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1、高二上学期期中数学试卷（理科）一. 选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）在空间直角坐标系中，点A（1， 0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A （ 1，0， 1）B （1，0， 1）C （0， 1，1）D （1， 0， 1）2 （5 分）如图是2014 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）A 86，84 B 84，84 C 84，86 D 85，86 3 （5 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线BC1和 CD1所成角为
2、（）ABCD4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出i 的值为（）A 2 B 3 C 4 D 5 5 （5 分）如图， AB是圆 O的直径， PA垂直圆 O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页A 1 B 2 C 3 D 4 6 （5 分）一组数据中每个数据都减去80 构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2 ，方差是 4.4 ，则原来一组数的方差为（）A 5.6 B 4.8 C 4.4 D 3.2 7 （5 分）已知 m ， n 为两条不
3、同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A m ? ，n? ，m ，n ? B ，m ? ，n? ，? m nC m ，m n ? nD m n，n ? m 8 （5 分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与 ED异面；CN BE ；CN与 BF成 60角；DM BN 以上四个命题中，正确的命题序号是（）A B C D 9 （5 分）点 A、B、C 、D在同一个球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2 ，则该球的表面积为（）A 16B 12C 8D 410 （5 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，动点 P在对角线 BD1上，过点 P作垂
4、直于 BD1的平面 ， 记这样得到的截面多边形（含三角形） 的周长为 y， 设 BP=x， 则当时，函数y=f （ x）的值域为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页ABCD二. 填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.11 （5分）某班有男生25 名，女生 15 名，采用分层抽样的方法从这40 名学生中抽取一个容量为 8 的样本，则应抽取的女生人数为名12 （ 5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是13 （ 5分）如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，则三棱锥A1ABC1的体积是
5、14 （ 5分）如图，已知二面角l 的大小是 60，线段AB Bl ，AB与 l 所成的角为 30，则 AB与平面 所成的角的正弦值是15 （ 5分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段 B1D1上有两个动点E，F，且 EF=1，则下列结论中正确的有（填写你认为正确的序号）AC 面 BEF ；AF与 BE相交；若 P为 AA1上的一动点，则三棱锥PBEF的体积为定值；在空间与直线DD1，AC ，B1C1都相交的直线只有1 条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页三、解答题（共6 个题，共75 分，要求
6、写出解答过程）16 （ 12 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1中， E为 DD1的中点（）证明： AC BD1；（）证明：BD1平面 ACE 17 （ 12 分）如图，在四面体ABCD 中， CB=CD ，AD BD ，点E，F分别是 AB ，BD的中点（ I ）求证： BD 平面EFC ；（）当AD=CD=BD=1，且 EF CF 时，求三棱锥C ABD的体积 VC ABD18 （12 分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2014-2015 学年高二年级2014 年 9 月与10 月这两个月内参加体
7、育运动的情况进行统计，随机抽取了100 名学生作为样本， 得到这 100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图：（I ）求 a，p 的值，并补全频率分布直方图；（）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；分组运动时间（小时） 频数频率1 5 0.05 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页19 （12 分）已知一几何体的三视图如图所示，请在答题卷上作出该几何体的直观图，并回答下列问题（）求直线CE与平面 ADE所成角的大小；（）设点
