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1、第六章理想流体动力学工程实际问题中事实上不存在无粘性的理想流体，但是在分析研究工程中的流动现象时，有时将流体视为理想流体以简化研究，由此得到的结果在适当修正后仍有相当高的工程精度。在本章以下讨论中，都将忽略流体的粘性。本章同时假定研究的流动是定常的，因而先后通过同一空间点的流体质点的物理量都不随时间变化，由于这些物理量，如压强，速度分量都以欧拉法表示，因此它们都是空间或平面上点的位置的坐标函数，与时间无关。 6.1 流体微团的运动分析6.1.1 亥姆霍兹速度分解定理在定常流动中，以欧拉法表示的流体质点速度的三个投影xv,yv,zv都是质点所在位置的坐标x,y,z的函数。设一空间点0M的坐标为x
2、,y,z，它邻域内另一空间点1M的坐标为,xdx ydy zdz，在一确定时刻，0M处流体质点的速度投影xv是以这点坐标给出的函数值，同一时刻，位于1M处水质点速度在x 轴上投影xv是1M点坐标按同一函数确定的另一确定值。由于xv是一多元函数，xv的近似值可以按泰勒展开原则以xv及其导函数表示：xxxxxvvvvvdxdydzxyz根据需要，将上式整理成为：1111()()()()2222xxyxzxzyxxxvvvvvvvvvvvdxdydzdzdyxyxzxzxxy或xxxxxyxzyzvvdxdydzdzdy上式中,xxxyxzyz的定义见式（ 6-2）同样，1M处流体质点的速度矢量在y
3、,z 轴上投影yv和zv也可以导出类似的表达式，现将三个投影表达式写出如下：xxxxxyxzyzyyyxyyyzzxzzzxzyzzxyvvdxdydzdzdyvvdxdydzdxdzvvdxdydzdydx（6-1）式中，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - 1()21()21()21()21()21()2xyzxxyyzzxyxyyxyzyzzyzxzxxzzyxxzyyxzvvvxyzvvyxvvzyvvxzv
4、vyzvvzxvvxy，（6-2 ）不难理解，由式（6-2 ）定义的各个系数，在定常流动中，都是地点坐标x,y,z的函数且应取0M处的坐标值。式（ 6-1 ）表明，0M点邻域内1M点处流体质点的速度投影可以用0M处速度投影及它们在0M处的导数近似表示，这一表示称为亥姆霍兹速度分解定理。6.1.2 速度分解的物理意义下面分析式（ 6-2 ）定义的各项的物理意义。为清楚说明问题，考查一结构较简单的平面流动。这种情况下，流体质点都在xoy 平面上流动，速度矢量在z 轴投影0zV，在定常流动的欧拉表达式中，速度在x,y轴上投影,xyV V只是平面坐标x,y 的函数。于是，式（ 6-2 ）中z zyzz
5、 y0z xx zxy，方程（ 6-1 ）简化为dxdydxvvdydydxvvzyyyxyyzxyxxxx（6-3 ）在 xoy 平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微团，通过分析这一平面流体微团的运动与变形即可认识式（6-2 ）中各非零项的物理意义。这里应说明，流体微团与流体质点是两个不同的概念。流体质点指可以忽略尺寸的流体最小单元，大量连续分布的流体质点构成了一流体微团，流体微团在随流运动中可以改变其空间位置和形状。1. 平移运动。图 6.1a 中，平面矩形流体微团四个顶点A、B、C、D所在点坐标为 (x,y)，(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy).A点处流体质点速
6、度的在x,y 轴投影分别为,xyV V，假设方程（ 6-3 ）中0 xxyyxyyxz，方程（6-3 ）成为xxyyvvvv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - DCBAa)ODCBACBADCBADCBADCBCBdDDCBDddydtxxOxOxOyb)d)c)yyyeedxdtxxyydydteedxdt图 6-1 平面流体微团速度分解这表明， A点邻域矩形流体微团中任一流体质点与A点处流体质点运动速度完全相等
