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1、 一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系相位）的物理意义及各量间的关系. . 二二 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析. . 三三 掌握掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义. . 四四 理解理解同方向、同频率简谐运动的合
2、成规律，同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点. . 五五 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律件及规律. .a 定义：定义： 物体或物体的某一部分在一定位置物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动附近来回往复的运动b 实例实例:心脏的跳动，心脏的跳动，钟摆，乐器，钟摆，乐器， 地震等地震等1 机械振动机械振动c 周期和非周期振动周期和非周期振动平衡位置平衡位置4.1.1 简谐振动简谐振动4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征口琴的发音机理口琴的发音机理 1 2
3、 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1？4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征 3265琴码琴码弓弓提琴弦线的振动提琴弦线的振动4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解4.1.2 简谐振动的基本特征简谐振动的基本特征4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征kl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fx4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征振动的成因振动的成
4、因b 惯性惯性a 回复力回复力4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征mk2令令 xxFm3 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程xtx222dd得得xa2即即omakxF具有加速度具有加速度 与位移的大小与位移的大小x成正比成正比,而方而方向相反特征的振动称为向相反特征的振动称为简谐运动简谐运动a4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征xtx222dd积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(0tAx解方程解方程设初始条件为设初始条件为:000 =时，时，v vtxx简谐运动方程简谐运动方程)2sin()cos(00tAtAx)sin(
5、tAx4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征)cos(0tAx简谐运动方程简谐运动方程xtx222dd)sin(dd0tAtxv)cos(dd0222tAtxa)sin(0tmv)cos(0mtaAmv速度振幅速度振幅2mAa加速度振幅加速度振幅4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征tx 图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(0tAx00取取2T)2cos(0tA)sin(0tAv)cos(02tA)cos(02tAaT4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征结论结论: : 简谐振动的基本特征（判断依据）简谐振
6、动的基本特征（判断依据） 1. 物体受线性回复力作用：物体受线性回复力作用：kxF2. 物体的位移、速度、加速度是时间的余弦函数物体的位移、速度、加速度是时间的余弦函数0sin()ddxAtt v2202cos()ddxaAtt 0cos()xAt(平衡位置平衡位置x=0)3. 加速度与位移大小成正比，方向相反加速度与位移大小成正比，方向相反xa24.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征补充例题补充例题一质量为一质量为m m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动. .以
7、平衡位置以平衡位置A A为原点，为原点，向下为向下为x x轴正向轴正向. .22d()dxmk x lmgt22ddxmkxt 证证:klmg 4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征22ddxmkxt 2km0dd222xtx令令该系统作简谐振动该系统作简谐振动4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征例例4-1弹簧振子悬挂于天花板上，弹簧振子悬挂于天花板上，振子振子m静止于静止于A点，这时弹簧的伸点，这时弹簧的伸长量为长量为l，如图所示。试证明振子，如图所示。试证明振子可在可在A附近作简谐振动，不计空附近作简谐振动，不计空气阻力。气阻力。证明证明:以以A为原点
8、，向下为为原点，向下为 轴轴正向，建立坐标系。当振子正向，建立坐标系。当振子m位于位于x处时，所受的合力为：处时，所受的合力为：l是弹簧挂上重物后的静伸长：是弹簧挂上重物后的静伸长： x=0 ，mgkl()fmgk x l4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征mgkl()fk xlmgfkx 该物体受线性回复力作用，该物体受线性回复力作用，所以它作简谐振动。所以它作简谐振动。4.1 4.1 简谐振动及其基本特征简谐振动及其基本特征)cos(0tAx1 振幅振幅maxxA2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期21T 频率频率T22 圆频率圆频率)
9、(cos0TtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关tx图图AAxT2Tto4.2 4.2 简谐运动的简谐运动的振幅、周期、频率和相振幅、周期、频率和相位位2cos0tA1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(0vxt202 2）位相在位相在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； 3 位相位相0t3 3）初）初位相位相 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . 00，t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）20( ( 取取 或或 ) )t
10、x图图AAxT2Tto)sin(0tAv)cos(0tAx 简谐运动中，简谐运动中， 和和 间不存在一一对应的关系间不存在一一对应的关系. .x vvvv4.2 4.2 简谐运动的振幅、周期、频率和相简谐运动的振幅、周期、频率和相位位22020vxA000tanxv4 4 常数常数 和和 的确定的确定A000vv xxt初始条件初始条件00cosAx 00sinAv 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定振幅和初相由初始条件决定.)sin(0tAv)cos(0tAx4.2 4.2 简谐运动的简谐运动的振幅、周期、频率和相振幅、周
11、期、频率和相位位cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto4.2 4.2 简谐运动的简谐运动的振幅、周期、频率和相振幅、周期、频率和相位位x0 x0=+A用分析法确定弹簧振子初位相用分析法确定弹簧振子初位相 0 0（例（例4-24-2） 0sincos0000 AvAAx00v t=0 ，x0=A, v0=0. 0sin1cos00 0sin0cos0000AvAx20 x0v t=0, x0=0, v00v0v t=0, x0=0, v00 x0A2v t=0, x0=A/2, v00v04.2 4.2 简