8、F， G分别为 AC ，DE的中点，求证： FG 平面ABE 20 （ 13 分）如图，在梯形PDCB 中， BC=PD ，DC PB ， PB=3DC=3 ，PD=，DA PB ，将 PAD沿 AD折起，使得PA AB ，得到四棱锥PABCD ，点 M在棱 PB上（）证明：平面PAD 平面 PCD ；（）如果 AM PB ，求二面角CAM B的正切值；（）当PD 平面 AMC 时，求三棱锥PABC与三棱锥M ABC的体积之比21 （ 14 分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC ，AC BC ， AA1=2，AB=2，M为AA1的中点（1）若点 N是线段 AC上异于
9、A、C的一动点，求异面直线BC与 A1N所成角的大小；（2）若二面角C BM A的大小为60，求 BC的长；（3）在（ 2）的条件下，求AB1与面 BCM 所成角的正弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一. 选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）在空间直角坐标系中，点A（1， 0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（）A
10、（ 1，0， 1）B （1，0， 1）C （0， 1，1）D （1， 0， 1）考点：空间中的点的坐标专题：空间位置关系与距离分析：坐标 A（x，y，z）关于原点对称，的坐标为（x， y， z） ，写出结果即可解答：解：在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）关于坐标原点的对称点的坐标为（1，0， 1） 故选： A点评：本题考查空间点与点的位置关系，对称知识的应用，考查计算能力2 （5 分）如图是2014 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）A 86，84 B 84，84 C 84，86 D 85，86 考点：茎叶图专题：概率与统计分
11、析：根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出中位数与众数即可解答：解：根据茎叶图，得；七位评委为某考生打出的分数从小到大依次是77，84，84， 84，86，87，93；该组数据的中位数是84，众数是84故选： B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数的应用问题，是基础题3 （5 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线BC1和 CD1所成角为（）ABCD考点：异面直线及其所成的角专题：空间角分析：建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角解
12、答：解：以 B为原点， BA ，BC ，BB1所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则 B（0，0，0） ，C（0，1，0） ，C1（0，1，1） ，D1（1，1，1） ，所以=（0，1， 1） ，=（1，0，1） ，并且 BC1=，CD1=，所以=，所以异面直线BC1和 CD1所成角；故选 B点评：本题借助于向量的数量积求异面直线所成的角，正确建立空间直角坐标系，明确对应向量的坐标是关键另外： 本题可以连接AD1，AC ，得到 ACD1是等边三角形， 而角 AD1C是异面直线BC1和 CD1所成角，从而得到答案4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出i 的值为
13、（）A 2 B 3 C 4 D 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页考点：程序框图专题：算法和程序框图分析：列出循环过程中i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环解答：解：第 1 次判断后i=2 ，第 2 次判断后i=3 ，第 3 次判断后i=4 ，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：4故选 C点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力5 （5 分）如图， AB是圆 O的直径， PA垂直圆 O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）A 1 B 2 C 3
14、 D 4 考点：直线与平面垂直的性质专题：空间位置关系与距离分析：利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案解答：解： AB是圆 O的直径，则AC BC ，由于 PA平面 ABC ，则 PA BC ，即有 BC 平面 PAC ，则有 BC PC ，则 PBC 是直角三角形；由于 PA 平面 ABC ，则 PA AB ，PA AC ，则 PAB 和PAC都是直角三角形；再由 AC BC ，得 ACB=90 ，则 ACB 是直角三角形综上可知：此三棱锥PABC的四个面都是直角三角形故选 D点评：熟练掌握直径所对的圆周角的性质、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键6 （5