7、，流体微团象刚体一样在自身平面作平移运动。2. 线变形运动由于平面上B点与 A点的 x,y 坐标差分别为dx 和 0，由泰勒展开， B点处流体质点速度x 投影xv可以用 A点处的投影值xv及其导数表示：xxxxxxxvvvvdxdyvdxxy。经过 dt 时间段， A 处流体质点向右水平位移xv dt（假定xv0）， B处流体质点水平右移()xxxxv dtvdx dt，两质点在水平方向距离由原来的 dx 改变成为()xxxxxxvdx dtdxv dtdxdtdx，水平距离的改变量为()xxxxdxdtdxdxdxdt，那么，在单位时间单位距离上两流体质点水平距离的改变量显然为/xxxxdx
8、dt dxdt，这就是xx一项的物理意义。同样可以说明，yy是铅垂方向上两流体质点在单位时间单位距离上距离的改变量。如果xx和yy都不等于 0，原矩形 ABCD 的长边与短边都将随时间伸长或缩短，变成一新的矩形DCBA，如图（ 6-1b ）。矩形边的这种伸缩变形叫流体线变形运动。由于刚体的固体质点之间连线长度不会变化，因而刚体在运动中不存在这种线变形运动。3. 旋转运动设 A点处流体质点静止，即0 xyvv，B点与 A 点 y 坐标差0dy，令0 x xy y，即流体无线变形运动，再假定0yxxy，由式（ 6-3 ），B点处流体质点0,xyzvvdx，即 B 点处流体质点向上运动；在类似假定下
9、，可以得到D 处流体质点,0 xzyvdy v，质点 D向左运动，（假定0z）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - 或者说， AB和 AD以相同的角速度z绕 A点同向旋转，因而流体微团以这一角速度逆时针绕A点旋转。如图（6-1c ）。这种运动与刚体作绕轴旋转的方式一致。4. 纯剪变形运动设 A点处流体质点静止，即0 xyvv，同时假定0 xxyyz，即流体微团设有发生线变形，也未绕 A 点旋转。 B点与 A点 y 坐
10、标之差 dy =0, 由方程（ 6-3）可得到流体质点B点的0,xyyxvvdx，即质点 B 向上运动（设0yx），在类似假定下，可以得到D点流体质点,0 xxyyvdy v，D处流体质点向右运动（设0 xyyx），B、D两流体质点这种运动的结果，使原平面矩形微团ABCD变成一平行四边形A B C D，如图（ 6-1d ）。流体微团的这一运动称为纯剪变形运动 。这种变形运动也是流体特有的，刚体固态质点不可能出现这种运动。上面分析了平面流体微团的变形形式，即微团除平面平移和旋转外，还可能发生线变形和纯剪变形运动，这些运动实际是同时发生的。这一分析可以推广到空间，式（6-2）定义的全部符号的物理意
11、义在分析中得到了说明。空间或平面每个点处都分布了一流体质点的速度矢量v， 同时还可以在每个点处定义一旋转角速度矢量，它在 x,y,z 坐标轴上的投影分别是,xyz，即=xi +yj +zk，由于,xyz都是空间或平面上点的坐标 x,y,z的函数，因而旋转角速度矢量也是以欧拉法表示的。如果一个流动区域内处处都是零矢量，即0 xyz，或者说由式（ 6-2 ），下面关系成立zyxzyxvvyzvvzxvvxy（6-4 ）这一区域内的流动称为无旋或有势流，否则流动是有旋的。有旋流动与无旋流动是两类性质有较大差别的流动。值得注意的是，从上面分析还可以看出，一点处的旋转角速度矢量是描述局部流体微团旋转特征
12、的一个物理量， 一点处这一矢量不为零矢量，说明这点处的流体微团围绕微团中某一点旋转。流动是有旋或无旋与流动的宏观流线或迹线是否弯曲无关。 6.2 速度势函数与流函数6.2.1 速度势函数在无旋的空间流动中，每点处的旋转角速度矢量=xi +yj +zk 都是零矢量，这就要求0 xyz，即式（ 6-4 ）给出的关系成立。则有；既；由数学分析可知，如果三个关于x,y,z的函数,xyzv v v满足关系式（ 6-4）时，xyzv dxv dyv dz是一0)(21zvyvyzx0)(21yvxvxyz0)(21xvzvzxyzvyvyzyvxvxyxvzvzx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - 个 x,y,z的函数( , )x y z的全微分，即xyzdv dxv dyv dz（6-5 ）另一方面，的全微分d又等于ddxdydzxyz（6-6）比较式（ 6-5 ）和（ 6-6 ）可以得到xyzvvvxyz，（6-7）满足式（ 6-7）的由流动无旋条件确定的函数( , )x y z称为无旋流动的势函数。这就是无旋流又叫有势流的原因。 对一个无旋流，如果求解出它的势函数，由式（6-7）就可以找到流场的速度分布，进一
14、步可以得到流场的压强分布。寻求一个函数表达式显然要相对容易一些，这就是在无旋流中引入势函数的原因。势函数有如下一些特征。1. 不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。不可压缩三维流动的连续性方程为0 xyzvvvxyz将式（ 6-7）代入上式得到()()()0 xxyyzz或2222220 xyz上面这一方程叫拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数叫调和函数，不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。2. 存在势函数( , , )x y z的流动是一无旋流动。流场中一点旋转角速度矢量在x 轴上投影x，由定义式（ 6-2 ），应为1()2zyxvvyz如果流动存在势函数中，那么必须满足式（ 6-7 ），将
15、式（ 6-7 ）代入上式，得到2211()()()022xyzzyy zz y同样可以证明的另外两个投影0yz，这就表明，当流动存在势函数时，流动区域内处处旋转角速度矢量都是零矢量，流动是无旋的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - 3. 等势面与流线正交令一有势流动的势函数( , , )x y z等于一常数C，得到一方程( , , )x y zC (6-8) 这一方程的几何意义是一张空间曲面（平面问题中得到一平面曲
16、线），这一曲面称为势函数的等值面。等值面上每一点的坐标都满足方程（6-8 ）。一流场中显然有无穷多张等值面，它们对应于方程（6-8 ）中的右边不同的常数。在一等值面上取一点A，并在其邻域内另取一曲面点B，从 A点到 B点的矢量记为dl ，如图 6-2 。设矢量在三个坐标轴上投影分别为dx,dy,dz，于是 dl 可写成 dl= dxi +dyj +dz k。A点处速度矢量v 等于 v=vxi +vyj +vzk。现计算上述两个矢量的点积dl?)(dzkdyjdxiv?ddzvdyvdxvkvjvivzyxzyx)(图 6-2 等势面与流线d为 A、B两点处势函数之差，由于A、B两点在同一等势面
17、上，因而这两点势函数值相等，0d。这说明矢量v 与 dl 正交。 B 点在等势面上的位置事实上是任意的，因此速度矢量v 与过 A 点的曲面上任意一微线段正交， v 在 A 点与等势面正交。通过 A点的流线与A点处速度矢量相切，由此可以得到流线与等势面正交的结论。给定一无旋场速度投影,xyzv v v的欧拉表达式后，势函数可以通过积分方程（6-5）获得。 由于有势流动速度的三个投影量满足关系式（6-4 ），式（ 65）右端积分结果与所选路径无关。？为此，可选择一最简单的折线连接给定任意起点000(,)xyz与终点( , , )x y z，积分结果是, ,x y z的函数，即势函数。随初始点选择不
18、同，结果中的常数项是不一样的，但这并不影响势函数的性质，势函数加减一常数后仍然是势函数。例 6-1 一平面定常不可压缩流动的流线为通过原点的向外发射的射线，速度大小v 反比于这点到原心距离/ 2rvqr：（q 是正常数）。证明这一流动是有势的，求解势函数，并证明所得势函数是一调和函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - 图 6-3 平面有势流动解：在图 6-3 中，平面上任一点A 到原心距离为r，通过这点的射线与x
19、 轴正向夹角为。设 A 点的直角坐标为, x y，显然有222rxy，sin/y r，cos/x r。A 点处速度矢量与通过A 点流线相切，也沿半径向外，其大小/ 2vqr。由图 6-3 可以得到速度在x, y 轴的投影表达：222222cos222sin222xyqqxqxvrrxyqqyqyvrrxy这样就把平面上一点处的速度投影写成了这点坐标（x, y）的函数，即以欧拉法表达了速度投影值。由于222()xyvvqxyyxxy因此,xyv v满足方程（ 6-4），流动是有势的。在利用方程（ 6-5）求解势函数时，由于方程右端积分与积分路线无关，因此选择通过（0，1），（x1，0），（ x1
20、，y1）三点的简单折线进行积分，在运算中，应将（x1,y1）视为常数。22111122221,01,011,()2lnln122xyx yx yqxyv dxv dydxdyxyxyqqxy势函数加减一常数后仍然为势函数，因而ln12q项可以不写出。 x1, y1事实上任意的，分别以x, y代替它们，得到势函数为22ln2qxy由于22222222222222()02()()qyxxyxyxyxy所得势函数是调和函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 31
21、页 - - - - - - - - - 6.2.2 流函数连续的平面流动存在流函数。应说明，空间三维流动并不与流函数这一概念相联系。不可压缩平面流动的连续性方程为0 xyvvxy或xyvvxy（-）（6-9）由数学分析可知，当两个关于x, y的函数,xyvv满足（ 6-9 ）式时，yxv dxv dy是一个 x, y的函数( ,)x y的全微分，即yxdv dxv dy（6-10）另一方面，的全微分d可以写成：ddxdyxy（6-11）比较式（ 6-10）和（ 6-11）可以得到yxvvxy，（6-12）满足式（ 6-12）的函数( , )x y称二维连续流动的流函数。流函数有如下性质：1.有
22、势平面流动的流函数是调和函数平面流动无旋的条件是平面上处处0z，即1()02yxvvxy，将式（ 6-12）代入，有()()0 xxyy或22220 xy这表明，有势二维流动的流函数满足二维拉普拉斯方程，是一调和函数。2.沿一条流线的流函数是常数图 6-4 中给出了平面流动的一条流线。在流线上取一微段ds，设 ds在 x, y 轴上投影分别为dx, dy ，如果把 ds 视为一矢量ds，那么 ds=dxi +dyj 。微线段上一点的速度矢量xyv=v i+v j。由于速度矢量v 与流线相切，因而 v 与 ds 是两个平行矢量，于是有关系：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
23、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - xydxdyvv或0yxv dxv dy将式（ 6-12 ）代入上式，得到0dxdyxy或0d，即Cyoxvsvvdxdydsxy图 6-4 流函数性质推导这就证明了沿一条流线各点的流函数值相等。如果令流函数( , )x y等于一系列的常数值，所得各方程代表了平面上一系列流线。3平面流动中，通过连接平面上两给定点的曲线所代表的单位厚度的曲面的流量等于两给定点处流函数值之差。在图 6-5 中，平面上两给定点A，B处流函数值分别为常数BA
24、,。察现考察流过连接A，B 两点的任意曲线的流量q。这一曲线实际代表了一高度为一单位且与平面正交的曲面。在曲线上取一微弧段ds，它在x,y 轴上投影分别为dx,dy 。ds 上各点处的流体质点的速度在两坐标轴上投影, xyv v可视为常数。 由于流体不可压缩，通过微曲面ds 的流量dq显然等于流体通过微直线段dx 的流量dxvy- 和水流通过微直线段dy 的流量dyvx之和，即dyvdxvdqxy，式中右边第一项出现了负号是因为在图示情况下，yv本身是负的，当 dx 为正时，加负号后才可表示正的流量值。代入式（6-12 ），上式成为ddyydxxdq，积分该式就得到通过给定曲线的流量q：BAA
25、BddqqAb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - yxodydxyvABdsdsvvx图 6-5 流函数性质3 的证明4流函数的求解在以欧拉法给定了速度矢量两个分量,xyv v后，通过积分式（6-10 ）可得到流函数( , )x y。由于关系（6-9 ），这一积分结果与积分路线无关。与求解势函数一样，也应选择一最简单的平面折线完成线积分。例 6-2 一平面定常流动的流函数为( , )3x yxy试求速度分布，写出通
