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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.如图,四棱锥SABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD底面ABCD ,AD2,DCSD2,点 M 在侧棱 SC 上,oABM=60 ；（I）证明： M 是侧棱 SC 的中点；求二面角 S AM B的大小；2.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中, ABAC,D、E 分别为 AA1、 B1C 的中点, DE平面BCC1（）证明： AB=AC （）设二面角A-BD-C 为 60 ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 A 1 C1B1DAEC3.如图, DC平面 ABC ,EB/ /DC ,AC/ /BC BEB2DC2,ACB12
2、0o ,P Q 分别为AE AB 的中点（I）证明：PQ平面 ACD ；（ II ）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.如图,四棱锥PABCD 的底面是正方形,PD底面ABCD,点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面平面 ABCD ,PAAD4,AEC平面PDB；（）当PD2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.如图,在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PAAB2以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交P
3、D于点PMDM （1）求证：平面ABM 平面 PCD ；A（2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；（3）求点 O 到平面 ABM 的距离O6.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互BC相垂直,ABE 是等腰直角三角形,ABAE FAFE,AEF45（ I）求证：PM 第 2 页,共 20 页EF平面BCE；（II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为P 、 M ,求证：平面BCE名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （III ）求二面角 F BD A的大小；7.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD平
4、面 ABCD ,SDADa,点 E 是 SD 上的点,且DEa0 1. 求证：对任意的（0、1）,都有 ACBE:如二面角 C-AE-D 的大小为 600C,求 的值；8.如图 3,在正三棱柱 ABC A B C 中, AB=4, AA 1 7 ,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AC 上,且 DEA E.（）证明：平面A DE平面ACC A ;（）求直线 AD 和平面A DE 所成角的正弦值；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面相互垂直,ABE 是
5、等腰直角三角形,ABAE FAFE,AEF45AD2,四边（I）求证： EF平面BCE；（II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为P 、 M ,求证：PM 平面BCE（III ）求二面角 FBDA的大小；10.如题（ 18）图,在五面体ABCDEF 中, AB DC ,BAD2,CD形 ABFE 为平行四边形,FA平面 ABCD ,FC3,ED7求：（）直线 AB 到平面 EFCD 的距离；DAB 60,AB2AD,PD底（）二面角FADE 的平面角的正切值11如图,四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,面 ABCD1证明： PABD；2设 PDAD,求二面角 APBC 的
6、余弦值12（本小题满分 12 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB PCD,ACBD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点（1）证明： PE BC（2）如 APB= ADB=60 ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值参考答案1、【解析】（I）解法一：作 连 ME、 NB,就 MNMN SD 交 CD 于 N,作 NEAB 交 AB 于 E,面 ABCD , MEAB ,NEAD2设 MNx ,就 NCEBx ,在 RT MEB 中, QM
