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1、第2课时 几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax
2、(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0，+)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课新知探究提出问题在区间(0，+)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：在区间(0，+)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.见下表与图3-2-1-12.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2x1.
3、1491.51622.6393.4824.9596.063810.556y=x20.040.3611.963.244.846.67911.56y=log2x-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766图3-2-1-12从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)(4，+).我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),x012345678y
4、=2x1248163264128256y=x201491625364964图3-2-1-13容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时x21)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，+)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，在区间(0，+)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x
5、轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1),指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0，+)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn0)增长快于对数函数y=logax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例思
6、路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x250，400时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：可卖出400份的20天里，收入为200.30x；可
7、卖出250份的10天里，收入为100.30250；10天里多进的报刊退回给报社的收入为100.05(x-250).付给报社的总价为300.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x250，400时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=200.30x+100.30250+100.05(x-250)-300.20x=0.5x+625，x250，400.因函数y在250，400上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关
8、系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t1+=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3
9、=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0x10时，f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1
10、(x-13)2+59.9，由f(x)的图象,知当x=10时，f(x)max=f(10)=59；当10x16时，f(x)=59；当16x30时，f(x)=-3x+107，由f(x)的图象,知f(x)-316+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-320+107=4753.5,开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思路2例3 2007山东滨州一模，文20一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60
11、元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少?(一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：(1)设一次订购量为a个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+50个.(2)p=f(x)=其中xN*.(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=其中xN*,故当x=500时,y=
12、6000;当x=1000时,y=11000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x、y的等式.例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：图3-2-1-16甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.活动：观察函数图象，学生
13、先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型.解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,从而求得其解析式为y乙=-4x+34.(1)当x=2时，y甲=0.22+0.8=1.2,y乙=-42+34=26，y甲y乙=1.226=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.(2)第1年出产鳗鱼130=30(万只),第6年出产鳗鱼210=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.(3)设当第m年时的规模总产量为n,那么n=y
14、甲y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,nmax=31.2,即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.知能训练2007山东高考样题，文18某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(2)认定
15、市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图3-2-1-17(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正.解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t-150)2+100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).即h(t)=当0t200时，配方整理,得h(t)=(t-50)2+100,所以当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当2008
16、7.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.拓展提升探究内容在函数应用中如何利用图象求解析式.分段函数解析式的求法.函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)
17、所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.图3-2-1-18(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元?分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t0,40上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：
18、(1)f(t)=g(t)=t2+6t(0t40).(2)每件A产品销售利润h(t)=.该公司的日销售利润F(t)=,当0t20时，F(t)=3t(t2+8t),先判断其单调性.设0t1t220,则F(t1)-F(t2)=3t1(t12+8t1)-3t2(t22+8t2)=(t1+t2)(t1-t2)2.F(t)在0,20上为增函数.F(t)max=F(20)=6 0006 300.当206 300，则t30;当30t40时，F(t)=60(t2+240)60(302+240)=6 300,故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式,先要分
19、清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.2.在t0,40上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P107习题3.2A组3、4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.下课
20、啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，
21、没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水
22、，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（
23、4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下
24、，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类
25、自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争
26、做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会
27、死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。
28、（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？