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1、1 第 22 课时平面向量的正交分解与坐标运算课时目标1. 理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义2理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则、熟练进行向量的坐标运算识记强化1把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y使axiyj，我们把有序数对(x，y) 叫做向量a的坐标，记作a(x，y) 3平面向量的坐标运算已知a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则(1)ab(x1x2，y1y2) ，ab(x1x2，y1y2) ，即两个向量和(
2、差) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和( 差)(2) a( x1，y1)( R) (3) 若A点坐标为 (x1，y1) ，B点坐标为 (x2，y2) ，则AB(x2，y2) (x1，y1) (x2x1，y2y1) ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标课时作业一、选择题1已知i, j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单位向量，设a(x2x1)i(x2x1)j( 其中xR) ，则向量a位于 ( ) A第一、二象限B第二、三象限C第三象限 D第四象限答案： D 解析： 因为a(x2x1，x2x1)，x2x1(x12)2340，x2x1x122340，故a位于第四象
3、限2已知a(3 ，1) ，b( 1,2) ，则 3a2b的坐标是 ( ) A(7,1) B( 7， 1) C( 7,1) D(7 ， 1) 答案： B 解析： a(3 ，1) ，b( 1,2) ， 3a2b 3(3， 1)2( 1,2) ( 7， 1) 3已知向量AB(2,4)，AC(0,2) ，则12BC( ) A( 2， 2) B (2,2) C(1,1) D( 1， 1) 答案： D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - -
4、 - - 2 解析：12BC12(ACAB) 12( 2， 2) ( 1，1) ，故选 D. 4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB(2,4) ，AC(1,3) ，则DA( ) A(2,4) B(3,5) C(1,1) D( 1， 1) 答案： C 解析：DAADBC(ACAB) (1,1)5若AB(1,1)，AD(0,1) ，BCCD(a，b)，则ab( ) A 1 B 0 C1 D2 答案： A 解析：BCCDBDADAB(0,1) (1,1) ( 1,0) ，故a 1，b0，ab 1. 6设向量a(1 ，3) ，b( 2,4) ，c( 1， 2) 若表示向量4a,4b2c,2(
5、ac)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A(2,6) B( 2,6) C(2， 6) D ( 2，6) 答案： D 解析： 由题意知： 4a4b2c2(ac) d0?d( 2， 6) ，故选 D. 二、填空题7已知向量AB( 1,2) ，AC(3 ，1) ，则向量BC的坐标为 _答案： (4 ， 3) 解析：BCACAB(3 ，1) ( 1,2) (4 ，3) 8若a(1,2)，b( 1,0) ，则 2ab_. 答案： (3,4) 解析： 2ab(2,4) ( 1,0) (3,4) 9平面上有A(2,1) 、B(1,4) 、D(4 ， 3)三点，点C在直线AB上，且AC12
6、BC，连结DC并延长，取点E使CE14DE，则点E的坐标为 _答案： ( 8，53) 解析： 设C(x，y) ，由AC12BC，得 (x2，y1) 12(x1，y4) 即x212x，y112y解得x5，y2.即C(5， 2)又E在DC延长线上，CE14DE，设E(a，b) ，则(a5，b2)14(a4，b3) 解之得a 8，b53. E( 8，53) 三、解答题10已知点O(0,0) ，A(1,2)，B(4,5) ，OPOAtAB. 求：t分别为何值时，P在x轴上？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
7、 - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 P在y轴上？P在第二象限？解：由题意，OPOAtAB(1 3t,23t) 若P在x轴上，只需23t0，所以t23；若P在y轴上，只需13t0，所以t13；若P在第二象限，只需13t0，23t13. 11已知A(8，1) 、B(2,5)，点C是直线AB上一点，且AC 5BC，求点C的坐标和AC的坐标解：设C(x，y)，则AC(x8，y1) ，BC(x2，y5) AC 5BC. (x8，y1) 5(x2，y5) ，即x8xy1y，得x3y4. C(3,4) AC(3,4) (8 ，1) ( 5,5) 能力提升
8、12在ABC中，已知A(2,3)，B(6 ，4) ，G(4，1) 是中线AD上一点， 且|AG| 2|GD| ，那么点C的坐标为 ( ) A( 4,2) B( 4，2) C(4， 2) D (4,2) 答案： C 解析： 由题意，知点G是ABC的重心，设C(x，y) ，则有26x34，34y3 1.解得x 4，y 2.故C(4 ，2) 13已知A( 2,4) ，B(3， 1) ，C( 3， 4)，设ABa，BCb，CAc，且CM3c，CN 2b. (1) 求 3ab3c；(2) 求满足am bnc的实数m，n；(3) 求M、N的坐标及向量MN的坐标解： (1)aAB(5， 5) bBC( 6，
9、 3) cCA (1,8) 3ab3c3(5 ，5) ( 6， 3)3(1,8) (6 ， 42) (2)am bnc，(5 ， 5)( 6m， 3m) (n,8n) ( 6mn， 3m8n) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 6mn53m 8n5解得m 1，n1. (3) 设M(x，y) ，则CM(x3，y4) (3,24) x33，x0，y424，y20.M(0,20) 同理N(9,2)MN(9,2) (0,20) (9 ，18) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -