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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 弹性学制数学讲义不等式（ 4 课时）学问梳理1、不等式的基本性质（对称性）abba;cbd11（传递性）ab bcac（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cda（异向可减性）ab,cdacbd（可积性）ab,c0acbcbdab,c0acbcb0,cd0ac（同向正数可乘性）a（异向正数可除性）ab0,0cdab1cdann b n（平方法就）ab0N,且n（开方法就）ab0nanb nN,且n1（倒数法就）ab011ab0abab2、几个重要不等式名师归纳总结 a2b22 ab a,bR,（当且仅当ab 时取 号）. 变形公式：aba2
2、2b2.（基本不等式）a2baba,bR,（当且仅当ab 时取到等号） . 第 1 页,共 7 页变形公式：ab2ababa2b2.用基本不等式求最值时（积定和最小,和定积最大）,要留意满意三个条件“ 一正、二定、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三相等”. abc3abc a、 、cR（当且仅当（三个正数的算术几何平均不等式）3abc时取到等号） . a22 b2 cabbcca a,bR（当且仅当abc时取到等号） . a3b3c33 abc a0,b0,c0（当且仅当abc时取到等号） . 如ab0, 就ba2（当仅当 a=b 时取等号）ab如a
3、b0, 就ba2（当仅当 a=b 时取等号）abbbm1ana,（其中ab0,aambnbm0,n0规律：小于1 同加就变大,大于1 同加就变小 . 当a0 时,xax2a2xa或xa;xax2a2axa .肯定值三角不等式ababab.3、几个闻名不等式平均不等式：21ababa22 b,（a bR,当且仅当ab 时取a1b22 号） . 几何平均算术平均平方平均） . （即调和平均变形公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - aba2b2a22b2;a2b2ab2 .2幂平均不等式：a 12a22.an21a 1a
4、2.an2 .n二维形式的三角不等式：x 122 y 1x 22y 22x 1x 22y 1y 22x y 1,x 2,y2R .二维形式的柯西不等式：a2b2c2d2acbd2 , , , a b c dR.当且仅当adbc 时,等号成立 . 三维形式的柯西不等式：2 a 1a22a 322 b 1b 22b 32a b 1 1a b 2a b 32 .一般形式的柯西不等式：2 a 1a 22.a n2b 12b 22.b n2a b 1 1a b 2.a b n2 .k ,使urkur向量形式的柯西不等式：ur urur ur,当且仅当ur设ur ur ,是两个向量,就是零向量,或存在实数
5、时,等号成立 . 排序不等式（排序原理）：b 为两组实数 .c c2,.,c 是b b 2,.,b 的任一排列,就设a 1a2.an,b 1b 2.a b na b n1.a b 1a c 1 1a c 2.a c na b 1 1a b 2.a b （反序和乱序和次序和）,当且仅当a 1a2.a 或b 1b 2.b 时,反序和等于次序和. 琴生不等式 :（特例 :凸函数、凹函数）如定义在某区间上的函数f x ,对于定义域中任意两点x x 2x 1x 2,有. fx 12x 2f x 12f x2或fx 12x2f x12f x2.就称 fx 为凸（或凹）函数4、不等式证明的几种常用方法 常用
6、方法有：比较法（作差,作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等 . 常见不等式的放缩方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 舍去或加上一些项,如a123 a12 ;242将分子或分母放大（缩小）,1,22k2k1k2k1,如111,11k2k kk2k kkk1k2k1kN*,k1k等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0或0. a0,b24ac0解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判定对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四
7、画：画出对应函数的图象. 五解集：依据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿（奇穿偶切）写出不等式的解集 . 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,就f x 0f x g x 0” 时同理）. g x f x 0f g x 0（“或g x 0g x 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x a a0f x 0f x 2 af x a a0f x 0f x 2 a,结合原式不等号的方向,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
8、,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x g x f x 02或f x 0g x 0g x 0f x f x 0f x g x g x 0 f x 2f x 0f x g x g x 0 f x g x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“ 小” 的一边分析求解 . 9、指数不等式的解法：当a1时,af ag x f x g x g x 当0a1 时, af x ag x f x 规律：依据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法logaf x logag x f x 0.g x 0当a1时, logag x f x g x f x 0logaf
9、 x g x 0当0a1 时, . f x g x 规律：依据对数函数的性质转化11、含肯定值不等式的解法：定义法：aaa0.2 g2 .a a0平方法：f x g x f同解变形法,其同解定理有：名师归纳总结 xaxaxxa a0;0;第 5 页,共 7 页xaa 或a a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x g x g x f x g x 0f x g x f x g x 或f x g x g x 0规律：关键是去掉肯定值的符号. 12、含有两个（或两个以上）肯定值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集,最终取各段
10、的并集 . 13、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时, 要对参数进行分类争论,分类争论的标准有：争论a与 0 的大小；争论 与 0 的大小；争论两根的大小 . 14、恒成立问题不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a0时b0,c0;a0 0.当a0时不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a0时b0,c0;a0 0.当a0时f x a 恒成立f x maxa;f x a 恒成立f x maxa;f x a 恒成立f x mina;f x a 恒成立f x mina.15、线性规划问题常见的目标函数的类型：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - “ 截距” 型：zAxBy;“ 斜率” 型：zyzy xb;y2 ;2 b .x 或az2 xx22 y 或z“ 距离” 型：zxa2yb2或zxa2y在求该“ 三型” 的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简洁化 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页