26、过A（1，0），和 B（2，3）两点的流线方程，并计算这两点流线之间的通过流量。解：由式（ 6-12 ）有1xvy3yvx平面上任一点处的速度矢量大小都为221( 3)2， 与 x 轴正向夹角都是0arctan( 3 /1)60。这种速度分布不随地点变化的平面流叫平面均匀流。A点处流函数值为3?301，通过 A点的流线方程为33xy。同样可以求解出通过 B点的流线方程也是33xy。可以看出， A，B两点实际上是在同一流线上。通过 A，B连线流量为3(3)0，这一结果从A，B在同一流线上这一事实也可得到。例 6-3 计算例 6-1 中平面流动的流函数，并证明所得流函数是一调和函数。解：在例 6-
27、1 中已得到了速度投影的以平面直角坐标表达的结果, xyv v，将它们带入式（6-10 ），有222222qyqxddxdyxyxy积分上式就能得到流函数。由于这一积分与平面上积分路径无关，积分路线选取经过)0, 1(，)0 ,(1x，11(,)xy的简单折线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - 1,122221,011()2arctan()2x yqyxdxdyxyxyqyx11(,)x y实际上平面上任一点的
28、坐标，因而可以用x,y 代替 x1和 y1， 流函数成为arctan( )2qyx。流函数加上任一常数后并不影响其性质，仍然称为原平面流动的流函数。6.2.3 平面有势流动的势函数与流函数的关系由式（ 6-7 ）和（ 6-12 ）可以看出，平面有势流动的势函数和流函数有如下关系：,xvyxyvxy（6-13 ）在讨论势函数的性质时，曾证明了势函数的等势面与流线正交。在平面定常有势流动中，势函数只是x,y 的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。平面上若干等势线与流线构成了正交曲线网。6.2.4平面极坐标下的势函数和流
29、函数在分析一些工程平面流动问题时，有时使用极坐标更方便。在平面极坐标中，点的位置由, r两个坐标决定。r指点到极坐标原点的距离，指从原点出发经过讨论点的射线与极轴夹角，以逆时针方向为正。如果规定，平面上的点与一对有序数( , )r显然是一一对应的。经过平面上每点处都有两条互相正交的坐标轴：r轴从原点出发经过讨论点，向外为正 ；轴为以原点为圆心且通过讨论点的圆周，逆时针方向为正。 平面上任一点的流体质点的速度矢量在经过这一点所在位置的两坐标轴上的投影,rv v，当流动定常且以欧拉法表示时，显然都是,r的函数。同样，平面定常有势流动的势函数与流函数也是点的坐标, r的函数，且有与式（6-7 ）和式
30、（ 6-12 ）类似的关系：vrrvrrr1,1（6-14 ）势函数与流函数的全微分成为drvdrvddrrdr（6-15 ）drvdrvddrrdr（6-16 ）如果平面直角坐标系原点与极坐标系原点重合且平面直角坐标系的x 轴与极坐标系的极轴重合，一个点的平面直角坐标 (x,y)与极坐标( , )r有如下关系：cossinxryr，（6-17 ）22arctanyrxyx，（6-18 ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - -
31、- - - 6.3 几种基本平面势流工程中一些复杂的平面有势流动可以由几个简单的平面势流叠加得到，本节将首先分析一些简单的平面定常有势流动的特点。6.3.1 平面均匀流平面均匀流指在同一时刻，所有平面流体质点的速度矢量的大小与方向都相同的平面流动。流动定常时，速度矢量的这两个要素既不随时间变化，也不随地点变化。设流动速度大小为v，速度方向与xoy 坐标系的 x 轴正向一致，于是，平面上各点上的速度分量是确定常数：,0 xyvxv。这一流动显然是有势的, 流动的势函数),(yx满足式（ 6-5）：dxvdyvdxvdyx积分上式即可得到流动势函数xv（6-19 ）流动的流函数( , )x y满足
