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1、13函数的基本性质13.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点知识链接1x22x2(x1)210；2当x2时，x23x2(x1) (x2)0；3函数y x23x2的对称轴为x.预习导引1定义域为I的函数f(x)的增减性 2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数yf(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间解决学生疑难点要点一函数单调性的判定与证明例1求证：函数f(x)在(0
2、，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定
3、号：确定f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性跟踪演练1已知函数f(x)，证明：函数f(x)在(1，)上为减函数证明任取x1，x2(1，)，且x1x2.则f(x1)f(x2).x2x11，x2x10，(x11)(x21)0，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上为减函数要点二求函数的单调区间例2画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间解y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为(1,0)，(1，)规律方法1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注
4、意图象一定要画准确2函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域3一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接跟踪演练2作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间解f(x)的图象如图所示由图象可知：函数的单调减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为(2，)要点三函数单调性的简单应用例3已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围解f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合1a4，解得
5、a3.规律方法1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便2已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法跟踪演练3(1)例3中，若将“函数在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则a为何值？解由例3知函数f(x)的单调递减区间为(，1a，1a4，a3.(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围为_答案0a解析由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知，0a，即所求a的取值范围是0a0，则必有()A函数f(x)先增
6、后减Bf(x)是R上的增函数C函数f(x)先减后增D函数f(x)是R上的减函数答案B解析由0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(2a) Bf(a2)f(a2) Df(6)f(a)答案C解析因为函数f(x)是增函数，且a3a2，所以f(a3)f(a2)4函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A(，3)B(0，)C(3，)D(，3)(3，)答案C解析因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.5如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_答案1.5,3和5,6解析由图象知单调
7、递增区间为1.5,3和5,61对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调
8、性2单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：设元：设x1、x2D且x1x2；作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；定论：对f(x)的单调性作出结论其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号3单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”一、基础达标1下列说法中，正确的有()若任意x1，x2
9、I，当x1x2时，0，则yf(x)在I上是增函数；函数yx2在R上是增函数；函数y在定义域上是增函数；函数y的单调区间是(，0)(0，)A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析当x1x2时，x1x20，由0知f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，正确；均不正确2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x| By3xCy Dyx24答案A解析 (排除法)函数y3x在R上为减函数，函数y在(0，)上是减函数，函数yx24在0，)上是减函数3若函数f(x)4x2kx8在5,8上是单调函数，则k的取值范围是()A(，40)B40,64C(，4064，)D64，)答案C解析对称轴
10、为x，则5或8，解得k40或k64.4若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是()Ak为任意实数 Bk0Ck0 Dk0答案C解析由函数单调性的定义，设x1，x2是任意实数，x1x2，则f(x1)f(x2)，且kf(x2)kf(x1)，得出f(x1)f(x2)0，kf(x1)f(x2)0，则k0.5函数yx|x1|的单调递增区间是_答案(，1，)解析画出函数yx|x1|的图象，如图，可得函数的增区间为(，1，)6. 函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_.答案3解析f(x)2(x)23，由题意2，m8.f(1)21281
11、33.7求证：函数f(x)1在区间(，0)上是增函数证明设x1，x2为区间(，0)上的任意两个值，且x1x2，则f(x1)f(x2)(1)(1).因为x1x20，所以x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)1在区间(，0)上是增函数二、能力提升8如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()Aa BaCa0 Da0答案D解析当a0时，f(x)2x3在区间(，4)上是单调递增的；当a0时，由函数f(x)ax22x3的图象知，不可能在区间(，4)上是单调递增；当a0时，只有4，即a满足函数f(x)在区间(，4)上是单调递增的，
12、综上可知实数a的取值范围是a0.9已知函数f(x)x2bxc的图象的对称轴为直线x1，则()Af(1)f(1)f(2)Bf(1)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(1)Df(1)f(1)f(2)答案B解析因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x1，所以f(1)f(3)又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间1，)上为增函数，故f(1)f(2)f(3)，即f(1)f(2)f(1)故选B.10已知f(x)是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是_答案，)解析要使f(x)在(，)上为减函数，必须同时满足3个条件：g(x)(3a1)x4a在(，1)上为减函数；h(x)x1在1，)上
13、为减函数；g(1)h(1)a.11讨论函数yx22(2a1)x3在2,2上的单调性解函数图象的对称轴x2a1，当2a12，即a时，函数在2,2上为增函数；当22a12，即a时，函数在2,2a1上是减函数，在2a1,2上是增函数；当2a12，即a时，函数在2,2上是减函数三、探究与创新12已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)f(x)f(y)，且f(x)在定义域内是减函数(1)求f(1)的值；(2)若f(2a3)0，试确定a的取值范围解(1)f(xy)f(x)f(y)，令xy1，得f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(2a3)0，即是f(2a3)f(1)f(x)在R上是减函数，2a3
14、1，得a2.即a的取值范围为(2，)13设f(x)是定义在(0，)上的函数，满足条件：(1)f(xy)f(x)f(y)；(2)f(2)1；(3)在(0，)上是增函数如果f(2)f(x3)2，求x的取值范围解f(xy)f(x)f(y)，令xy2，得f(4)f(2)f(2)2f(2)又f(2)1，f(4)2.f(2)f(x3)f2(x3)f(2x6)，f(2)f(x3)2可化为f(2x6)2f(4)，即f(2x6)f(4)f(x)在(0，)上递增，解得3x5，故x的取值范围为(3,5下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到
15、节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人
16、：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）
17、：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男
18、厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，
19、不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯
20、伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水
21、，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快
22、板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我
23、看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？