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1、1多项式运算与多项式运算与代数方程求解代数方程求解数学软件数学软件 MatlabMatlab基础及应用基础及应用2l 多项式转化为符号表达式：多项式转化为符号表达式：poly2syml 四则运算：四则运算：conv、deconvl 导数与积分：导数与积分：ployder、polyintl 求值与零点：求值与零点：polyval、polyvalm、roots、polyq 多项式运算多项式运算主要内容主要内容q 代数方程求解代数方程求解l 线性方程组求解：线性方程组求解：linsolvel 非线性方程组求解：非线性方程组求解：fzero、solve3Matlab 多项式运算多项式运算l 在在 Ma
2、tlab 中，中，n 次多项式是用一个长度为次多项式是用一个长度为 n+1的向量来的向量来表示，缺少的幂次项系数为表示，缺少的幂次项系数为 01110( )nnnnp xa xaxa xa 在在 Matlab中表示为向量：中表示为向量：110, ,nna aa a 注：系数中的零不能省！注：系数中的零不能省！l 将多项式转化成符号表达式：将多项式转化成符号表达式：poly2sym poly2sym(2,-1,0,3)例：例： 2x3 - x2 + 3 2, -1, 0, 3q Matlab 中多项式的表示方法中多项式的表示方法4多项式多项式四则运算四则运算l Matlab 没有提供专门进行多项
3、式加减运算的函数没有提供专门进行多项式加减运算的函数l 多项式的加减就是其所对应的多项式的加减就是其所对应的系数向量系数向量的加减运算的加减运算l 对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行加减运算；加减运算；l 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系数不足的数不足的高次项用高次项用 0 补补足，然后进行加减运算。足，然后进行加减运算。例：例： p1 = 2x3 - x2 + 3 p2 = 2x + 1 p1 + p2 = 2x3 - x2 + 2x + 4 2, -1, 0, 3 2, 1
4、 0, 0, 2, 1 2, -1, 2, 4q 多项式加减运算多项式加减运算5多项式多项式四则运算四则运算k = conv(p,q)例：例：计算多项式计算多项式 2x3 - x2 + 3 和和 2x + 1 的乘积的乘积 p = 2,-1,0,3; q = 2,1; k = conv(p,q); q 多项式除法运算：多项式除法运算：k,r = deconv(p,q)l 其中其中 k 返回的是多项式返回的是多项式 p 除以除以 q 的商的商，r 是余式是余式。k,r=deconv(p,q)p=conv(q,k)+rq 多项式乘法运算：多项式乘法运算：6多项式的多项式的求求导导k=polyder
5、(p) : 多项式多项式 p 的导数；的导数；k=polyder(p,q) : p*q 的导数的导数；k,d=polyder(p,q) : p/q 的导数，的导数，k 是分子，是分子，d 是分母是分母 k1=polyder(2,-1,0,3); k2=polyder(2,-1,0,3,2,1); k3,d=polyder(2,-1,0,3,2,1);例：例：已知已知 p1 = 2x3 - x2 + 3，p2 = 2x + 1求：求： p1，( p1 p2 )， ( p1 /p2 )q 多项式的导数：多项式的导数： polyder7多项式的多项式的积分积分I=polyint(p,c): 多项式多
6、项式 p 的不定积分，常数项为的不定积分，常数项为 cI=polyint(p) : 多项式多项式 p 的不定积分，常数项为的不定积分，常数项为 0 I=polyint(2,-1,0,3); 例：例：已知已知 p1 = 2x3 - x2 + 3求求 ，常数项取常数项取 01( ) dp xx q 多项式的积分：多项式的积分： polyint8多项式的多项式的值值q 计算计算多项式多项式的值的值l 代数代数 多项式多项式求值求值y = polyval(p,x): 计算多项式计算多项式 p 在在 x 点的值点的值注：若注：若 x 是向量或矩阵，则采用的是是向量或矩阵，则采用的是 数组运算！ p=2,
7、-1,0,3; x=2; y=polyval(p,x) x=-1, 2;-2,1; y=polyval(p,x)例：例：已知已知 p1 = 2x3 - x2 + 3，分别取，分别取 x=2 和一个和一个 2 2 矩阵，矩阵， 求求 p1 在在 x 的每个分量上的值的每个分量上的值9多项式的多项式的值值l 矩阵矩阵 多项式多项式求值求值Y=polyvalm(p,X)l 采用的是普通矩阵运算采用的是普通矩阵运算l X 必须是方阵必须是方阵例：例：已知已知 p = 2x3 - x2 + 3，则，则polyvalm(p,A) = 2*A*A*A - A*A + 3*eye(size(A) polyva
8、l(P,A) = 2*A.*A.*A - A.*A + 3*ones(size(A) p=2,-1,0,3; x=-1, 2;-2,1; polyval(p,x) polyvalm(p,x)10多项式的多项式的零点零点x=roots(p)：若若 p 是是 n 次多项式，则输出次多项式，则输出是是 p=0 的的 n 个根组成的个根组成的 n 维向量维向量12( )()()()np xxxxxxx若已知多项式的全部零点，则可用若已知多项式的全部零点，则可用 poly 函数给出该多项式函数给出该多项式p=poly(x) p=2,-1,0,3; x=roots(p)例：例：已知已知 p = 2x3 -
9、 x2 + 3，求，求 p(x) 的零点的零点 q 多项式多项式的零点的零点11 k = conv(p,q)k,r = deconv(p,q) k = polyder(p) k = polyder(p,q)k,d = polyder(p,q) y = polyval(p,x) Y = polyvalm(p,X) x = roots(p)多项式多项式运算运算小结小结多项式运算中，多项式运算中，使用的是多项式使用的是多项式 系数向量系数向量，不涉及符号计算！不涉及符号计算！poly2sym(p), poly(x) I = polyint(p,c) I = polyint(p)12l 多项式的表示方
10、法：多项式的表示方法：poly2syml 四则运算：四则运算：conv、deconvl 导数与积分：导数与积分：ployder、polyintl 求值与零点：求值与零点：polyval、polyvalm、roots、polyq 多项式运算多项式运算主要内容主要内容q 代数方程求解代数方程求解l 线性方程组数值求解：线性方程组数值求解：linsolvel 非线性方程数值求解：非线性方程数值求解：fzero l 非线性方程符号求解：非线性方程符号求解：solve13线性方程组求解线性方程组求解q 线性方程组求解线性方程组求解linsolve(A,b)：解线性方程组解线性方程组 Ax = b 例：例
11、：解方程组解方程组 A=1 2 1; 1 0 1; 1 3 0; b=2;3;8; x=linsolve(A,b)22 3 38xyzxzxy b 是列向量！是列向量！14非线性方程的非线性方程的根根q 非线性方程的非线性方程的数值数值求解求解fzero(f,x0)：求方程求方程 f=0 在在 x0 附近的根附近的根l 方程可能有多个根，但方程可能有多个根，但 fzero 只给出只给出 x0 附近的一个附近的一个l fzero 先找出一个包含先找出一个包含 x0 的区间，使得的区间，使得 f 在这个区间在这个区间两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程两个端点上的函数值异号，然后再在
12、这个区间内寻找方程 f=0 的根；如果找不到这样的区间，则返回的根；如果找不到这样的区间，则返回 NaNl x0 是一个标量，为参考点，不能缺省是一个标量，为参考点，不能缺省l 由于由于 fzero 是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如 |sin(x)| 的所有零点的所有零点15非线性方程的非线性方程的根根q fzero 的另外一种调用方式的另外一种调用方式fzero(f,a,b)l 方程在方程在 a,b 内可能有多个根，但内可能有多个根，但 fzero 只给出一
13、个只给出一个l 求方程求方程 f=0 在在 a,b 区间内区间内的根。的根。q 参数参数 f 可通过以下方式给出：可通过以下方式给出：l 字符串：字符串：fzero(x3-3*x+1,2) l 内联函数：内联函数：f=inline(x3-3*x+1); fzero(f,2)l 匿名函数：匿名函数：fzero(x)x3-3*x+1, 2) f 不是方程！也不能使用符号表达式！不是方程！也不能使用符号表达式！16 fzero(sin(x),10) fzero(sin,10) fzero(x3-3*x+1,1) fzero(x3-3*x+1,1,2) fzero(x3-3*x+1=0,1)X fze
