《2022年高二数学第八章圆锥曲线方程双曲线的简单几何性质优秀教案文档.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高二数学第八章圆锥曲线方程双曲线的简单几何性质优秀教案文档.docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题： 84 双曲线的简洁几何性质教学目的：1使同学把握双曲线的范畴、对称性、顶点、渐近线等几何性质2把握标准方程中 a , b , c 的几何意义3并使同学能利用上述学问进行相关的论证、运算、作双曲线的草图以及解决简洁的实际问题教学重点： 双曲线的渐近线及其得出过程教学难点： 渐近线几何意义的证明授课类型： 新授课课时支配： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：本节学问是讲完了双曲线及其标准方程之后,反过来利用双曲线的方程争论双曲线的几何性质它是教学大纲要求同学必需把握的内容,也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题, 是数学中一个
2、很大的课题, 它包含了圆锥曲线学问的众多方面, 这里对双曲线的几何性质的争论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 坐标法的教学贯穿了整个“ 圆锥曲线方程” 一章,是学生应重点把握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在第 8 章学问中得到了突出表达, 我们必需充分利用好 这部分教材进行教学 利用图形启示引导同学懂得渐近线的几何意义、弄通证 明的关键； 渐近线的位置、 渐近线与双曲线张口之间的关系 是同学学习离心率的概念、 搞懂离心率与双曲线外形之间的 关系的关键；要突破其次定
3、义得出过程这个难点 本节内容类似于“ 椭圆的简洁的几何性质”,教学中也 可以与其类比讲解,主要应指出它们的联系与区分 对圆锥 曲线来说, 渐近线是双曲线特有的性质, 我们常利用它作出 双曲线的草图, 为说明这一点, 教学时可以适当补充一些例 题和习题 讲解完双曲线的渐近线后,要留意说明：反过来以xy1为渐近线的双曲线方程就是x2y2aba2b2对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是 双曲线的张口大小, 而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁 平程度 同椭圆一样,双曲线有两种定义,教材上以例 3 的 教学来引出它,我们讲课时要充分留意到此例题与后面的定 义在教学上的规律关系, 突出考虑同学认
4、知心理的变化规律名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 本节分三个课时： 第一课时 主要讲解双曲线的范畴、对称性、顶点、渐近线等几何性质,并补充一道变式例题；第二课时 主要内容为离心率、教材中的例1、例 2 及一道变式例题；第三课时 主要讲解教材中的例 3、双曲线另一个定义、准线概念 教学过程 ：一、复习引入：名 称定 义双曲线平面内到两定点F 1,F 2的距离的差的肯定值为常数（小于F 1F 2）的动点的轨迹叫双曲线；即MF1MF22 a当 2a 2c时,轨迹是双曲线当 2a=2c 时,轨迹是两条射线 当 2a 2c时
5、,轨迹不存在标焦点在 x轴上时：x2y21焦点在 y 轴上时：y2x21准a2b2a2b2y方 O x 程名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：是依据项的正负来判定焦点所在的位置常 数a,b ,cc2a2b2（符合勾股定理的结构）ca0的 关c最大,可以ab ,ab,ab系二、讲解新课：1范畴、对称性由标准方程x2y21可得x2a2,当xa时,y 才有实a2b2数值；对于 y 的任何值, x 都有实数值 这说明从横的方一直看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的方一直看,随着 x 的增大, y 的肯定值也无
6、限增大,所以曲线在纵方向上可无限舒展,不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心2顶点名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 顶点：A 1a ,0 ,A 2a 0,特殊点：B 1 0 ,b,B 2,0b实轴：A 1A 2长为 2a, a叫做半实轴长 虚轴：B 1B 2长为 2b,b叫做虚半轴长叙述：结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程x2y21中,令 y=0A 1 a0, ,A1yB2QNMa2b2得xa,故它与x轴 有 两 个 交 点A 1 a , 0 ,A 2a 0,且 xOA2x轴为双
7、曲线A 2a , 0B1x2y21的对称轴, 所以与其对称轴的交点,a2b2称为双曲线的顶点 一般而言, 曲线的顶点均指与其对称轴的交点 ,而对称轴上位于两顶点间的线段A 1A 2叫做双曲线x2y21的实轴长,它的长是2a. a2b2,这个方程没有实在方程x2y21中令 x=0 得y2b2a2b2数根,说明双曲线和 Y轴没有交点； 但 Y轴上的两个特殊点名师归纳总结 B 1 ,0b ,B 2,0b,这两个点在双曲线中也有特别重要的作用第 5 页,共 20 页把线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴,它的长是2b 要特殊留意不- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
8、要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点, 而椭圆就有四个顶点, 这是两者的 又一差异 3渐近线过双曲线x2y2x1的两顶点A 1, A 2,a2b2作 Y轴的平行线a,经过B 1, B 2作 X轴的平行线yb,四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是ybx（xy0）,aab这两条直线就是双曲线的渐近线分析：要证明直线1ybx（xy0）aab是双曲线x2y2的渐近线,即要证明22ab随着 X的增大,直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲线上的点到直线的距离MQ越来越短,因此把问题转化为运算MQ但因 MQ不好直接求得,因此又把问题 转化为求 MN 最终强调,对圆锥曲线 而言,渐近线是双