12、谐运动的简谐运动的振幅、周期、频率和相振幅、周期、频率和相位位旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A ，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动频率与振动频率相等相等，这个矢量就这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量. AA4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量)cos(0tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAo4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量)cos(0tA
13、iAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax 0t0 x)cos(0tAiAx4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAooAtt 0t)cos(tAxx)cos(0tAiAx4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量Amv)2 cos(0tAv)cos(02tAa2nAa 2 0tmvvxy0At)cos(0tAxnaa4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转
14、矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量AAx2AtoabxAA0位相差：表示两个位相之差位相差：表示两个位相之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，位相差可以给出两运动状简谐运动，位相差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .2010()()tt110cos()xAt220cos()xAt12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解
15、决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相 例例4 4-3-3 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xxo2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量ox解解
16、 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)0 . 6cos(05. 0t4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量oxA2A解解 （2）)cos(tAx2Ax )cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴方向）轴方向）Ox4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量例例4-4 4-4 已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程. .0cos()x
17、At解设谐振动方程为解设谐振动方程为024cos 由图知由图知: : A A4 cm4 cm02xcm 00dxvdt023 0sin0023, 0t00sin0A v由由得得:4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量24cos()3xtcm25330224cos()4cos()321cos()32253373或或2sin()03vA 由由2sin()03得得:代入振动方程有代入振动方程有s 1tcm2x0v时时,，4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量例例4-5 4-5 一质量为一质量为m=0.01 kg的物体在的物体在O点附近点附近作简谐振动，其振幅为作简谐振动，其振幅为A=0.08 m，周期为，周期为
18、T=4s，t=0时刻物体在时刻物体在x0=0.04 m处，并向处，并向Ox轴负方向轴负方向运动运动. 试求试求( (1) )振动方程；振动方程；( (2) )由起始位置运动到由起始位置运动到x = -0.04 m处的最短时间处的最短时间. .o08. 004. 004. 008. 0m/xv4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量o08. 004. 004. 008. 0m/x0,0.04mtxA03 0v解解1s 22Tm 08. 0As 4,m 08. 0,kg 01. 0TAm已知已知0,m 04. 0, 00vxt求（求（1）求求运动方程运动方程0cos()xAt作旋转矢量图：作旋转矢量图：)
19、32cos(08. 0tx4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量 （2）由起始位置运动到由起始位置运动到x = -0.04 m处所需处所需要的最短时间要的最短时间. . 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到x= -0.04 m处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为to08. 004. 004. 008. 0m/xv4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量2332 ts 667. 032 o08. 004. 004. 008. 0m/x)32cos(08. 0tx)32cos(08. 004. 0t323221)32cos( tt4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量o08. 004. 004. 008
20、. 0m/x法二法二起始时刻起始时刻 时刻时刻t3ts 667. 032t1srad 2旋转矢量法较简单。旋转矢量法较简单。4.3 4.3 旋转矢量旋转矢量1 1 单摆单摆moAmglmglMsin22ddtJmgl2Jmllgt22dd222ddt)cos(mtlg2令令glT2转动转动正向正向sin,5时时二二 微振动的简谐近似微振动的简谐近似 单摆和复摆单摆和复摆oC2 2 复摆复摆mglM22ddmglJt222ddt2mglJ令令)cos(mt)5(（ 点为质心）点为质心）C2JTmgl转动正向转动正向5-1 5-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征)(sin21212222
21、ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）5.3 简简 谐谐 振振 动的动的 能能 量量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图tx tv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin215-3 5-3 简谐振动的能量简谐振动的能量简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能
22、量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO5-3 5-3 简谐振动的能量简谐振动的能量动能和势能在一个周期内的平均值动能和势能在一个周期内的平均值2cos121sin)2cos1 (21cos2201 d TKkEE tT241kA01 dTPpEEtTEkAEEPk214125-3 5-3 简谐振动的能量简谐振动的能量220011 sin ()d 2TkAttT220011cos ()d2TkAttT214kA简谐振动的特征：简谐振动的特征：1)1)动力学特征动力学特征：受弹性回复力或准弹性回复力：受弹性回复力或准弹性回复力kxF 2)2)运动学特征