15、 分）一组数据中每个数据都减去80 构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2 ，方差是 4.4 ，则原来一组数的方差为（）A 5.6 B 4.8 C 4.4 D 3.2 考点：极差、方差与标准差专题：计算题分析：根据方差的公式求解，本题新数据由原数据减去80 所得，故必须考虑它们的平均数和方差的关系求解解答：解：设样本x1，x2， xn的平均数是，其方差是4.4 ，有 S2=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页A B C D 考点：空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：将展开图复原为正方体，
16、如图，根据正方体的几何牲，分别判断四个命题的真假，容易判断选项的正误，从而求出结果解答：解：展开图复原的正方体ABCD EFMN 如图，由正方体ABCD EFMN 的结构特征，得：BM与 ED是异面直线，故正确；CN与 BE是平行线，故正确；CN BE ， EBF=45 是CN与 BF所成角，故错误；设正方体ABCD EFMN 的棱长为1，以 D为原点建立空间直角坐标系，D（0，0，0） ，M （0，1，1） ，B（1，1，0） ，N（0， 0，1） ，=（0，1，1） ，=（ 1， 1， 1） ，=01+1=0，DM BN ，故正确故选： B点评：本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角
17、，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是中档题9 （5 分）点 A、B、C 、D在同一个球的球面上，且AB=CD=，BC=2AC=2BD=2 ，则该球的表面积为（）A 16B 12C 8D 4考点：球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：结合题意，画出图形，根据图形求出该球的直径，即可求出球的表面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页解答：解： AB=CD=，BC=2AC=2BD=2 ，如图所示；AB2+AC2=BC2，BAC=；同理 BDC=，又点 A、B、C、D在同一个球的
18、球面上，该球的直径为2R=BC=2 ，该球的表面积为S=4R2=4故选： D点评：本题考查了空间中的求与内接四面体的应用问题，解题的关键是求出球的直径来，是基础题10 （5 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，动点 P在对角线 BD1上，过点 P作垂直于 BD1的平面 ， 记这样得到的截面多边形（含三角形） 的周长为 y， 设 BP=x， 则当时，函数y=f （ x）的值域为（）ABCD考点：棱柱的结构特征专题：函数的性质及应用；空间位置关系与距离分析：验证 x=BP= ，1，时， y=f （x）的值是什么，分析函数y=f （x）的变化情况，从而得出正确的判断解答：解：正方体A
19、BCD A1B1C1D1的棱长为，BD1=AB=3 ，当 BP= 时，如图所示；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页三棱锥 BEFG的底面是正三角形，设边长EF=a，则 BE=，?a2? =? ?；解得 a=，y=f （ x）=；当 EF=AB=时， y=f （x）=3，如图所示；?BP= ?，此时 BP=1 ；当 BP= 时，截面为六边形EFGHIJ，且 EF=FG=GH=HI=IJ=JE= AC=，如图所示；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，
20、共 23 页此时 y=f （x）=；时，函数 y=f （x）的值域应为故选： B点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了作图和读图的能力，解题时应根据几何体的特征和条件进行分析变化情况，是难题二. 填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.11 （5分）某班有男生25 名，女生 15 名，采用分层抽样的方法从这40 名学生中抽取一个容量为 8 的样本，则应抽取的女生人数为3 名考点：分层抽样方法专题：概率与统计分析：设应抽取的女生人数为x 名，由分层抽样的性质，能求出结果解答：解：设应抽取的女生人数为x 名，由分层抽样的性质，得：，解得 x=3应抽取的女生人数为3 名故答案为
21、： 3点评：本题考查样本应抽取的女生人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用12 （ 5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，计算出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面面积S= 43=6，棱柱的高h=5，故几何体的体积V=Sh=6 5=30，故答案为： 30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12