32、式（ 6-10 ）yxdv dxv dyv dy积分上式即可得到流动的流函数: v y（6-20 ）令势函数等于一系列常数，这些方程决定的等势线是流动平面上与y 轴平行的直线族；令流函数等于一系列常数，这些方程决定的流线是流动平面上与x 轴平行的直线族。这两组直线显然是互相正交的。6.3.2 点源与点汇如果流体从平面上一点以流量)0(qq流出后，在两距离为单位从长度的无穷大平行平面之间沿射线流向无穷远处， 将形成一点源。 如果水流从无穷远处在两距离为单位长度的无穷大平行平面之间以流量)0(qq流向平面一点并在此消失，将形成一点汇。（图6-6 ）oxyyxo图 6-6 点源与点汇可以证明，这两种
33、流动都是有势的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - 将点源或点汇置于坐标原点。设平面上一点到原点距离为r，通过这点的一圆心在原点的圆周事实上代表了一高度为单位长度的柱面，其面积为2 r，由于流体不可压缩，通过这一柱面的流量应为源或汇的流量q。柱面上各点流体质点的速度矢量将与柱面正交，速度矢量在圆周方向投影0v， 速度矢量在半径方向投影rv在柱面各点是常数，因此，它与柱面面积之积应等于通过这一柱面的流量q：qrvr
34、2，由此得到极坐标系下速度矢量的两个投影：02vrqvr（6-21 ）式（ 6-21 ）及以下各式中，正、负号分别对应于点源与点汇。流动的势函数()r，的全微分d满足方程（ 6-15 ）：drrqdrvdrvdr2积分上式即可得到流动的势函数：rqln2（6-22 ）流动的流函数( , )x y的全微分d满足方程（ 6-16 ）：2rqdv drrv dd（6-23 ）积分上式即可得到流动的流函数2q（6-24 ）令势函数等于任一常数，运算后可得到1rC，在极坐标系下这是一个圆心在原点，半径为1C的圆的方程；令流函数等于任一常数，运算后可得到2C，这是一条以原点为起点，与极轴夹角为2C弧度的射
35、线的方程。显然得到的等势线与流线在交点处是正交的。由方程（ 6-18 ）可以写出平面直角坐标系下位于坐标原点的点源与点汇的势函数与流函数：22ln2yxq（6-25 ）arctan( / )2qy x（6-26 ）当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而在平面上00(,)xy处时，以直角坐标表达式的势函数与流函数分别为2020)()(ln2yyxxq（6-27 ）00arctan2qyyxx（6-28 ）源点或汇点在单位时间内发出或吸收流体的的体积即流量q称为点源与点汇的强度。6.3.3 点涡平面上流体质点绕一固定点作逆时针方向的匀速圆周运动，不同半径圆周上质点运动速度反比于圆周半名师资料总结
36、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - 径，这就形成了平面上一点涡，如图 6-7 。流线p(r,)O等势线rv=v图 6-7 平面点涡将坐标原点置于上述固定点，水流质点绕一半径为r、圆心在固定点的圆周运动，由于质点速度矢量与圆周相切，因而其径向投影0rv，其圆周方向投影2vr，由于在任一圆周上是一正常数，表明流体质点速度值反比于其所在圆周半径r 。极坐标系下，速度分量为02rvvr（6-29 ）可以证明，这一流动是有势的。流动的势
37、函数),(r的全微分d满足方程（ 6-15 ）2rdv drrv dd积分上式即可得到流动的势函数：2（6-30 ）流动的流函数()r，的全微分d满足方程（ 6-16 ）：12rdv drrv ddrr积分上式即可得到流动的流函数ln2r（6-31 ）令势函数与流函数分别等于两常数，经计算可得到12CrC，在极坐标系下，它们代表的等势线和流线分别是一条通过原点的射线和一个以原点为圆心的圆，显然这两条平面曲线是正交的。由方程（ 6-18 ）可以写出平面直角坐标系下位于坐标原点的点涡的势函数和流函数：22ln2)arctan(2yxxy（6-32 ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
