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1、名师精编优秀资料高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系UxAxC A,UxC AxA. 2. 德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 3集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n 2 个 . 4. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 5. 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根, 与0)()(21kfkf不等价 ,前者是后者
2、的一个必要而不是充分条件. 特别地 , 方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内, 等价于0)()(21kfkf, 或0)(1kf且22211kkabk, 或0)(2kf且22122kabkk. 6. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下： （可画图解决问题）(1) 当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax( )(),( )(),( )2bf xff xf pf qa；qpabx,2，maxmax( )( ),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f
3、xf pf q. (2) 当 a0) )()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；16. 分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n） . (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 17根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 18有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 1
4、9. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.20. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师精编优秀资料推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 21对数的四则运算法则若 a0，a1， M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 22. 数列的同项公式与前
5、n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 23. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 24. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 25. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，27. 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。28. 和角与差角公式sin()sin
6、coscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ). 29. 二倍角公式sin 2sincos. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师精编优秀资料2222cos2cossin2cos112sin. 22tantan21tan. 30. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR及函数cos()yx，x R(A, ,为常数，且A 0， 0) 的周期2T；函数tan(
7、)yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0，0) 的周期T. 31. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. 32. 余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC. 33. 面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、 、分别表示a、b、 c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. 34. 三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCABsinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B) 35. 实数与向量的积的运算律设、 为实数，那么(1) 结合律：
8、 ( a)=( )a; (2) 第一分配律：( +) a=a+a; (3) 第二分配律：(a+b)= a+b. 36. 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a （交换律） ; (2) （a） b= （ ab）=a b= a （b） ; (3) （a+b） c= a c + bc. 37. 平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底38向量平行的坐标表示设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 ab(b0)12210
9、 x yx y. 39. a与 b 的数量积 ( 或内积 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编优秀资料ab=|a|b|cos 40. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积41. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3)设 A11(,)x y，B22(,)xy, 则2121(,
10、)ABOBOAxx yy. (4) 设 a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 42. 两向量的夹角公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy). 43. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 44. 向量的平行与垂直设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则A|bb= a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 4
11、5. 三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则 ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 46. 三角形四“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编优秀资料（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOA
12、bOBcOC. 47. 常用不等式：（1）,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）,a bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）bababa. 48. 均值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 49. 一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212
13、()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 50. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 51. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编优秀资料(2) 当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log
14、( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x52. 斜率公式2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）. 53. 直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx ( 直线l过点111(,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、) （5）一般式0AxByC( 其中 A、 B不同时为0). 54. 两条直线的平行和垂
15、直(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb; 12121llkk. (2) 若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC, 且 A1、 A2、 B1、 B2都不为零 , 11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；55四种常用直线系方程 (1) 定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx), 其中k是待定的系数; 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy, 其中,A B是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
16、结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师精编优秀资料待定的系数(2) 共点直线系方程： 经过两直线1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0A xB yCA xB yC( 除2l) ，其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0) ，是参变量(4) 垂直直线系方程： 与直线0AxByC (A 0， B0) 垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量56. 点到直线的距离0022|AxByCdAB( 点00(,)P
17、xy,直线l：0AxByC). 57. 0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 ,异号在下 . 若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域 . 简言之 , 同号在右 , 异号在左 . 58. 111222()()0A xB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CA xB yCA xB yC（12120A A B B） ，则
18、111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 59. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). 60. 点与圆的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师精编优秀资料点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby
19、，则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 61. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 62. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 63. 椭圆的标准方程及简单的几何性质64椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xy
20、ab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 65. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师精编优秀资料(2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 66. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐近线方程为xa
21、by0byax双曲线可设为2222byax. (3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 67. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 68. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)xy，其中22ypx. 69. 抛物线的内外部(1) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2)
22、 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 70. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或精选学习资料 - - - - - - - -
23、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师精编优秀资料AB=212212111yykxxk（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 71证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 72证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 73证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判
24、定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 74证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 75证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 76. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)
25、加法交换律：ab=ba(2) 加法结合律：(ab) c=a(b c) (3) 数乘分配律：(ab)= ab77. 共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b0 ) ，ab存在实数 使 a=b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师精编优秀资料PAB、 、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB. |ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线 . 78. 球的半径是R，则其体积343VR, 其表面积24SR79柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 1
26、3VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 80. 互斥事件A， B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) 81.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 82. 独立事件A， B同时发生的概率P(AB)= P(A) P(B). 83.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 84. 回归直线方程yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx. 85. 相关系数r |r|1，且 |r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关
27、程度越小. 86. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf， 相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 87. 几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师精编优秀资料(2) 1()()nnxnxnQ. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5) xx1)(ln；eaxxalog1)(log. (6) xxee )(; aaaxxln)(.
28、88. 导数的运算法则（1）()uvuv. （2）()uvuvuv. （3）2()(0)uu vuvvvv. 89. 判别)(0 xf是极大（小）值的方法当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 90. 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）91. 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 92. 复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页