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1、 雅礼教育集团 2020 下学期期中考试试卷高二数学时量：120 分钟 分值：150 分一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1半径为 2 的球的表面积是 ()16p332p3ABC16pr rD 32prr()(2已知向量 a = 3，2， x ，向量 b = 2 ，0，1 ，若 a b ，则实数 = ()xA3B -3C6D -63下列说法正确的是 ()A通过圆台侧面一点，有无数条母线B棱柱的底面一定是平行四边形C圆锥的轴截面是等腰三角形D用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台4在正方体 ABCD -
2、 A B C D 中， AC 与 BC 所成角的大小为 ()11111A 30B 45C 60D 90x2 y25已知双曲线1(a 0,b 0)-= 的两条渐近线互相垂直，焦距为 6 2 ，则该双曲线的a2 b2实轴长为 (A3)B6C9D126已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为 (A4 B5 C6 D77已知 (-2,1) 是直线 l 被椭圆)x2 y21+= 所截得线段的中点，则直线 l 的方程是 ()36 9A x - 2y = 0B x - 2y + 4 = 0C 2x + y + 3 = 0D 2x - 3y -1 = 0x2 y28已知F 、F
3、 是双曲线1 (a 0,b 0) 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P-=a2b212bxaF 关于直线 y2与点=对称，则该双曲线的离心率为 ()52AB 5C 2D2 )y1-C方程 (x -1) + (y - 4) = 0 表示四个点2222x2y2+5-m -10已知 l ， m 是两条不同的直线， a ， b 是两个不同的平面，且 la ， m b ，则下列命题中正确的是 ()A若a / /b ，则 m aC若 l m ，则 l bB若a b ，则 l mD若 ma ，则a bmn)() ()12过抛物线 y = 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A x ， y ， B x ，
4、y 两点， M 为线21122)uuuruuruuuru uuurD OAOB = -3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13曲线 y = lnx + x + 1的一条切线的斜率为 2，则切点坐标为uuru r uuru r uuuru ruuurr r r(用 a,b,c14直三棱柱 ABC - A B C 中，若CA = aCC = cBA =，CB = b ，则1 1 111表示）15如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C ，D ，测得 BCD =15 ，CBD = 30 ，CD =10 2 （米 ) ，并 在 C
5、处测得塔顶 A 的仰角为 45，则塔高 AB =米16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17（10 分）设等比数列a 满足 a + a = 4 ， a - a = 8n1231a 的通项公式；（1）求 nS 为数列log a 的前
6、 n 项和若 SSS=（2）记+，求 mn3nmm+1m+3 18（12 分）已知曲线 C : y = x3求：（1）曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？19（12 分）在ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，已 知 asin 2B = bsin A （1）求角 B 的大小；2 3r =， a + c = 2 3 ，试从中选择两（2）给出三个条件 b = 2 ，ABC 外接圆半径个可以确定ABC 的条件，并求ABC 的面积320（12 分）如图所示，在四棱锥 A - BCDE 中，底面 BCDE
7、 为正方形，且 BC = 2 ，AB = 4 ，AC = AE = 2 5 （1）证明： AB 平面 BCDE ；（2）求二面角 C - AD - E 的余弦值 21（12 分）已知抛物线C : y = 4x ，直线l : y = x + m 与抛物线交于 A ，B 两点，P(-1,6) 是2抛物线准线上的点，连结 PA ， PB （1）若 m = -1，求 AB 的长（2）若PAB是以 PA ， PB 为腰的等腰三角形，求 的值m22（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 A: (x -1) + y =16 ，点 B(-1,0) ，过 B 的直线 l 与22圆 A 交于点 C ， D
8、，过 B 做直线 BE 平行 AC 交 AD 于点 E （1）求点 E 的轨迹t 的方程；uuuruuuuru（2）过 A 的直线与t 交于 H 、 G 两点，若线段 HG 的中点为 M ，且 MN = 2OM ，求四边形 OHNG 面积的最大值18（12 分）已知曲线 C : y = x3求：（1）曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？19（12 分）在ABC 中，角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，已 知 asin 2B = bsin A （1）求角 B 的大小；2 3r =， a + c = 2 3
9、，试从中选择两（2）给出三个条件 b = 2 ，ABC 外接圆半径个可以确定ABC 的条件，并求ABC 的面积320（12 分）如图所示，在四棱锥 A - BCDE 中，底面 BCDE 为正方形，且 BC = 2 ，AB = 4 ，AC = AE = 2 5 （1）证明： AB 平面 BCDE ；（2）求二面角 C - AD - E 的余弦值 21（12 分）已知抛物线C : y = 4x ，直线l : y = x + m 与抛物线交于 A ，B 两点，P(-1,6) 是2抛物线准线上的点，连结 PA ， PB （1）若 m = -1，求 AB 的长（2）若PAB是以 PA ， PB 为腰的等腰三角形，求 的值m22（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 A: (x -1) + y =16 ，点 B(-1,0) ，过 B 的直线 l 与22圆 A 交于点 C ， D ，过 B 做直线 BE 平行 AC 交 AD 于点 E （1）求点 E 的轨迹t 的方程；uuuruuuuru（2）过 A 的直线与t 交于 H 、 G 两点，若线段 HG 的中点为 M ，且 MN = 2OM ，求四边形 OHNG 面积的最大值