7、BE60ME3x ；2NE2MN23x2x22在 RT MNE 中由ME解得x1,从而MN1SDM 为侧棱 SC 的中点 M. 2解法二 :过 M 作 CD 的平行线 .（ II）分析一 :利用三垂线定理求解；在新教材中弱化了三垂线定理；这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角；过 M 作 MJ CD 交 SD 于 J ,作 SHAJ 交 AJ 于 H ,作 HKAM 交 AM 于 K ,就JM CD , JM面 SAD ,面 SAD面 MBA ,SH面 AMBSKH 即为所求二面角的补角.名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - -
8、- - - - - - - 法二 ：利用二面角的定义；在等边三角形ABM 中过点 B 作 BFAM 交 AM 于点 F ,.就点 F 为 AM 的中点,取SA 的中点 G,连 GF,易证 GFAM ,就GFB 即为所求二面角Dxyz,就解法二、 分别以 DA、DC 、DS 为 x、y、 z 轴如图建立空间直角坐标系A2 ,0 0 ,B2,2 0 ,C,0,02 ,S,0,0 2 ；zBA（ ）设M0,a,ba0,b0,就a,b2 ,即M0 ,1,1 0 ,20 ,BMM 2,a2 ,b,SM 0 ,SC0 , 2 ,2 ,由题得CyDA cos/BA,BM1B,即2x SMSC解之个方程组得a
9、1 b12a212a22b2222a2 b2所以 M 是侧棱 SC 的中点；法 2：设SMMC,就M,02,12,MB2 ,12,121又AB,00,2,MB,ABo 601 ,故MBAB|MB|AB|cos60o,即42122122,解得1所以 M 是侧棱 SC 的中点；名师归纳总结 （ ）由（ ）得M,0 1,1 ,MA,2,11 ,又AS2, ,02 ,AB0 2, , 0 ,设n 1x1,y 1,z 1,n2x2,y2z 2分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量,就第 6 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n1MA0且n2MA
10、0,即2x1x1y1z 100且22x20y2z20n1AS0n1AB022z 1y2分别令x1x22得z 1,1y 1,1y20 ,z 22,即BCC ,从n 12 , ,1 1 ,n22, 0 , 2 ,cosn1n22206263二面角 SAMB 的大小arccos6；32、解法一：（ ）取 BC 中点 F,连接 EF,就 EF1B B ,从而 EF 1DA；2连接 AF,就 ADEF 为平行四边形,从而AF /DE；又 DE平面BCC ,故 AF平面而 AFBC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以AB=AC；（）作 AGBD,垂足为 G,连接 CG；由三垂线定理知 的平面角；由题设
11、知,AGC =600.CGBD,故 AGC 为二面角 A-BD-C设 AC=2,就 AG=2 3；又 AB=2,BC=22 ,故 AF =2 ；由 AB ADAG BD 得 2AD=2 . 3AD22 2,解得 AD=2 ；故 AD=AF；又 ADAF,所以四边形 ADEF 为正方形；由于 BCAF,BCAD,AFAD=A,故 BC平面 DEF ,因此平面 连接 AE、DF ,设 AEDF=H,就 EHDF ,EH平面 BCD；连接 CH,就 ECH 为B C 与平面 BCD 所成的角；. BCD 平面 DEF；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 -
12、- - - - - - - - 因 ADEF 为正方形, AD= 2 ,故 EH=1,又 EC= 1 B C =2,2所以 ECH =300,即 B C 与平面 BCD 所成的角为 1 300.解法二：（）以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 Axyz；设 B（1,0,0）,C（0,b, 0）,D（0,0,c）,就B （1,0,2c）,E（1 2,b ,c）. 20.于是 DE =（1 2,b ,0）, BC =（-1,b,0）.由 DE平面 2BCC 知 DEBC, DE BC =0,求得 b=1,所以AB=AC；（）设平面BCD 的法向量AN , ,
13、 ,就AN BC0,AN BD又 BC =（-1,1, 0）,x y 0BD =（-1,0,c） ,故x cz 0令 x=1, 就 y=1, z=1 , AN =1,1, 1 .c c又平面 ABD 的法向量 AC =（ 0,1,0）故由二面角ABDC为 60知,AN,AC=60 ,第 8 页,共 20 页1ANACANACcos 60,求得c2于是AN（1,2）,CB 11,1,2）cosAN,CB1ANCB11,名师归纳总结 ANCB12AN,CB 160- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以B1C与平面 BCD 所成的角为303、（ ）证明：连接
