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1、【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学设计（人教A版）本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质. 课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在0,2上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题. 数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义； 2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇
2、偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1.
3、周期函数、周期、最小正周期等的含义？ 2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？ 3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域 (1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值余弦函数当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两
4、个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性正弦函数的对称中心是,对称轴是直线;余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数
5、在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.四、典例分析、举一反三题型一 正、余弦函数的周期性例1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin(),xR; (4)y=|cos x|,xR.【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析】:(1)因为3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2.(2)因为sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为.(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4.(4)y=|co
6、s x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为. 解题技巧：（求函数最小正周期的常用方法）(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解跟踪训练一1.（1）函数y=2sin (3x+),xR的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)(2)函数y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为. 【答案】(1)B；(2) 【解析】(2)作出y=|sin 2x|(xR)的图象(如
7、图所示).由图象可知,函数y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为.题型二 化简、求值例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数.【解析】(1)显然xR,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.(2)因为xR,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.(3)显然xR,f(-x)=
8、sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函数f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由得cos x=1,所以x=2k(kZ),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.解题技巧：(判断函数奇偶性的方法)判断函数奇偶性的方法(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:函数的定义域是否关于原点对称;f(-x)与f(x)的关系;(2)判断函数的奇偶性常用方法是:定义法;图象法. 跟踪训练二1.下列函数中,最小正周期为的奇函数是()(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+) (C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)【答案】B【解析】A
9、中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T=,故选B.2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f 等于 ()A B1 C D【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T，所以f f f ，又yf(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以f f f sin.题型三 正、余弦函数的单调性例3 求函数y=sin(x+)的单调区间.【解析】当-+2kx+2k(kZ)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为-+,+(kZ).当+2kx
10、+2k(kZ)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为+,+(kZ).解题技巧：（求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”求函数yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数ysin x(或ycos x)的相应单调区间；第二步：将“x”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式(2)对于形如yAsin(x)的三角函数的单调区间问题，当0时，可先用诱导公式转化为yAsin(x)，则yAsin(x)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间余弦函数yAcos(x)的单调性讨论
11、同上另外，值得注意的是kZ这一条件不能省略跟踪训练三1求函数y2sin的单调增区间【解析】y2sin2sin，令zx，则y2sin z，求y2sin z的增区间，即求ysin z的减区间，所以2kz2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以y2sin的单调增区间是(kZ)题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用例4 比较下列各组中函数值的大小： （1）cos与cos；(2)sin 194与cos 160.【答案】（1）coscos；（2）sin 194cos 160.【解析】（1）coscoscos，coscoscos，2，且函数ycos x在，2上单调递增，coscos，
12、即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，且函数ysin x在0x90时单调递增，sin 14sin 70.从而sin 14sin 70，即sin 194cos 160.解题方法（比较两个三角函数值的大小） (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解跟踪训练四1下列结论正确的是
13、()Asin 400sin 50Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310【答案】C.【解析】由cos 130cos(18050)cos 50，cos 200cos(18020)cos 20，因为当0x90时，函数ycos x是减函数，所以cos 50cos 20，即cos 130cos 200.题型五 正、余弦函数的值域与最值问题例5 求下列函数的值域:(1)y=cos(x+),x0,;(2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】（1）-, ；（2）2,10.【解析】(1)由x0,可得x+,函数y=cos x在区间,上单调递减,所以函数的值域为-,. (2)y=co
14、s2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1t1.y=t2-4t+5=(, 当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为2,10. 解题方法（三角函数的值域问题解题思路） 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(x+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.跟踪训练五1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为. 【答案】-9,1.【解析】(1)y=2cos2
15、x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.故当sin x=1时,ymax=1;当sin x=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域为-9,1.2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为.【答案】1.【解析】由题意a0,当a0时,所以此时g(x)=-sin(2x+),其最大值为1.当a0时,所以此时g(x)=-sin(-2x+),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设
16、计5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.定义域 例1 例2 例32.值域3.周期性4.奇偶性 例4 例55.单调性6.对称性 七、作业课本207页练习、213页习题5.4 2-6、10、11题.本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓
17、不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，
18、农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生
19、）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁
20、白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样
21、就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，
22、请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈
23、不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它
24、夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗
25、脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？