《2022年高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式学问、方法、技能三角恒等变形,既要遵循代数式恒等变形的一般法就,又有三角所特有的规律 . 三角恒等式包括肯定恒等式和条件恒等式两类；证明三角恒等式时,第一要观看已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度,以打算恒等变形的方向；其次要观看已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系,抓住其主要差异,挑选恰当的公式对其进行恒等变形,从而逐步排除差异,统一形式,完成证明.“ 和差化积” 、“ 积化和差”、“ 切割化弦”、“ 降次” 等是
2、我们常用的变形技巧；当然有时也可以利用万能公式“ 弦化切割”,将题目转化为一个关于ttan x 2的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明,必需挑选恰当的三角公式 各公式及各公式的来龙去脉和变形形式 . . 为此,同学们要娴熟把握ST 2S 3T相除T相除SS相除S 2C2CC万相加减能积化和差2C公和差化积式2TC32上图为三角公式脉络图,由图可见两角和差的三角函数的公式是全部三角公式的核心和 基础 . 此外,三角是代数与几何联系的“ 桥梁”. ,与复数也有紧密的联系,因而很多三角问题往往可以从几何或复数角度获得奇妙的解法三角不等式第一是不等式,因此,要把握证明不等式的常用方法
3、：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次,三角不等式又有自己的特点含有三角式,因而三角函数的单调性、有界性以及图象特点等都是处理三角不等式的锋利武器 . 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题,要充分利用好三角名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本形内角和等于180 这一结论及其变形形式. 假如问题中同时涉及边和角,就应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化,实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式Sppapbpc其中p1abc,大家往往不甚熟
4、识,但非常有用. 2赛题精讲例 1：已知sinAsin,|A|,1求证:tansinA.故 可 利 用cos【 思 路 分 析 】 条 件 涉 及 到 角、, 而 结 论 涉 及 到 角,或排除条件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A”入手 . 名师归纳总结 【证法 1】sinAsin,sinx、sinAsin,sincoscossinAsin,sincosA sincos,|A|,1cosA0 ,从而cos0,tansinA.cos【证法 2】sinAcossincossinsinsinsinsinsinsinsinsincossinsinsinsincossintan.例 2：证明：co
5、s7x7cos5x21 ocs 3x35cosx64cos7 x .【思路分析】 等号左边涉及角7x、5x、3x、x 右边仅涉及角x,可将左边各项逐步转化为cosx的表达式,但相对较繁. 观看到右边的次数较高,可尝试降次. 【证明】由于cos3 x4cos3x3cosx,所以4cos3xcos3x3cosx,从而有166 cosxcos23x6cos3xcosx9cos2x1cos6x3 cos4 xcos2x 9 1cos2x 22第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本632 cos x 1 cos 6
6、 x 6 cos 4 x 6 cos 2 x 9 9 cos 2 x ,764 cos x 2 cos 6 x cos x 12 cos 4 x cos x 30 cos 2 x cos x 20 cos xcos 7 x cos 5 x 6 cos 5 x 6 cos 3 x 15 cos 3 x 15 cos x 20 cos xcos 7 x 7 cos 5 x 21 cos 3 x 35 cos x .【评述】此题看似“ 化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷 . 另此题也可利用复数求解 . 令 z cos i sin , 就 2 cos z 1 , 从而 , 128 cos
7、7 z 1 7,绽开即可 . z z例 3：求证：3 tan 18 tan 18 tan 12 3 tan 12 1 .【 思 路 分 析 】 等 式 左 边 同 时 出 现 tan 18 tan 12、tan 18 tan 12, 联 想 到 公 式t a n t an t an . 1 t an t an【证明】3 tan 18 tan 18 tan 12 3 tan 123 tan 18 tan 12 tan 18 tan 123 tan 18 12 1 tan 18 tan 12 tan 18 tan 121名师归纳总结 【评述】此题方法具有肯定的普遍性. 仿此可证 1tan1 14t