14、 DP, CQ,在 ABE 中,P, Q 分别是 AE, AB 的中点,所以PQ / 1BE, 又 DC / 1 BE,所以 PQ / DC,又 PQ 平面 ACD,DC 平面 ACD , 所2 2以 PQ / 平面 ACD（）在 ABC 中,AC BC 2 , AQ BQ,所以 CQ AB而 DC 平面 ABC,EB / DC,所以 EB 平面 ABC而 EB 平面 ABE, 所以平面 ABE 平面 ABC, 所以 CQ 平面 ABE由（ ）知四边形 DCQP 是平行四边形,所以 DP / CQ所以 DP 平面 ABE, 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP,所以直线 AD 与平
15、面 ABE 所成角是 DAP在 Rt APD 中,AD AC 2DC 2 2 2 1 2 5,DP CQ 2 sin CAQ 1DP 1 5所以 sin DAPAD 5 54、【解法 1】（）四边形 ABCD 是正方形, ACBD,PD底面ABCD,PDAC,AC平面 PDB,平面 AEC平面PDB.（）设 ACBD=O,连接 OE,由（ ）知 AC平面 PDB 于 O,AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角,O,E 分别为 DB、PB 的中点,OE/PD,OE1PD ,又 PD底面ABCD,2OE底面 ABCD ,OEAO,在 Rt AOE 中,OE1PD2ABAO ,45 .第 9 页,
16、共 20 页22AOE45,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为【解法 2】 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设ABa PDh ,就A a,0,0 ,B a a , ,0 ,C0, ,0 ,D0,0,0 ,P0,0,h ,uuur（）ACa a , ,0 ,uuur DP0,0,h,uuur DBa a , ,0,uuur uuurAC DP0,uuur uuur AC DB0,ACDP,ACDB,AC平面 PDB,（ ）当平面 AEC平面PDB.P0,0,2a,E1a,1a,2a
17、,PD2AB 且 E 为 PB 的中点时,222设 ACBD=O,连接 OE,由（ ）知 AC平面 PDB 于 O,AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角,uuurEA1 2a ,1a,2a,uuur EO0,0,2a,45 .222cosAEOuuur uuurEA EOuuur uuurEA EO2,2AOE45,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCD VEBCF= 2 25、解：方法（一）：（1）证：依题设,在以为直径的球面上,就 .由于 平面,就,又 ,所以 平面,就,因此有平面,所以平面平面 . z（）设平面与交于点,由于,所以 P
18、平面,就 ,M由（ 1）知, 平面,就MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影,PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角,BANDy所以OC名师归纳总结 x第 10 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 且PNMPCDPCDPD2 2tanPNMtanDC所求角为 arctan2 2（3）由于 O 是 BD 的中点,就 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半,由（1）知, 平面于 M,就 |DM |就是 D 点到平面 ABM 距离 .由于在 Rt PAD 中,PA AD 4, PD AM ,所以 M 为 PD
19、 中点,DM 2 2,就 O点到平面 ABM 的距离等于 2 ；方法二：（1）同方法一；（2）如下列图,建立空间直角坐标系,就A 0,0,0,P0,0,4,B2,0,0,0C2,4,0,1D0,4,0,M0,2,2,2x0,令z设平面 ABM 的一个法向量r n , , ,由r nuuur r AB nuuuur AM可得：2y2z就y1,即r n0,1, 1.设所求角为,就sinuuur rPC nuuur rPC n2 2,3所求角的大小为arcsin2 2.23（3）设所求距离为h ,由O 1,2,0,uuur AO1,2,0,得：huuur r AO n r n6、【解析】 解法一：由
20、于平面 ABEF 平面 ABCD ,BC 所以 BC平面 ABEF. 所以 BCEF.平面 ABCD ,BCAB,平面 ABEF平面 ABCD =AB,由于 ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以 AEB=45 ,又由于 AEF=45, 所以 FEB=90 ,即 EF BE.由于 BC平面 ABCD , BE平面 BCE,BCBE=B所以 EF平面BCE分第 11 页,共 20 页 6名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （II ）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN ,就 MN1ABPC2 PMNC 为平行四边形 ,所以 PM CN.
