8，9，求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。数。 解法解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：个元素中至少有两个是偶数可分成三类：2个偶数，个偶数，3个奇数；个奇数；3个偶数，个偶数，2个奇数；个奇数；4个偶数，个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105 解法解法2：从反面考虑，全部子集个数为从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件而不符合条件的有两类：的有两类： 5 个都是奇数；个都是奇数；4个奇数，个奇数，1个偶数。所以个偶数。所以
40、共有子集个数为共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105（三）排列组合混合问题：三）排列组合混合问题： 例例3：从从6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同学和名男同学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E 5项工作。一共有项工作。一共有多少种分配方案。多少种分配方案。 解解1：分三步完成，分三步完成，1.选选3名男同学有名男同学有C63种，种，2.选选2名女同学有名女同学有C42种，种，3.对选出的对选出的5人分配人分配5种不同的种不同的工作有工作有A55种，根据乘法原理种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种种). 例例3：从
41、从6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同名男同学和学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。项工作。一共有多少种分配方案。一共有多少种分配方案。 解解2：把把工作当作元素，同学看作位置工作当作元素，同学看作位置，1.从从5种种工作中任选工作中任选3种（组合问题）分给种（组合问题）分给6个男同学中的个男同学中的3人人（排列问题）有（排列问题）有C53.A63种种,第二步第二步,将余下的将余下的2个工作分给个工作分给4个女同学中的个女同学中的2人有人有A42种种.根据乘法原理共有根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种种). 亦可先
42、分配给女同学工作亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作再给男同学分配工作,分配分配方案有方案有C52 . A42.A63=14400(种种).2 21 11 11 18 82 27 77 72 2( (A A + +C C C C C C ) )1 12 27 77 7C C A A2 21 11 11 18 82 27 77 72 2( (A A+ + C C C C C C ) )1 12 27 77 7C C A A典型例题典型例题 1. 4名优等生被保送到名优等生被保送到3所学校，每所学校，每所学校至少所学校至少得得1名，则不同的保送方案总数为（名，则不同的保送方案总数为（ ）。）
43、。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 2.若把英语单词若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（出现的错误的种数是（ ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 3.小于小于50000且含有两个且含有两个5，而其它数字不重复的五位数，而其它数字不重复的五位数有（有（ ）个。）个。 （A) (B) (C) (D) 282414CCC282414ACC442814ACC282414AAAABB2343C A3252C1A 练练 习习 3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。人按照下列要求分
44、配，求不同的分法种数。(1)分为三组，每组分为三组，每组5人人,共有共有_ 种不同的分法。种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各人，另两组各4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组人，一组5人，一组人，一组4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。4. 8名同学选出名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有不站中间两位的排法有_种。种。 5. 某班有某班有27名男生名男生13女生，要各选女生，要各选3人组成人组成班委会和
45、团支部每队班委会和团支部每队3人，人，3人中人中2男男1女，共有女，共有_ 种不同的选法。种不同的选法。3355510515/ ACCC22334448715/ AACCC334459615ACCC222226331237124446AACAACCAC221224213427ACCCCv1.(2011大纲全国卷大纲全国卷)某同学有同样的画册某同学有同样的画册2本，同样本，同样的集邮册的集邮册3本，从中取出本，从中取出4本赠送给本赠送给4位朋友，每位朋位朋友，每位朋友友1本，则不同的赠送方法共有本，则不同的赠送方法共有()vA4种种 B10种种vC18种种 D20种种练习:解析：解析：分两种情况
46、：选分两种情况：选2本画册，本画册，2本集邮册本集邮册送给送给4位朋友有位朋友有 种方法；选种方法；选1本画册，本画册，3本集邮册送给本集邮册送给4位朋友有位朋友有 种方法，所以不种方法，所以不同的赠送方法共有同的赠送方法共有6410(种种)，故选B.22326C A 12224C A v解题过程需分两步：v第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C128种选法；v第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C74种选法根据分步乘法计数原理，此人有C128C7417 325种不同的投资方式v2.2.某人决定投资于某人决定投资于8 8种股票和种股票和4 4种债券，经纪人种债券，经纪
47、人向他推荐了向他推荐了1212种股票和种股票和7 7种债券问：此人有种债券问：此人有多少种不同的投资方式？多少种不同的投资方式？v例例4.(2011北京高考北京高考)用数字用数字2,3组成四位数，且数字组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有至少都出现一次，这样的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答)v解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：v“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C414(个)四位数v“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C426(个)四位数v“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C434(个)四位数v综上所述，共可组成14个这样的四位数v答案：
48、14v 例例5.“5.“抗震救灾，众志成城抗震救灾，众志成城”，在我国甘肃舟曲的，在我国甘肃舟曲的抗震救灾中，某医院从抗震救灾中，某医院从1010名医疗专家中抽调名医疗专家中抽调6 6名奔赴名奔赴某灾区救灾，其中这某灾区救灾，其中这1010名医疗专家中有名医疗专家中有4 4名是外科专名是外科专家问：家问：v(1)(1)抽调的抽调的6 6名专家中恰有名专家中恰有2 2名是外科专家的抽调方法名是外科专家的抽调方法有多少种？有多少种？v(2)(2)至少有至少有2 2名外科专家的抽调方法有多少种？名外科专家的抽调方法有多少种？v(3)(3)至多有至多有2 2名外科专家的抽调方法有多少种？名外科专家的抽
49、调方法有多少种？l规范解答规范解答(1)分步：首先从分步：首先从4名外科专家中任选名外科专家中任选2名，名，l有有 种选法，再从除外科专家的种选法，再从除外科专家的6人中选取人中选取4人，有人，有l 种选法，所以共有种选法，所以共有 种抽调方法种抽调方法.24C46C24469 0CCv(2)“至少至少”的含义是不低于，有两种解答方法，的含义是不低于，有两种解答方法，v方法一方法一(直接法直接法)：按选取的外科专家的人数分类：按选取的外科专家的人数分类：v选选2名外科专家，共有名外科专家，共有C42C64种选法；种选法；v选选3名外科专家，共有名外科专家，共有C43C63种选法；种选法；v选选
50、4名外科专家，共有名外科专家，共有C44C62种选法；种选法；v根据分类加法计数原理，共有根据分类加法计数原理，共有vC42C64C43C63C44C62185种抽调方法种抽调方法.方法二方法二(间接法间接法)：不考虑是否有外科专家，共有：不考虑是否有外科专家，共有 种选法，考虑选取种选法，考虑选取1名外科专家参加，有名外科专家参加，有 种种选法；没有外科专家参加，有选法；没有外科专家参加，有 种选法，所以共种选法，所以共有：有： 种抽调方法种抽调方法.61 0C1546C C66C615610466185CC CCv(3)“(3)“至多至多2 2名名”包括包括“没有没有”、“有有1 1名名”