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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础学问1. 与角终边相同的角的集合S2 k,kZ2. 三角函数的定义（六种）三角函数是x 、y、 r 三个量的比值3. 三角函数的符号口诀：一正二弦,三切四余弦；4. 三角函数线正弦线 MP= sin余弦线 OM=cos正切线 AT=tan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：tancot1s i nc sc1c o ss e c1口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同；6. 诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限；名师归纳总结 2 k222第 1 页,共
2、 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 正弦sinsin名师总结优秀学问点sincoscossinsin余弦sinsincoscoscoscoscos正切tantantantantancotcot余切cotcotcotcotcottantan7. 两角和与差的三角函数s i n s i nc o sc o ss i nt a n 1t a nt a ns i n s i nc o sc o ss i nt a nt a nc o s c o sc o ss i ns i nt a n 1t a nt a nc o s c o sc o ss i n
3、s i nt a nt a n8. 二倍角公式代换：令sin22sincoscos2 cosxsin2；tan2y1coscos 222 cos112sin2tan212tan2 tansin21cos221cos降幂公式cos21cos22半角公式：sin21cos；2221costan21cos1sinsincosycostanx9. 三角函数的图象和性质函数ysinx名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点图象定义R R x|xR 且xk2,kZ域名师归纳总结 1,11,1 2内第 3 页,共
4、15 页x2k/2时x2 k时ymax1值域ymax1x2 k时R 无最大值最值无最小值x2 k/2时ymin1ymin1周期性周期为 2周期为2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数在2k2,2 k2在2k,2 k上都在k2,k是增函数,在单调性上都是增函数；在32k,2 kk上都是都是增函数（kZ）2 k2,2k减函数（Z）2上都是减函数（kZ）10. 函数yAsinx的图象变换A0 ,0函数yAsinx的图象可以通过以下两种方式得到：（1）ysinx图象左移ysinx横坐标缩短到原先的1倍- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ysinx名师总结A倍优秀学问点
5、纵坐标伸长为原先的yA sin x（2）ysinx横坐标缩短到原先的1倍ysinx 图象左移x纵坐标伸长为原先的A倍yA sin xysin（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原就：凑一拆一；切割化弦；化异为同；2. 诱导公式原就：奇变偶不变,符号看象限；3. 估用公式原就：一看角度,二看名称,三看特点；4. 角的和与差的相对性如：角的倍角与半角的相对性如：22,2245. 升幂与降幂：升幂角减半,降幂角加倍；6. 数形结合：心中有图,观图解题；7. 等价转化的思想：将未知转化为已知,将复杂转化为简洁,将高级转化为低级；8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的；【典型例题】1. 如：ya
6、sinxbcosxa24b2sinxx,tancosb（化成一个角的一个三角函数）asinxcosx2sinx；ysin3x2sinx3yy3sinxcosx2sinx6例 1 求以下函数的最大值和最小值及何时取到？（1）fx sin2x2sinxcosx13cos2x（2）fx sin2xsinxcosx解：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）y22sin2x4,名师总结2优秀学问点xk8kZymax2,ymin232,xkx3kZ322,xk3kZ82sin2y,ymax（2）4228ymin32kZ,xk
7、282.“ 1” 的妙用凑一拆一熟识以下三角式子的化简12sincossincossin2sin42sin241sin12 sin2cos22cos21cos2sin2；1cos2cos2例 2 化简21sin822cos8；答案：2sin43. 化异为同例 3 已知tan2,求：3sin222sin1sincos2 cossin2（1）sincos（2）答案：（1）3；（2）1422 cos例 4 已知tan222,2,求：sincos名师归纳总结 答案：322第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. sincos与sincos
8、名师总结优秀学问点间的相互转化（1）如sincost,就sincos2t1sin2t1；sin1cos= 2；sincos2cos2 t2t2t,就sin12t；（2）如sincos12（3）tancotsincossin2例 5 化简：tan8cot8；,求sin2cos答案：225sin2cos22例 6 如在其次象限,；3 答案：2 5. 互为余角的三角函数相互转化如sin2 ,就sincos；cossin；例 7 已知31,就cos641 答案：4sin40sin50例 8 求值：cos 10；1 答案： 2名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料
9、- - - - - - - - - 例 9 求值：sin18sin54名师总结优秀学问点；1 答案： 46. 公式的变形及活用（1）tantantan 1tanBtan45；（2）如AB4 1tanA 1tan2例 10 运算 1tan21tan3 1tantan1 1答案：223tan103tan70tan10；例 11 tan70答案：37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性例 12 如tan1,tan2,就tan；3答案： 7 例 13 如5cos27cos20,就tan2tan2；答案：6cos2AC0.8,sin B0 8.,求例 14 在ABC 中, A 为最小角, C