21、 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. 8分（III ）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD ,易知 EA平面 ABCD .作 FGAB,交 BA 的延长线于G,就 FGEA.从而 FG平面 ABCD ,作 GHBD 于 H,连结 FH ,就由三垂线定理知 BDFH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角 . FA=FE,AEF =45 ,AEF=90 , FAG=45 .设 AB=1,就 AE=1,AF=2,就FGAFsi n FAG1第 12 页,共 20 页22在 RtBGH 中, GBH=45 ,BG=AB+AG=1+1 2=3 2,GH
22、BGsi n GBH323 2,224在 RtFGH 中, t an FHGFG2,GH3 二面角 FBDA的大小为ar c t an23 12解法二 : 因ABE 等腰直角三角形,ABAE,所以AEAB又由于平面ABEF平面ABCDAB,所以 AE 平面 ABCD ,所以AEAD即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系,I 设AB1,就AE1,B0 ,1,0,D,100,E0 ,0 1, ,C,1,10FAFE,AEF45,AFE900,从而F（0,1,12）2EF,01,1,BE 0 ,1,1 ,BC ,1 0 0, 22名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 -
23、- - - - - - - - 于是EFBE0110,EFBC022 EF BE , EF BCBE 平面 BCE , BC 平面 BCE ,BC BE BEF 平面 BCE（ II）M 0 0, , 1, P ,1 1 0, ,从而 PM ,1 1, 12 2 2 2于是 PM EF ,1 1 , 1 ,0 1 , 1 0 1 1 02 2 2 2 4 4PM EF ,又 EF 平面 BCE ,直线 PM 不在平面 BCE 内,故 PM 平面 BCE（III ）设平面 BDF 的一个法向量为n ,并设 1n （1x ,y,z平面 SAD；第 13 页,共 20 页BD,1,10 ,BF,03
24、,122n 1BD0即x3y0z01n 1BF0y22取y1,就x1,z3,从而n （ 1, 1,3）取平面 ABD D 的一个法向量为n20,0 1, cosn 、n2n 1n 231311n 1n21111故二面角 FBDA的大小为arccos311117、（ ）证发 1：连接 BD,由底面是正方形可得ACBD；Q SD平面,BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,由三垂线定理得ACBE.II解法 1：Q SD平面 ABCD ,平面,SDCD . 又底面是正方形,DD,又 I AD=D,CD过点 D 在平面 SAD 内做 DFAE 于 F,连接 CF,就 CFAE,故CFD 是二面角
25、C-AE-D 的平面角,即CFD =60名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt ADE 中, Q AD= a , DE= a , AE= a21；于是, DF=ADDE2a13221AE在 Rt CDF 中,由DF cot60 =CD得213,即3=330,1 , 解得=2AA 1I平面 ABC .第 14 页,共 20 页28、解 :（ ）如下列图,由正三棱柱ABCA B C 的性质知又 DE平面 ABC,所以 DEAA .而 DEA E,AA 1A EA 1,所以 DE平面ACC A .又 DE 1 1平面A DE ,1故平面A
26、DE 平面 1ACC A . 1 1（）解法1: 过点 A 作 AF 垂直A E 于点 F ,连接 DF.由（ ）知,平面A DE 平面ACC A ,所以 AF平面A DE ,故ADF 是直线 AD 和平面1A DE 所成的角；由于 DEACC A ,1 1所以 DEAC.而ABC 是边长为 4 的正三角形,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是 AD= 2 3 ,AE= 4-CE=4-1 CD =3.2又由于 AA 1 7,所以 A E= A E AA 1 2AE 2 7 23 2 = 4,AF AE AA 1 3 7 , sin AD
27、F AF 21.A E 1 4 AD 821即直线 AD 和平面 A DE 所成角的正弦值为8解法 2 : 如下列图,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系,就相关各点的坐标分别是 A2,0,0, 1A 2,0, 7 , D-1, 3 ,0, E-1,0,0.uuuur uuur uuur易知 1A D =（-3,3 ,-7 ）, DE =（0,-3 ,0）, AD =（-3,3 ,0）.r设 n , , 是平面 A DE 的一个法向量,就r uuuvn DE 3 y 0,r uuuvn A D 3 x 3 y 7 z 0.7解得 x z y 0 .3r故可取 n 7,0,