9、曲线具有的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - |MQ|MN|bxbxx2a2a2aabx2aab（x|x2xa20）| MQ4等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明： a=b 时,双曲线方程变成2 xy22 a 或b2,它的实轴和都等于2a2b ,这时直线围成正方形,渐近线方程为yx它们相互垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角 5共渐近线的双曲线系如 果 已 知一 双曲 线 的 渐近 线方 程为ybxkbx k0 , 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 ：akax2
10、2y221k0 或写成x2y2ka kb a2b26双曲线的草图 利用双曲线的渐近线, 可以帮忙我们较精确地画出双曲 线的草图名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 详细做法是：画出双曲线的渐近 y线,先确定双曲线的顶点及第一象限F1A1OA2F2x内任意一点的位置,然后过这两点并依据双曲线在第一象限从渐近线下方逐步接近渐近线的特点画出双曲线的一部分, 最终利用双曲线的对称性画出完整的双曲线焦点在 y 轴的情形同学们自己争论7离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比e2cc,叫做双曲线的2aa离心率范畴：e1双曲线外形与 e
11、 的关系：kbc2aa2c21e21,aa2因此 e 越大,即渐近线的斜率的肯定值就大,这是双曲线的外形就从扁狭逐步变得开阔；率越大,它的开口就越阔由此可知,双曲线的离心 1 双曲线的外形张口随着渐近线的位置变化而变化；2 渐近线的位置 倾斜 情形又受到其斜率制约利用运算机动画先演示出“e 的大小” 与“ 开口的阔名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 窄” 的关系,能让同学对此变化规律先形成直观懂得；然后再用代数方法边板书边推导,此规律有更深刻清楚的懂得 个难点 8离心率相同的双曲线这样就可化难为易, 使同学对 这样做
12、将有助于实在本节的这 1 运算双曲线x2y21的离心率e ；1吗？举例说明如492 离心离为0e 的双曲线肯定是x2y249果存在许多的话,它们能否用一个特有的形式表示呢？ 3 离心率为13 的双曲线有多少条？2kb2的关系式,并从分析：eca2a2 b1b21aaka中发觉只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3 有相同的比 k：1k0 的双曲线,其离心率 e 都是 1329共轭双曲线： 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这 样 得 到 的 双 曲 线 称 为 原 双 曲 线 的 共 轭 双 曲 线 如2 2 2 2x y 1 与 y x 116 9 9 16留意的区分：三量a,b,c中
13、a,b不同（互换） c 相同名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通过分析曲线发觉二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意1）性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-1x3）共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特点：可设为x2y20,当0 时交点在1k2轴,当0时焦点在 y 轴上三、讲解范例：例 1. 求双曲线9 y216 x2144的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标 ,离心率 . 解:把方程化为标准方程得 ey232x251c ,4252a4可得
14、 :实半轴长 :a=4 c42虚半轴长 :b=3 半焦距 :焦点坐标 :0,-5,0,5 离心率 : 例二求以下双曲线的范畴、焦点、顶点、离心率名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）x28y232（2）x2y241x2y2（3）4925例 2. 已知双曲线的中心在原点, 对称轴为坐标轴 , 它的一个焦点 F（5,0）, 且离心率 e 可以使方程x22e1 x10有4相等的实根,求满意条件的双曲线方程例 3. 已知双曲线虚轴的一个端点为M, 两焦点分别 F 1 , F2 , 且F 1MF2120 , 3就双曲线的
15、离心率为B A3B6 C26 D33（参考例题）例 1 求双曲线x2y21的顶点坐标、焦点坐标,实半轴长、4虚半轴长和渐近线方程,并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法,就易解答名师归纳总结 解： 把方程化为标准方程x2y21第 11 页,共 20 页2 122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由此可知,实半轴长a1,虚半轴长 b2顶点坐标是（ 1,0）,（1,0）ca2b21 2225焦点的坐标是 5 ,0 ,5 ,0 渐近线方程为x 1y0,即y2xA 33,3 的双曲线2例 2 求与双曲线x2y21共渐近线且过169的方程分析：因所求的双曲线与已
16、知双曲线共渐近线,故可先设出双曲线系,再把已知点代入,求得 K的值即可2 2解： 设与 x2 y2 1 共渐近线且过 A 3 3 , 3 的4 32 2双曲线的方程为 x2 y24 32 2就 3 32 32 ,从而有 114 3 162 2所求双曲线的方程为 x 16 y 111 99例 3 求双曲线 9 y 216 x 2144 的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程解 ： 把 方 程 化 为 标 准 方 程yxO名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - y2x214232由此可知,实半轴长a4,虚半轴
