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1、函数与导数专项压轴练习题题型1.选题压轴题1.已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（）ABC0D为三次函数，其图象可能情况有如下5种：不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：，由于为的二重根，故可设，令，解得：，或，且当或上，当，故是的极大值点，故极大值为.故选：B2.在给出的；三个不等式中，正确的个数为（）A0个B1个C2个D3个解：令，则，所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减；因为，所以，即，即，故错误；因为，所以，即，所以，即，故正确；再令，则，所以当是，即在上单调递增，所以，则，即，又，所以，即，即，所以，即，所以，即，故正确；故选：C3函数（，），已知
2、，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（）ABCD【答案】D4已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有_.函数在上单调递增；是函数的周期；函数的值域为；函数在内有4个零点.【答案】解析：函数，定义域为R，为偶函数.当时，此时正弦函数为增函数，故正确；，而，不是函数的周期，故错误；当或，kZ时，此时，当，kZ时，此时，故时，是函数的一个周期，故考虑时，函数的值域，当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，；当时，此时，综上可知，故正确；由知，时，且函数单调递增，故存在一个零点，当时，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当时，函数有2个零点，函数为偶函数，函数在内有4个零点.故正
3、确；故答案为：.题型2.恒成立问题1已知函数(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)设函数，若，求的值解析：（1）由题意知因为函数在上单调递增，所以，即对恒成立设，则当时，当时，所以函数在上单调递增所以（2）由题知所以，因为，所以， 即为的最小值，为的一个极小值点，所以，解得当时，所以当时，（当且仅当时等号成立）所以在上单调递增当时，若，；若，所以在上单调递减综上，在上单调递减，在上单调递增所以当时，2已知函数.（1）a时，求函数f（x）在区间0，上的最值；（2）若关于x的不等式f（x）axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围.解析：（1）由题意，.，当时，恒成立.在上单
4、调递减.当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为.(2)不等式在区间恒成立，即在区间恒成立.即在区间恒成立.当时，有成立，即.设.则.设，令.当时，；当时，即.当时，即在区间上单调递减，当时，符合题意；当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.函数在上单调递减.又，使得.且当，即在上单调递增，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.题型3.零点问题1.已知函数.(1)若1是函数的极值点，求a的值；(2)若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.(3)若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值.（参考数据：，解：因为函数，所以，因为1是函数的极值点，所以，解得，经检验符合
5、题意；(2)当时，令，则，因为，则在上递增，所以当时，当时，所以，则无零点，即无零点； 当，令，则，因为，则在上递增，所以存在有，即，当时，当时，且，又，令，则，令，则成立，所以在上递增，所以，即，所以无零点，即无零点；(3)令，因为，可转化为，若有两个零点，则有两解，令，则，当时，递增，当时，递减，所以，所以在上递减，又在上，则递增，又，所以存在，有，即，当时取得极小值，所以a的最小整数值是4.2.已知函数，其中为非零常数.（1） 若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2） 设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点.15学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型4.双变量问
6、题1已知函数，其中.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.解析：（1）因为，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以，即的取值范围是.（2），对函数，设上一点为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即所以，令，令，所以在上递增.因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，所以的取值范围是.2设函数，其中（1）讨论的单调性；（2）当存在小于零的极小值时，若，且，证明：解析：
7、（1）由当时，在上为单调递增函数.在上为单调递减函数.当时，令（i）当时，当时，此时；当时，此时；当时，此时；当时，恒成立，故在上为单调递增函数（ii）当时，或，故在和上为单调增函数，在上为单调减函数.(iii) 当时，或，故在上为单调增函数，在和上为单调减函数.综上所述：当时， 在上为单调递增函数.在上为单调递减函数. 当时，若，在上为单调递增函数；若，在和上为单调增函数，在上为单调减函数；若，在上为单调增函数，在和上为单调减函数.（2）当存在小于零的极小值时，此时在上为单调递增函数，令令在上单调递增，而在在上单调递增 ，从而 在上单调递减，.3已知函数.其中为自然对数的底数.（1）当时，求
8、的单调区间：（2）当时，若有两个极值点，且恒成立，求的最大值.解析：（1）对求导得 当时，当，即，；当，即，；故当时，的递增区间为，递减区间为.（2）当时，由（1）知令，则的两个不等实数解为故 即（或）故不等式恒成立恒成立（*）由于，故，故（*）恒成立令 则 是上的增函数，即最大值为.4函数（1）若函数有2个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上最大值为m，最小值为n，求的最小值解析：的定义域为，当时，当时，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，为，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，所以要使函数有2个零点，则，解得.（2），（i）当时，恒成立，函
9、数在区间上为增函数，所以，所以，令，则函数在区间上单调递减，所以的最小值为，即的最小值为.（ii）当时，恒成立，函数在区间上单调递减，所以，所以，令，则函数在区间上单调递增，所以的最小值为，即的最小值为.（iii）当时，由，得，由，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，当时，此时，所以，令，则，所以函数在区间上单调递增，所以函数的最小值为，所以的最小值为.当时，所以，所以，令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，综上所述：的最小值为.5设函数.（1）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，证明：.解析：令，则有2个零点，等价于存在两个正根，则有，解得，所以使得有两个零点的a的取值范围是.（2）依题意，因为，且有两个极值点，则为的两个不同解，由（1）知，且，不妨设，要证明，只需证，而，即，只需证，因，只需证，两边同除以得，因为，只需证，设，令，则，令，则，即在上单调递增，则有，因此，在上单调递增，即，当时，取，从而有成立，