10、为最大角,且cos2B2 C的值；527 答案： 625名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点8. 角的范畴的限定由于条件中的三角式是有范畴限制的,所以求值时可排除值的多样性；例 15 已知sincos1,0,求cos 2；317答案：92cos25,求sin2cos2的值；例 16 如是其次象限角且sin2cos221sin然后限定角的范畴；解法一： 利用公式sin2解法二： 设sin2cos2t利用平方和求 t 的值,然后限定角的范畴；解法三： 利用sin2cos2sin2cos2cos,可回避
11、限定角的范畴；3答案：29. 在三角形中的有关问题ABC180；AB180C；AB2CcosClg2,试判定此三角形22结论：sinABsinC；cosABcosCsinA2BcosC；cosA2BsinC22AlgsinBlg例 17 已知 A 、B、C 是ABC 的内角且lgsin的外形；答案： 等腰三角形, B=C 名师归纳总结 例 18 在锐角三角形ABC 中,求证：sinAsinBsinCcosAcosBcos C第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 由AB2就02B名师总结2优秀学问点A故sinAcosB同理si
12、nBcos Cs i n Cc o s A三式相加,得证；10. 形如cos2cos4cos8cos2n的化简2cos4cos7cos例 19 求值：（1）cos 36cos 72（2）7711答案：（1） 4（ 2）811. 三角函数图像和性质的应用会求定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（不等式、三角方程、比较大小；例 20 求以下函数的定义域；（1）ylgsincosxtanx（2）y2log05.x答案：（1）2k22,2 k2kZ（2）0 ,4例 21 求以下函数的值域；（1）y2sinxxx,0xcosx的值域；sin（2）如 x 是锐角,就ysin答案：（1）0 ,1（2）
13、 ,123“ 一套” ）；会解简洁的三角名师归纳总结 12. 可化为形如：yAsinxB的形式（一个角的一个三角函数）第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 22 已知函数y32 cosx23名师总结x优秀学问点,求“ 一套” ；sinxcossin2x答案：y2sin2xk62,定义域： R；值域：,04 ,ymax4,ymin0； T对称轴xk6Z增区间：k3,k62减区间：k6,ky2kZ313. 函数yAsinxB的图像的变换两个题型,两种途径AsinxB确定其变换方法题型一：已知解析式变换有两种途径：其一,先平移后横向伸
14、缩；其二,先横向伸缩后平移；名师归纳总结 - - - - - - -注： 关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系题型二：由函数图像求其解析式yAsinxB例 23 已知函数yAsinx,（A0 ,0,2 ）在一个周期内,当x6时,y 有 最 大 值 为2 , 当x2时 ,y有 最 小 值 为2 , 求 函 数 表 达 式 , 并 画 出 函 数3yAsinx在一个周期内的简图； （用五点法列表描点）答案：y2sin2x6第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 可化为形如：yat2btc名师总结优秀学问点,tD（定义域有限制的一元二次函数）例 24
15、求函数y235cosx的值域a,求ga的解析式；cosx解：1,142asinx,如记其最大值为g例 25 已知ycos2x解：ysinxa21a2ga a24,当a2时,当2a2时,1a2ga4当a2时,gaa15. 周期函数与周期例 26 已知函数yfx对定义域中每一个x 都有f2xTf2x,其中T0,就fx的周期；解： T 例 27 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx2 fx成立,求其周期；解： 4 例 28 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx2 f2x成立,求其周期；解： 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - -
16、 - - - - - - 例 29 已知奇函数yfx名师总结优秀学问点x3 f1成立,求其周期；对定义域中每一个x 都有fx 解： 6 例 30 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx3 1fx成立,求其周期；1fx解： 6 16. 函数与方程的思想例 31 方程100sinxx的解的个数；解： 63 【模拟试题】（答题时间： 60 分钟）1. 求以下函数的最大值和最小值及何时取到？fx 6 s i nx6 co sx的值；2. 已知tan2,求：sin22sincos3cos23. 设sincos1,就sincos；44. 求ysinxcosxsinxcosx的最大值和最小值；cos
17、40sin5013tan 105. 求值：sin701cos40；6. 如sincos1；0,求 cot57. 已知、0,且tan1,tan1,求2278. a 为何值时方程cos 2 xcosxa0有解？9. 方程cos2xasinx0,x0 ,有两解时求 a 的值；10. 求值：名师归纳总结 （1）cos20cos 40cos60cos 80第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）sin18sin54名师总结优秀学问点11. 求以下函数的定义域；ylgs i n xt a n xx33sinxcosxsin2x,当x4,4
18、时,求函数的最大值12. 已知函数y3cos22和最小值及何时取到？名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【试题答案】1. y13 4sin22x,ymaxk1,x2kktZ2,2,ymin3,ymax322ym i n1,xk41 2Z1 3,421163. t2. 52y4. 令tsinxcosx,44445. 26. 37. 提示： 关键是角的范畴的限定,逐层限定角的范畴,逐步求细；名师归纳总结 解：tantan1t an t a n 21第 14 页,共 15 页3又由 2得222 ,04得023就20故48. a2,9819. a1, 110.（1）16（ 2）411. 2 k,2k22k,2 k（kZ）3时,ymin23；x6时,ymax412. 当x4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀学问点第 15 页,共 15 页- - - - - - -