14、ro(x3-3*x+1,-2,0) f=inline(x3-3*x+1); fzero(f,-2,0)用用 fzero 求零点时可以先通过作图确定零点的大致范围求零点时可以先通过作图确定零点的大致范围例：例：fzero 举例举例17符号求解符号求解s=solve(f,v) ：求方程关于指定自变量的解求方程关于指定自变量的解s=solve(f) ：求方程关于求方程关于默认自变量默认自变量的解的解l f 可以是用字符串表示的可以是用字符串表示的方程方程，或符号，或符号表达式表达式l 若若 f 是字符串，可以不含等号，表示解方程是字符串，可以不含等号，表示解方程 f=0l 若若 f 是符号表达式，是
15、符号表达式，不能不能 含等号含等号例：例：解方程解方程 x3-3*x+1=0 syms x; f=x3-3*x+1; s=solve(f,x) s=solve(x3-3*x+1,x) s=solve(x3-3*x+1=0,x)q 非线性方程的非线性方程的符号符号求解求解18符号求解符号求解l solve 也可以用来解方程组也可以用来解方程组solve( f1 , f2 , . , fN , v1 , v2 , . , vN)求解由求解由 f1 , f2 , . , fN 确定的方程组关于确定的方程组关于 v1 , v2 , . , vN 的解的解例：例：解方程组解方程组 x,y,z=solve
16、(x+2*y-z=27,x+z=3, . x2+3*y2=28,x,y,z)22227 3 328xyzxzxy 输出变量的顺序要书写正确！输出变量的顺序要书写正确！solve 在得不到解析解时，会给出数值解在得不到解析解时，会给出数值解19roots(p)：多项式的多项式的所有零点所有零点，p 是多项式系数向量。是多项式系数向量。fzero(f,x0)：求求 f=0 在在 x0 附近的根，附近的根，f 可以使用可以使用 inline、字符串、或、字符串、或 ，但不能是方程或符号表达式！，但不能是方程或符号表达式！solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，求方程关于指定自变量的解，f 可
17、以是可以是用用字符串表示的方程字符串表示的方程、符号表达式符号表达式或或符号方程符号方程；l solve 也可解方程组也可解方程组(包含非线性包含非线性)；l 得不到解析解时，给出数值解。得不到解析解时，给出数值解。linsolve(A,b)：解线性方程组。解线性方程组。 求解方程函数小结求解方程函数小结20上机作业上机作业2、已知多项式、已知多项式(a) 求出求出 p(x) 的所有零点；的所有零点；(b) 用用 fzero 计算计算 p(x) 的第二大零点的第二大零点32( )816383560003125p xxxx3、求方程组、求方程组 的解的解22241xyxy 1、已知多项式、已知多
18、项式423( )65, ( )61p xxxxq xx计算计算 及它们的导数及它们的导数 ( )( )( ), ( ) ( ), ( )p xp xq xp x q xq x ( 将所用命令写入文件将所用命令写入文件 m61.m ) ( 将所用命令写入文件将所用命令写入文件 m62.m ) ( 将所用命令写入文件将所用命令写入文件 m63.m ) 21上机作业上机作业4、已知、已知 Chebyshev 多项式定义如下：多项式定义如下：5、编写一个函数文件：、编写一个函数文件： m65.m，实现两个向量的加运算实现两个向量的加运算 （ 在长度较短的向量前面添在长度较短的向量前面添 0，使得两个向
19、量长度相等），使得两个向量长度相等）试编程计算试编程计算 T20(x) 的导数（注：的导数（注：Tn(x) 为为 n 阶多项式）阶多项式）0111( )1, ( ),( )2 ( )( ), 1,2,nnnT xT xxTxx TxTxn( 将程序取名为将程序取名为 m64.m ) (注：不要使用符号计算！注：不要使用符号计算！) 22上机上机要求要求l 将完成每题所用的命令或程序写入相应的文件将完成每题所用的命令或程序写入相应的文件l 将所有将所有 M 文件作为附件，以邮件形式发给文件作为附件，以邮件形式发给 l 邮件主题为：邮件主题为：专业专业-学号学号-姓名姓名l 三个字段之间用英文状态下的减号链接三个字段之间用英文状态下的减号链接q 上机要求上机要求