38、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - 当点涡不在平面直角坐标系的原点而在平面上00()xy，处时，流动的以直角坐标表达的势函数和流函数分别为：202000)()(ln2)/()arctan(2yyxxxxyy（6-33 ）称为点涡的强度。 6.4 势流的叠加6.4.1 势流的叠加原理设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为1，2流函数分别为12，。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一
39、有势流动，其势函数可由下式求出：21同样，合成流动的流函数等于12在获得了合成流动的势函数与流函数后，可由式（6-7 ），（ 6-12 ），（ 6-14 ）求出流场的速度矢量，进一步以伯努利方程求出压强分布，完成流场分析。6.4.2 点源与点涡螺旋线平面坐标原点有一强度为q的点源和一强度为的点涡(00)q，如图 6-8 。由点源与点涡共同产生的平面势流的势函数应为它们两者的势函数（式（6-22 ）和（ 6-30 ） ）的叠加：2ln2rq同样可以由式（ 6-24 ）和式（ 6-31 ）得到合成流动的流函数：ln22qr=常数=常数图 6.8 点源与点涡令等于一常数，经计算可以得到(/)1qrC
40、 e，在平面极坐标系下，这一方程代表的等势线是一条平名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - 面对数螺旋线，同样可以得到流线也是平面对数螺旋线(/)2qrC e。这两条曲线是正交的。水泵矩形断面蜗壳中的理想流动是点源与点涡叠加的一个例子。6.4.3 偶极子流在平面直角坐标系的 （-a， 0） 和 （a， 0） 两点处分别设一强度均为q的源和汇(00)aq， 由式 （6-27 ）和（ 6-28 ）及势流叠加原理，合成势流
41、的势函数和流函数分别为2222)(ln)(ln2yaxyaxq)arctan(arctan2axyaxyq设源点与汇点沿x 轴无限接近，即令20a，同时设q无限增长，这样就能保证乘积2aq始终保持为一常数M：2Maq。这一极限状态下源汇产生的平面流动称为偶极子流，M称偶极子强度（M0） 。在0a和q条件下，偶极子流动的势函数与流函数成为2222002222ln()ln()2limlim()22ln22aaqxayxayaqaMdMxxydxxy（6-34 ）22002)arctan(2)2arctanarctan(22limlimyxyMxydxdMaaxyaxyaqaqa（6-35 ）利用平
42、面直角坐标与极坐标的关系即式（6-17 ）和（6-18 ） ，可以得到偶极子流动的势函数与流函数的极坐标表达式：rM cos2（6-36 ）sin2Mr（6-37 ）下面讨论偶极子流动的等势线和流线的特征。令式（ 6-34 ）等于一常数C，所得方程代表了平面上一条等势线。经计算，这一方程可以简化为222)4()4(CMyCMx这是一个圆心在CM4(, )0，半径为|4CM, 与 y 轴相切于原点的圆，C0时，圆位于y 轴右侧，否则在 y 轴左侧。令式（ 6-35 ）等于一个常数D，方程简化后可以得到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
43、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - 222()()44MMxyDD这一流线是一圆心在（0，-4MD） ，半径为4MD的圆，圆与x 轴相切于原点。当D0 时，圆位于x轴下方，否则位于x 轴上方。这样所到的等势线组与流线组是正交的，见图6-9 。yx流线等势线O图 6-9 偶极子流6.5 圆柱体绕流6.5.1 圆柱体无环量绕流在一流动速度为v的定常均匀流中设置一半径为0r，轴心线与原均匀流流动方向垂直的无穷长静止直圆柱体，由于圆柱体对原均匀流的干扰，均匀流的流线不再是直线，在距圆柱体越近处这种变化越明显。由于圆
44、柱体无穷长，在每个与圆柱体轴心线垂直的平面上流动是一样的，流动具有二维流动的特征，如图6-10 。流动平面图 6-10 无穷长圆柱体绕流名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - 将平面直角坐标系的原点设置在圆柱轴心线与平面交点处，x 轴正向与均匀流流动方向一致。现设想将圆柱体从流场中抽去，然后在坐标原点处设置一强度202Mv r的偶极子，如图6-11 。下面分析这一复合流动的流动特征。yx=0AB图 6-11 均匀流绕