8、an21tan43第 3 页,共 7 页 1tan44222等. 例 4：已知1tan2001 ,求证:sec2tan22001 .1tantan【证明】sec2tan21sin21cos222cos2sin21tan1tan2001 .例 5：证 明：4sinsin60sin60sin3.【证明】sin33sin4sin3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本4sin3sin2cos60sin6044sin3cos21sin2444sin3cos21sin2224sinsin60coscos60sinsin60cos4sin
9、sin60sin60cos60cos【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地,有cos34costan3tantan 60tan60. 利用这几个公式可解下例. 例 6：求证：cos6cos42cos66cos78116sin1 sin2 sin3 sin89 =145610.4【证明】 cos6 cos42 cos66 cos78=cos6 cos54 cos66cos42cos78cos54cos18cos42cos784cos541cos 31844cos541 16.sin1 sin2 sin3 sin89=sin1 sin59 sin61 sin2 sin58 sin62 sin
10、29 sin31 sin89 sin30 sin60名师归纳总结 =129sin3sin6sin87366sin27sin33sin87sin30sin60441303sin3sin57sin63sin6sin54sin41403sin9sin18sin81sin72sin27sin63sin36sin54sin45第 4 页,共 7 页41403sin9sin18sin184- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本又142322sin18sin36sin54sin7236cos72414232cos72cos54cos36co
11、s 184214232cos 18cos36cos72cos 544214232cos 18cos36sin18cos 544214332sin72cos544214332cos 18sin3642cos 18sin3621 1cos36 1cos7241 1cos36cos72cos41 1cos36cos724516即cos18sin365 4.610.2,1,0 ,n ,m为任一整数）,有所以sin1sin2sin891454例 7：证明：对任一自然数n 及任意实数xxm k2k11sin1nxcot2nx .cotsin2xsin4x2【思路分析】 此题左边为 n 项的和,右边为 并希
12、望能消去其中很多中间项 . 2 项之差,故尝试将左边各项“ 裂” 成两项之差,【证明】1x2cos2xcos2x22cos2xxcos2xcotxcot2x,sin2sin2xsinxcossin2x同理1xcot2xcot4xsin4 sin1nxcot2n1xcot2nx. 2【评述】此题裂项技巧也可通过数学归纳法获得“ 裂项相消” 在解题中具有肯定的普遍性,类似可证以下各题：名师归纳总结 tantan2tan2tan3tan n1tanntannn. 第 5 页,共 7 页tan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本ta
13、n2tan22 2tan222ntan2ncot2n1cot2n1.21.cos01cos 11cos 881cos 1cot1cos 1cos 2cos 89例 8：证明：sinsinsin2sinnsinnsinn2sin2【证明】sinsin21cos2cos2,2类似地sinsin21cos3cos2,22sin2sin21cos5cos3,222sinnsin21cos2 n1cos2 n1,222各项相加得,sin2sinsinsin2sinn1cos2n1cos222s i n ns i n n21.2所以,sinsinsinnsinnsinn21.2sin2【评述】此题也可借助
14、复数获证. 类似地,有coscoscosnsinn21cosn.2sin2利用上述公式可快速证明以下各式：名师归纳总结 coscos2cos3cosnsinncosn21第 6 页,共 7 页2sin2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本cos9cos3cos51 2.71等 .77cos9cos3cos5cos9992针对性训练题1证明： sin47 +sin61 sin11 sin25 =cos7 . 2证明：sin 22cossin.sinsin3已知： sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=
15、0. 求证： sin2A+sin2B+sin2C=0,cos2A+cos2B+cos2C=0. 4已知 0 ,求证:sin1sin2,1sin30 .sinsin的最大值 . 也235已知02,且tan3tan求的最大值 . . 求ysinsin6已知、 0,2,且7 ABC 中, C=2B 的充要条件是c2b2ab .cotA、cotB、cotC28 ABC 中,已知sin2A、sin2B、sinC成等差数列,求证：成等差数列 . 名师归纳总结 9 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c,已知2 bac,求 B 的最大值 . 第 7 页,共 7 页10如、 0 ,2,能否以 sin、 sin、sin的值为边长构成一个三角形. 11求函数y2x83x的值域 . 12求函数yx12 x2x2的值域 . 2- - - - - - -