22、页，共 23 页点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键13 （ 5分）如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，则三棱锥A1ABC1的体积是V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，三棱柱ABC A1B1C1被分割成三个等体积的三棱锥，即可得出结论解答：解：由题意，三棱柱ABC A1B1C1被分割成三个等体积的三棱锥，三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，三棱锥A1 ABC1的体积是V故答案为：V点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础14 （ 5分）如图，已知二面角l 的大
23、小是 60，线段AB Bl ，AB与 l 所成的角为 30，则 AB与平面 所成的角的正弦值是考点：直线与平面所成的角专题：计算题；空间角分析：过点 A作平面 的垂线，垂足为C，在 内过 C作 l 的垂线垂足为D ，连接 AD ，从而 ADC为二面角l 的平面角，连接CB ，则 ABC为 AB与平面 所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可解答：解：过点 A作平面 的垂线，垂足为C，在 内过 C作 l 的垂线垂足为D 连接 AD ，有三垂线定理可知AD l ，故ADC为二面角l 的平面角，为60又由已知， ABD=30 连接CB ，则 ABC为 AB与平面 所成的角设 AD=2 ，则 AC=
24、， CD=1 ，AB=4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页sin ABC=故答案为点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题15 （ 5分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，线段 B1D1上有两个动点E，F，且 EF=1，则下列结论中正确的有（填写你认为正确的序号）AC 面 BEF ；AF与 BE相交；若 P为 AA1上的一动点，则三棱锥PBEF的体积为定值；在空间与直线DD1，AC ，B1C1都相交的直线只有1 条考
25、点：空间中直线与直线之间的位置关系专题：计算题；空间位置关系与距离分析：连接 BD ，交 AC于 O ，由线面垂直的性质定理和判定定理，即可判断；由两异面直线的判定方法，即可得到AF与 BE为异面直线，进而判断；运用棱锥的体积公式，由于 EF=1， 矩形 BDD1B1内 B到 EF的距离为1， 则三角形 BEF的面积为，再由 P在棱 AA1上， P到平面 BEF的距离，即为A到平面 BDD1B1的距离，即可得到体积，从而判断；由于平面BDD1B1与直线 DD1，AC ，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线 AC交于 O ，与直线C1B1交于 B1，即可判断
26、解答：解：对于，连接BD ，交 AC于 O，则 AC BD ，又 BB1平面 ABCD ，则 AC BB1，则有 AC 平面 BDD1B1，即 AC 面 BEF ，故对；对于，由于BE是平面 BDD1B1内一直线， F 不在直线BE上，且 F在平面 BDD1B1内，点 A不在平面BDD1B1内，由异面直线的判定可得，AF与 BE为异面直线，故错；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页对于，三棱锥PBEF的体积为SBEF?h，由于 EF=1 ，矩形 BDD1B1内 B到 EF的距离为1，则三角形 BEF的面积为，由于
27、P在棱 AA1上， P到平面 BEF的距离，即为A到平面 BDD1B1的距离，由于AC 平面 BDD1B1，则 h=AO=，则三棱锥PBEF的体积为，故对；对于，由于平面BDD1B1与直线 DD1， AC ，B1C1都有交点，则所求直线在平面BDD1B1，由于平面BDD1B1与直线 AC交于 O，与直线 C1B1交于 B1，连接 OB1，延长与D1D延长交于Q，即为所求直线，故对故答案为：点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，两直线的位置关系，考查三棱锥体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题和易错题三、解答题（共6 个题，共75 分，要求写出解答过程）16
28、（ 12 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1中， E为 DD1的中点（）证明： AC BD1；（）证明：BD1平面 ACE 考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（I ）证明 AC BD ，且 AC DD1，即可证明AC 平面 BDD1，从而证明AC BD1；（ II）如图所示，证明OE BD1，即可证明BD1平面 ACE 解答：解： （I ）证明：在正方体ABCD中，连结BD ，AC BD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页又DD1平面 ABCD ，且