28、 3 .于是r uuurr uuur n AD 3 7 21cos n AD r uuur= . n AD 4 2 3 821由此即知,直线 AD 和平面 A DE 所成角的正弦值为8所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线； .12 分9、【解析】 解法一：由于平面 ABEF 平面 ABCD ,BC 所以 BC平面 ABEF. 所以 BCEF.平面 ABCD ,BCAB,平面 ABEF平面 ABCD =AB,由于 ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以 AEB=45 ,又由于 AEF=45, 所以 FEB=90 ,即 EF BE.名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,
29、共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 BC平面 ABCD , BE平面 BCE,BCBE=B所以 EF平面BCE 6分1ABPC（II ）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN ,就 MN2 PMNC 为平行四边形 ,所以 PM CN. CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. 8分（III ）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD ,易知 EA平面 ABCD .作 FGAB,交 BA 的延长线于G,就 FGEA.从而 FG平面 ABCD ,作 GHBD 于 H,连结 FH ,就由三垂线定理知 BDFH. FHG 为二面角 F
30、-BD-A 的平面角 . FA=FE,AEF =45 ,AEF=90 , FAG=45 .设 AB=1,就 AE=1,AF=2,就FGAFsi n FAG1AEAD第 16 页,共 20 页22在 RtBGH 中, GBH=45 ,BG=AB+AG=1+1 2=3 2,GHBGsi n GBH323 2,224在 RtFGH 中, t an FHGFG2,GH3 二面角 FBDA的大小为ar c t an2 12分3解法二 : 因ABE 等腰直角三角形,ABAE,所以AEAB又由于平面ABEF平面ABCDAB,所以 AE 平面 ABCD ,所以即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系
31、,I 设AB1,就AE1,B0 ,1,0,D,100,E0 ,0 1, ,C,1,10名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - FAFE,AEF45,AFE900,从而F（0,1,12） 0 ,1,1 ,BC ,1 0 0, 2EF,01,1,BE22于是EFBE0110,EFBC022 EF BE , EF BCBE平面 BCE , BC平面 BCE ,BCBEBA 到面第 17 页,共 20 页EF平面BCE（ II）M 0 0, ,1,P ,110, ,从而PM,11,1 2110222,11,11 2,1EF,0于是PM022244PM
32、EF ,又 EF 平面 BCE ,直线 PM 不在平面 BCE 内,故 PM 平面 BCE（III ）设平面 BDF 的一个法向量为n ,并设n （x ,y,zBD,1,10 ,BF,03,122n 1BD0即x3y0z01n 1BF0y22取y1,就x1,z3,从而n （ 1, 1,3）取平面 ABD D 的一个法向量为n20,0 1, cosn 、1 n2n 1n 231311n 1n21111故二面角 FBDA的大小为arccos3111110、解法一 :（）QABPDC DC平面 EFCD , AB 到面 EFCD 的距离等于点名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 -
33、- - - - - - - - EFCD 的距离,过点A 作 AGFD 于 G,因BAD2ABDC,故CDAD；又QFA 平面 ABCD ,由三垂线定理可知,CD FD ,故 CD 面 FAD,知 CD AG ,所以AG 为所求直线 AB 到面 EFCD 的距离；在 RtABC 中,FD FC 2CD 29 4 5由 FA 平面 ABCD ,得 FA AD,从而在 Rt FAD中,FA FD 2 AD 2 5 4 1AG FA AD 2 2 5；即直线 AB 到平面 EFCD 的距离为2 5；FD 5 5 5（ ）由己知, FA 平面 ABCD ,得 FA AD,又由 BAD,知 AD AB ,故2AD 平面 ABFEDA AE ,所以,FAE 为二面角 F AD E 的平面角,记为 .在 RtAED 中, AE ED 2AD 27 4 3 ,由 Y ABCD 得, FE P BA ,从而AFE2在 RtAEF 中, FE AE 2AF 23 1 2 ,故 tan FE 2FAz所以二面角 F AD E 的平面角的正切值为 2 . F E解法二 : Guuur uu