17、长 b3ca2b22 4325焦点的坐标是 0 ,5 ,0 ,5 离心率ec53y,即y4xa4渐近线方程为x43例 4 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为 25 m,高 55m挑选适当的坐标系,求出 此双曲线的方程 精确到 1myBCO13CBxA12A25分析：此题建立合适的坐标系是关键；留意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口；明显,最小截口圆的圆心是双曲线的中心,直径是双曲线的实轴, 所以以最小截口直径所在直线为 X轴,圆心为原点建立坐标系,就双曲线的方程具有最简洁的形式；名师归纳总
18、结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：如下列图,建立直角坐标系xOy,使小圆的直径 AA 在x 轴上,圆心与原点重合 这时,上、下口的直径 CC 、BB平行于 x 轴,且 |CC2|=13 2m,|BB|=25 2m设双曲线的方程为x ay21a0,b02b2令点 C的坐标为 13 ,y ,就点 B的坐标为 25 ,y55 因 为点 B、C在双曲线上,所以252yb5521且132y211222122b2解方程组,得y5b（负值舍去）5 bb55 2112代入方程,得252121222化简得 19b 2275b181500
19、 解方程 使用运算器运算 ,得 b25m名师归纳总结 所以所求双曲线方程为x2y21第 14 页,共 20 页144625点评：这是一个有实际意义的题目解这类题目时,第一- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要解决以下两个问题： 1 挑选适当的坐标系； 2 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来四、课堂练习 ：1以下方程中,以x 2y=0 为渐近线的双曲线方程是A x2y21Bx2y21Cx2y21Dx2y2116441622答案： A2 . 过点3,0 的直线 l 与双曲线 4x2-9y2=36 只有一个公共点 ,就直线 l 共有A1条 B2条
20、C3条D4 条 答案： C3 . 如方程x2a4y2a=1 表示双曲线,其中a 为负常数,3 kk就 k 的取值范畴是 Aa ,-a B3 4a ,+ 3a ,-4a C-3a , 3a D-4,a 4-答案： B 4 . 中心在原点,一个焦点为 3 ,0 ,一条渐近线方程 2x-3y=0的双曲线方程是名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - A13 x81213y21 B13x213y213636812 C5 x365y21 D5 x25y21545436答案： A5 . 与双曲线x2y2有共同的渐近线,且一顶点为0
21、,9169 的双曲线的方程是（ ）Ax2y21 Bx2y21114481144812 Cx16y21Dx2y29274 / 81答案： D6 . 一双曲线焦点的坐标、离心率分别为5,0 、3 2,就（）它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是A0 ,5 ,3 5 B0, 5 ,3C0 ,5,3 D0 ,225,35答案： A7 . 双曲线 2kx2-ky2=1的一焦点是 F0,4 ,就 k 等于 A-3/32 B3/32 C-3/16 D3/16名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： A1 . 方程 mx 2ny
22、B2mn=0mn0所表示的曲线的焦点坐标是A0,nmn B 0,nmCmn,0 m,0 D2 . 以下各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D2 2 2 2 2Ax 3-y 2=1 和 y 9- x 3=1 B x3-y 2=1 和 y 2- x 3=1 Cy 2- x 3=1 和 x 2- y 3=1 Dx 3-y 2=1 和 x -9 y =1 3 2 2 22 23 . 与双曲线 x y 1 有共同的渐近线, 且经过点 A ,3 2 3 9 16的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 C （A）8 （B）4 （C）2 （D）1 4 . 以y3 为渐近线,一个焦点是F（0,2）的
23、双曲线方名师归纳总结 程为 y2A 2y212（C）x2y22 1（D）x2y21第 17 页,共 20 页（A）x21（B）x3333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 . 双曲线 kx2+4y 2=4k 的离心率小于2,就 k 的取值范畴是 C （A）（- ,0 ）（B）-3,0 （C）-12,0 （D）-12,1 6 . 已知平面内有一固定线段AB,其长度为 4,动点 P 满意|PA|-|PB|=3,就|PA| 的最小值为D2,A1.5 B3 C0.5D 3.5 7 . 已知双曲线 b 2x2a 2y2 = a2b 2 的两渐近线的夹角为就离心
24、率 e 为 C Aarcsin B a cos C sec Dtg2b8 . 一 条 直 线 与 双 曲 线 两 支 交 点 个 数 最 多 为 B A1 B 2 C3 D4 名师归纳总结 9 . 双曲线顶点为（ 2, 1）,（2,5）,一渐近线方程为3x第 18 页,共 20 页4yc = 0 ,就准线方程为 D Ax216By216Cx29Dy2955552 10 . 与 双 曲 线xmy2=1mn0 共 轭 的 双 曲 线 方 程 是n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D Ay2x2y211 Bx2y21mnmn2 Cxm2 1Dx my2nn五、小结： 双曲线的范畴、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线x2y21的渐近线是ybx,但反过来a2b2a此渐近线对应的双曲线就是2 x22 y21k0 或写成x2y2 kakb a2b2六、课后作业：七、板书设计 （略）八、课后记：名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页