29、AC ? 平面 ABCD ，AC DD1，又 BD DD1=D，AC 平面BDD1；又BD1? 平面 BDD1，AC BD1；如图所示；（ II）证明：设BD AC=O ，连结OE ，在BDD1中， O 、E分别为 BD 、DD1的中点，OE BD1；又OE ? 平面 ACE ，且 BD1?平面 ACE ，BD1平面 ACE 点评：本题考查了空间中的垂直与平行关系的证明问题，解题时应结合图形，弄清空间中的平行与垂直的条件与结论是什么，是中档题目17 （ 12 分）如图，在四面体ABCD 中， CB=CD ，AD BD ，点E，F分别是 AB ，BD的中点（ I ）求证： BD 平面EFC ；（
30、）当AD=CD=BD=1，且 EF CF 时，求三棱锥C ABD的体积 VC ABD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）A BD中， 根据中位线定理， 得 EF AD ，结合 AD BD得 EF BD 再在等腰 BCD中，得到CF BD ，结合线面垂直的判定定理，得出BD 面 EFC ；（）确定CF 平面 ABD ，SABD= ，利用体积公式，即可得出结论解答：（）证明： ABD 中， E、 F分别是 AB ，BD的中点，EF AD AD BD ，EF BD BCD中， CB=CD ，F 是 BD的中点， CF BD CF EF=F ，B
31、D 面EFC ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页（）解： CB=CD ， F 是 BD的中点，CF BD ，EF CF ，EF BD=F，CF 平面ABD ，CB=CD=BD=1，CF=，AD=BD=1 ，AD BD ，SABD= ，VCABD=点评：本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥CABD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18 （12 分）教育部，体育总局和共青团中央号召全国各级各类学校要广泛，深入地开展全国亿万大，中学生阳光体育运动，为此，某校学生会对2014-2015 学年高二年级201
32、4 年 9 月与10 月这两个月内参加体育运动的情况进行统计，随机抽取了100 名学生作为样本， 得到这 100名学生在该月参加体育运动总时间的小时数，根据此数据作出了如下的频数和频率的统计表和 频率分布直方图：（I ）求 a，p 的值，并补全频率分布直方图；（）根据上述数据和直方图，试估计运动时间在小时的学生体育运动的平均时间；分组运动时间（小时） 频数频率1 5 0.05 考点：散点图专题：概率与统计分析：（）根据频数总和是样本容量求出a，然后利用频数与样本容量的比是频率求p；（）利用各矩形底边中点的横坐标乘以矩形的面积之和解得平均数解答：解： （）因为随机抽取了100 名学生作为样本，所
33、以 a=10020201510 5=30；b=0.3 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页频率分布直方图如下：（）根据表格数据和直方图得到运动时间在小时的学生体育运动的平均时间为27.50.2+32.5 0.3+37.5 0.2+42.5 0.15+47.5 0.1+52.5 0.05=5.5+9.75+7.5+6.375+4.75+2.625=36.5（小时）；点评：本题考查了频率分布直方图以及频率分布表，根据是正确视图19 （12 分）已知一几何体的三视图如图所示，请在答题卷上作出该几何体的直观图，并回答下列
34、问题（）求直线CE与平面 ADE所成角的大小；（）设点F， G分别为 AC ，DE的中点，求证： FG 平面ABE 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）要求直线CE与平面 ADE所成角的大小需要CE在平面 ADE内的射影，取AD的中点 H，则 HE就是 CE在平面 ADE内的射影， CEH 即为所求（2）要证 FG 平面 ABE ，据线面平行的判定定理，需要在平面ABE找一条直线与FG平行，取 AB中点 M ，则 ME F G以上两问都可以通过建立空间直角坐标系来求解答：解：该几何体是四棱锥ABCDE ，底面 BCDE 为正方形，侧棱AC
35、面 BCDE ，AC=CD ，直观图如下：（1）取 AD中点 H且连接 CH ，AC=CD ，CH AD AC 面 BCDE ，AC ED ，又 BCDE 是正方形， CD ED ，ED 面ACD 又 CH ? 面 ACD ，ED CH ，又ED AD=D ，CH 面ADE于点 H，连接 EH，则 EH是直线 CE在平面 ADE内的射影，所以 CEH 就是直线CE与 ADE所成的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页设 AC=1 ，在 Rt 三角形 CHE中， CE=，CH=，CHE=90 ，sin CEH=CEH
36、=30 ，所以直线CE与平面 ADE所成角为30（2）取 AB中点 M ，连接 MF ，F 是 AC中点， MF BC ，且MF= BC ，又 G是 ED中点， EG= BC ，MF=EG，MF EG ，MFGE 是平行四边形FG ME ，又FG ?面 ABE ，ME ? 面 ABE ，FG ABE 点评：本题考查了线面角的求法，以及线面平行的判定，属于基础题20 （ 13 分）如图，在梯形PDCB 中， BC=PD ，DC PB ， PB=3DC=3 ，PD=，DA PB ，将 PAD沿 AD折起，使得PA AB ，得到四棱锥PABCD ，点 M在棱 PB上（）证明：平面PAD 平面 PCD