23、运动学特征：3)3)能量特征能量特征：0222 xdtxd)cos( tAx常常量量 22)(2121dtdxmkxxmka mglJ复摆复摆mk弹簧振子弹簧振子lg单摆单摆5-3 5-3 简谐振动的能量简谐振动的能量解解: : (1)(1)子弹射入木块过子弹射入木块过程中，水平方向动量守恒程中，水平方向动量守恒. .例例5.55.5如图所示，光滑水平面上的弹簧振子由质量如图所示，光滑水平面上的弹簧振子由质量为为M M的木块和劲度系数为的木块和劲度系数为k k的轻弹簧构成的轻弹簧构成. .现有一个质现有一个质量为量为m m，速度为，速度为 的子弹射入静止的木块后陷入其中，的子弹射入静止的木块后
24、陷入其中，此时弹簧处于自由状态此时弹簧处于自由状态.(1).(1)试写出该谐振子的振动方试写出该谐振子的振动方程；程；(2)(2)求出求出 处系统的动能和势能处系统的动能和势能. .0u2/Axxo0ukMm 设子弹陷入木块后两设子弹陷入木块后两者的共同速度为者的共同速度为 ，则有，则有0V00)(VMmmuMmmuV00 木块和子弹一起开始向右运动的时刻为计时起点木块和子弹一起开始向右运动的时刻为计时起点. .00000 xvV，kmM初始条件为初始条件为:子弹射入木块后谐振系统的圆频率为子弹射入木块后谐振系统的圆频率为xo0ukMm设谐振系统的振动方程为设谐振系统的振动方程为0cos()x
25、At谐振子的振动方程为谐振子的振动方程为 0000cossin0AVA 032000sin()VmuAk mM 00cos()3cos2xAtmuktmMk mM将初始条件代入方程将初始条件代入方程,得得: (2)(2)x xA/2A/2时谐振系统的势能和动能分别为时谐振系统的势能和动能分别为)(8)2(21212022MmmuAkkxEP)( 8383812120222MmmukAkAkAEEEPk 例例5-6 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期
26、； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T5-3 5-3 简谐振动的能量简谐振动的能量（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x5-3 5-3 简谐振动的能量简谐振动的能量11A1xx04.4.1 4.4.1 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频
27、率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成1 1、 计算法计算法121122cos()cos()xxxAtAt11112222coscossinsin coscossinsinAtAtAtAt11221122cos(coscos) sin(sinsin)t AAt AA11221122 coscoscos sinsins
28、inAAAAAA令 coscossinsin Acos(t) xAtAtxxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k)2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相
29、位差21AAA212k) 1 0( ，k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 1 0( ，k) 12(12k小结小结5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 4.4.2 4.4.2 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx讨论讨论 , , 的情况的情况 21AA
30、21125.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分 方法一方法一振幅振幅 振动频率振动频率tAtAxxx2211212cos2costtAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成coscos2coscos22拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）2212T121T12ttAx22cos)22cos2(121215.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 方法二：旋转矢量合成法方法二：旋转矢量合成法021t )( 212xo2A2x2xA1A1x111
31、t)()(1212t22t125.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成振幅振幅 振动圆频率振动圆频率2A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2)2cos(2121tAAxxt21cos221拍频拍频12)cos1 (21 AA5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 * *4.4.3 4.4.3 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成（1） 或或2
32、012xAAy12 讨讨论论（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成tAxcos1)2cos(2tAy（3）2121A2Aoxy1222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx 讨讨论论5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 两相两相互垂直同互垂直同频率不同频率不同相位差简相位差简谐运动的谐运动的合成图合成图5.4 5.4 简谐振动的合成简
33、谐振动的合成* *4 4.4.4 .4.4 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图5.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成角频率角频率振幅振幅makxv0dddd22kxtxtxm0dd2dd2022xtxtx5.5.1 5.5.1 阻尼振动阻尼振动)cos(tAext22022022TvrF阻尼力阻尼力mk0m2固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数5.5 5.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动共振受迫振动共振otx三
34、种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0222kxdtdxdtxdm220 b b）过阻尼过阻尼220 a a）欠阻尼欠阻尼220 c c）临界阻尼临界阻尼tAeTabctAetcos策动力策动力20p2cosd xdxmkxFtdtdt5.5.2 5.5.2 受迫振动受迫振动mk0m200fF m2200p22cosd xdxxftdtdt)cos()cos(p0tAteAxt2p22p204)(fA2p20p2tgPAo共振频率共振频率)cos(ptAx2p22p204)(fA5.5.3 5.5.3 共振共振2200p22cosd xdxxftdtdt0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼220r2共振频率共振频率220r2fA共振振幅共振振幅0ddpA阻尼阻尼0共振演示实验共振演示实验236145220r2 共振频率共振频率0r2202fA 共振振幅共振振幅 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆1作垂直于纸面作垂直于纸面的简谐运动时，单摆的简谐运动时，单摆5将将作相同周期的简谐运动，作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动其它单摆基本不动. 共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama窄桥因共振而坍塌窄桥因共振而坍塌