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1、第二十四章 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二 圆的相关概念（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆
2、：等够重合的两个圆叫做等圆。（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理MABDo（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为MD，AB是弦， 且CDAB，垂足为CAC=BC AM=BMC 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C， CDAB
3、AC=BC AM=BM AD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。24.1.4 圆周角知识点一 圆周角定理 （1）
4、 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径。（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二 圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：(1)圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是360(3)圆内接四边形的外角等于其内对角24.2 点、
5、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点一 点与圆的位置关系（1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。（2） 用数量关系表示：若设O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外 dr；点p在圆上 d=r；点p在圆内 dr。知识点二 （1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。知识点三 三角形的外接圆与外心（1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四 反证
6、法（1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。（2） 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论； 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2 直线和圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系（1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：直线l和O相交 d r； 直线l和O相切 d = r； 直线l和O相离 d r。
7、知识点二 切线的判定和性质（1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三 切线长定理（1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量
8、的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知识点四 三角形的内切圆和内心(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。(3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。(4) 直角三角形内切圆半径的求解方法： 直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得 。根据三角形面积的表示方法：ab=, .24.3 正多边形和圆知识点一 正多边
9、形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二 正多边形的性质（1） 各边相等，各角相等；（2） 都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。（3） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n
10、个全等的直角三角形。（4） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。（5） 正n边形的每一个内角等于，中心角和外角相等，等于。24.4 弧长和扇形面积知识点一 弧长公式L=在半径为R的圆中，360的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2R，所以n的圆心角所对的弧长的计算公式L=2R=。知识点二 扇形面积公式在半径为R的圆中，360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=R2，所以圆心角为n的扇形的面积为S扇形=。比较扇形的弧长公式和面积公式发现：S扇形=知识点三 圆锥
11、的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2r，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。中考回顾1.(2017甘肃天水中考)如图,AB是O的直径,弦CDAB,BCD=30,CD=4,则S阴影=( B)A.2 B. C. D.2(2017四川中考)如图,AB是O的直径,且AB经过弦CD的中点H,已知cos CDB=,BD=5,则OH的长度为(D)A.B.C.1D.3.(2017甘肃兰州中考)如图,在O中,点D在O上,CDB=25,则AOB=(B )A.45B.50C.
12、55D.604.(2017山东青岛中考)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,若AED=20,则BCD的度数为(B )A.100B.110 C.115D.1205.(2017湖北黄冈中考)如图,在O中,OABC,AOB=70,则ADC的度数为(B )A.30B.35C.45D.706.(2017福建中考)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD互余的角是(D)A.ADCB.ABDC.BACD.BAD7.(2017贵州黔东南州中考)如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,A=15,半径为2,则弦CD的长为(A )A.2B.-1C.D.4模拟预测1.如
13、图,点A,B,C在O上,ABO=32,ACO=38,则BOC等于(B)A.60B.70 C.120D.140解析:如图,过点A作O的直径,交O于点D.在OAB中,OA=OB,BOD=OBA+OAB=232=64.同理可得,COD=OCA+OAC=238=76,BOC=BOD+COD=140.故选D.2.如图,AB是O的弦,半径OA=2,AOB=120,则弦AB的长是( B )A.2B.2 C.D.33.如图,四边形ABCD内接于O,F是上一点,且,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若ABC=105,BAC=25,则E的度数为(B )A.45B.50C.55D.604.如图,O是AB
14、C的外接圆,B=60,O的半径为4,则AC的长等于(A)A.4B.6 C.2D.85.如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,BAC=BOD,则O的半径为(B.)A.4 B.5 C.4D.3BAC=BOD,ABCD.AE=CD=8,DE=CD=4.设OD=r,则OE=AE-r=8-r.在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.OD2=DE2+OE2,r2=42+(8-r)2,解得r=5.6.若O的半径为1,弦AB=,弦AC=,则BAC的度数为15或75.7.如图,ABC是O的内接三角形,点D是的中点,已知AOB=98,COB=120.则ABD的度数是101.8.如图
15、,将三角板的直角顶点放在O的圆心上,两条直角边分别交O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB.则APB为45.9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),P的半径为,则点P的坐标为(3,2).10.如图,已知AB是O的直径,AC是弦,过点O作ODAC于点D,连接BC.(1)求证:OD=BC; (2)若BAC=40,求的度数.(1)证明:(证法一)AB是O的直径,OA=OB.又ODAC,ODA=BCA=90.ODBC.AD=CD.OD=BC.(证法二)AB是O的直径, C=90,OA=AB.ODAC,即ADO=90,C=ADO.又A=A,ADOACB.OD= BC.(2)解:(解法一)AB是O的直径,A=40,C=90 的度数为:2(90+40)=260.(解法二)AB是O的直径,A=40, C=90,B=50.的度数为100.的度数为260.6