37、 ；（）如果 AM PB ，求二面角CAM B的正切值；（）当PD 平面 AMC 时，求三棱锥PABC与三棱锥M ABC的体积之比考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由图1 中 DA PB ，可得折叠后DA AB ，DA PA ，进而DC PA ，DC DA ，由线面垂直的判定定理得到DC 平面 PAD ，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD 平面 PCD ；（）以 A为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出平面ACM 和平面 ABM 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角CAM B的余弦值，进而根据同角三角函数
38、关系，可得二面角CAM B的正切值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页（）当PD 平面 AMC 时，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，可得= ，即三棱锥PABC与三棱锥M ABC的高之比为， 即三棱锥 PABC与三棱锥M ABC的体积之比为解答：证明：（）因为在图a 的等腰梯形PDCB中， DAPB ，所以在四棱锥PABCD 中，DA AB ，DA PA 又 PA AB ，且 DC AB ，所以DC PA ，DC DA ，而 DA ? 平面 PAD ，PA ? 平面 PAD ，PA DA=A ，所以
39、DC 平面 PAD 因为 DC ? 平面 PCD ，所以平面PAD 平面 PCD （II ）以 A为坐标原点，建立空间坐标系，如下图所示：PB=3DC=3 ， PD=，故 AD=1 ，AB=2 ，AP=1 ，故 PB=，当 AM PB时，由射影定理可得PM= PB ，A（ 0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（ 1，1，0） ，D（1，0，0） ，P （0，0，1） ，=（1，1， 0） ，=（0，2，0） ，=（0，0，1） ，=+=（0，） ，设平面 ACM 的一个法向量为=（x，y， z） ，由得：，即，令 x=2，则=（2， 2，1） ，精选学习资料 - - - - - - - -
40、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页由=（1，0， 0）为平面MAB的法向量，故二面角CAM B的平面角 满足：cos =，故 sin =，故 tan =；（III）在梯形ABCD 中，连接AC 、BD交于点 O，连接 OM PD 平面AMC ，PD ? 平面 PBD ，平面 PBD 平面 AMC=MO，PD MO=，AOB DOC ，=，即=，即三棱锥PABC与三棱锥M ABC的高之比为，即三棱锥PABC与三棱锥M ABC的体积之比为点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合体，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定定理，难度中档21 （ 14 分）如图，
41、在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC ，AC BC ， AA1=2，AB=2，M为AA1的中点（1）若点 N是线段 AC上异于 A、C的一动点，求异面直线BC与 A1N所成角的大小；（2）若二面角C BM A的大小为60，求 BC的长；（3）在（ 2）的条件下，求AB1与面 BCM 所成角的正弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法专题：空间角；空间向量及应用分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）通过建立空间
42、直角坐标系，利用平面的法向量的夹角与二面角的关系即可得出；（3）由（ 2）可得=，平面 BCM 的法向量为=（0， 1，） 设AB1与面 BCM 所成角为利用 sin =即可得出解答：解： （1）如图所示，AA1底面 ABC ，AA1BC 又BC AC ，AC AA1=ABC 平面ACC1A1，BC A1N异面直线BC与 A1N所成角为90（2）设 B（a， 0，0） ，则 A，M=，=（a，0，0） ，=（0，0，1） 设平面 BCM 的法向量为=（x，y，z） ，则，令 z=，解得 x=0，y=1同理可得平面ABM 的法向量=二面角CBM A的大小为 60，cos60= ，解得 a=|BC|=（3）由（ 2）可得=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页平面 BCM 的法向量为=（ 0， 1，） 设 AB1与面 BCM 所成角为sin =AB1与面 BCM 所成角的正弦值为点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角求二面角、线面垂直的判定与性质定理、线面角的求法， 考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页