45、流圆柱体1. 平面复合流动的势函数与流函数由平面均匀流与偶极子流合成后的流动仍然是有势的，复合流动的势函数与流函数分别等于两个有势流的势函数与流函数的叠加，由式（6-19 ） ， （6-20 ） ， （6-34 ）和（ 6-35 ） ，复合流动的势函数与流函数分别为2220222yxxrvxvyxxMxv（6-38 ）2220222yxyrvyvyxyMyv（6-39 ）由直角坐标与极坐标的关系，上面两个函数的极坐标表达式为)1(cos220rrrv（6-40 ）)1 (sin220rrrv（6-41 ）方程0代表的流线称为零流线。现零流线方程为2022(1)0rv yxy由此得到 y=0 和
46、2220 xyr，这表明， x 轴和一半径为0r，圆心位于坐标原点的圆周有两条流线，流线上流体质点的速度矢量与流线相切，不可能穿越流线，因而理想的流线可以与固体壁面互换。可以看到，均匀流与一偶极子叠加后相当于均匀流绕流圆柱体的流动结果，两者在圆柱体外部流动是相同的，这是可以以两个势流叠加代替原绕流物理模型的原因。2. 柱面表面速度分布在极坐标中，由式（6-14 ） ，流动的速度分布为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - -
47、 - 2022021cos (1)1sin(1)rrvvrrrrvvrrr圆柱体表面即零流线圆上各点0rr，代入上式，得到圆柱体表面速度分布0rv（6-42 ）sin2vv（6-43 ）式（ 6-42 ）表明，圆柱体表面上速度矢量没有径向分量，流体不可能穿透或离开圆柱体，符合固态物面的流动特点。3. 圆柱体表面的压强分布可以认为在平面上距原点无穷远处流动不受圆柱体或偶极子影响。在有势流中，可以在任意两点处列出伯努利方程。 现将一点取在平面上无穷远点，这点处速度大小v和压强p是两个常数， 另一点取在圆柱表面0()r，处，这点压强为P，于是得到：gvvgpgvgpr222022或)sin41(22
48、2vpp（6-44 ）速度大小为零的点称为驻点。式（6-42 ）和（6-43 ）表明，在圆柱表面0和即圆柱体与x 轴两个交点都是驻点，式（6-44 ）表明，这两点压强达到极大值。在圆柱表面2处即圆柱表面与y 轴两交点处，速度达到极大值，是无穷远处速度的两倍，但压强降到最低。4. 圆柱体所受流体作用力的合力在式（ 6-44 ）中，以0代替0，压强值p 不变，说明圆柱体表面压强分布对称于x 轴，圆柱表面压强不产生 y 方向的合力 ( 关于 x 轴对称的力系不产生y 轴的合力， 因为在 y 轴上的合力相互抵消了，反之成立 ) 。以0代替0， 压强值也不变， 说明圆柱体表面压强分布对称于y 轴，圆柱表
49、面压强不产生x 方向的合力。这样，圆柱表面流体压强的合力为零。均匀流绕流任一静止翼型时，翼型表面所受到的总作用力与均匀流动方向一致的分量和与均匀流动方向垂直的分量分别称翼型所受的阻力D 和升力 L。现在可以看到，理想均匀流绕流圆柱体时，圆柱体的阻力D 和升力 L 都等于零。6.5.2 圆柱体有环量绕流在速度大小为v的定常均匀流中置入一半径为0r的无穷长的圆柱体，这一圆柱体也与均匀流方向垂直，与上面分析不同处在于，圆柱体以均角速度绕其轴心线旋转。圆柱体外的流动同样是一有势平面流动。分析中，仍假定将圆柱体从流场中抽出，并在与上节相同的平面直角坐标原点设置强度202Mv r的偶极子，另外再设置一强度
50、(0)的逆时针的涡。下面分析这一由均匀流，偶极子和点涡合成的平面流的流动特性。1. 平面复合流的势函数与流函数平面流的势函数和流函数应为三个流动对应的势函数、流函数叠加， 由式 （6-19 ） ，（6-20 ） ，（6-32 ） ，（6-34 ）及（ 6-35 ） ，可以得到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - xyyxxrvxvarctan22220（6-45 ）222220ln2yxyxyrvyv（6-46 ）