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1、课 题：算术平均数与几何平均数（2）教学目的：1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值；3能够解决一些简单的实际问题 教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正数，那么3.我们称的算术平均数，称的几何平均数.成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD
2、,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立二、讲解新课：1公式的等价变形：ab，ab（）22 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；3定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明： 上式0 从而指出：这里 若就不能保证（此公式成立的充要条件为）4推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 证明： 5关于“平均数”的概念如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数推广： 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的
3、题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用三、讲解范例：例1 已知为两两不相等的实数，求证：证明： 以上三式相加：例2 已知a,b,c,d都是正数，求证：分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识证明：a,b,c,d都是正数，ab0，cd0，ac0，bd0得 由不等式的性质定理4的推论1，得即点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容
4、积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)
5、顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案四、课堂练习：1已知x0，当x取什么值时，x2的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2是和的形式，再看x281为定值，从而可求和的最小值解：x0x20，0,x2218，当且仅当x2，即x3时取“”号故x=3时，x2+的值最小，其最小值是182一段长为 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园
6、的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“”号成立，(4)确定正确答案解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（2x）m，其中0x，其面积Sx（2x）2x（2x）当且仅当2x2x，即x时菜园面积最大，即菜园长m，宽为 m时菜园面积最大为 m2解法二：设矩形的长为x m，则宽为m，面积S（m2）当且仅当xx，即x（m）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为m，宽为m时，菜园的面积最大，最大面积为m23设0x2，求函数f(x)=的最大值，并求出相应的x值分析：根据均值不等式：，研究的最值时，一要考虑3x与3x是否
7、为正数；二要考查式子3x（3x）是否为定值解：0x2, 3x0，3x0f（x）4当且仅当3x3x时，即x时取“”号故函数f（x）的最大值为4，此时x五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题六、课后作业：1解答下列各题：(1)求函数y2x2（x0）的最小值(2)求函数
8、yx2（x0）的最小值(3)求函数y3x22x3（0x）的最大值(4)求函数yx（1x2）（0x1)的最大值(5)设a0，b0，且a21，求a的最大值分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值如，若ab为常数k，则当且仅当ab时，ab就有最小值2；若ab为常数s，则当且仅当ab时，就有最大值s（或xy有最大值s2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”解：(1)x0 2x20，0,y2x22x23当且仅当2x2，即x时等号成立故当x时，
9、y有最小值3(2)，当且仅当即x时，等号成立故当x时，y有最小值3(3)0x 32x0yx2（32x）xx（32x）（）31当且仅当x32x即x1时，等号成立(4)0x1 1x20y2x2（1x2）22x2（1x2）（1x2）（）3当且仅当2x21x2即x时，等号成立，当x时，y2有最大值由题意可知：y0,故当x时，y有最大值(5)a0，b0，且a21a，当且仅当a，即a，b时取“”号故当a，b时，a有最大值评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值
10、；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法如下面的几例均为错误的解法：(1)yx2,y的最小值为2错误的原因是，当x0时，就不能运用公式事实上，当x0时，y0，故最小值不可能为2(2)y3x22x2x23，y的最小值为3其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x2x2，显然这样的x不存在，故y没有最小值(3)yx（1xx2）2（）2当且仅当x1xx2即x1时等号成立当x1时，y有最大值为1此种解法的错误在于不是定值显然当x越大时，也越大，故y无最大值2如图，为
11、处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y，其中k0且k是比例系数依题意要使y最小，只需求ab的最大值由题设得：4b2ab2a0 （a0，b0）即a2bab30
12、 （a0，b0)a2b2 2ab30当且仅当a2b时取“”号，ab有最大值当a2b时有2ab30,即b22b10解之得：b13，b2（舍去)a2b故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b2ab2a0（a0，b0）a2bab30 （a0，b0）,b （0a30）由题设：y，其中k0且k是比例系数，依题只需ab取最大值y当且仅当a2时取“”号，即a，b3时ab有最大值18故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“”号成立3如图，在AB
13、C中，0，AC3，B4，一条直线分AB的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SBSAB，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，By解：设Bx，By(0x4，0y），则SBBBsinBxysinB又SABBA34依题意可知：SBSAB xysinB3sinB，xy10 又cosB在B中，由余弦定理得：2B2B22BBcosBx2y22xyx2y212xy14，当且仅当xy时，等号成立故此时线段EF的长为2评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问
14、题而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法七、板书设计（略）八、课后记：下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就
15、是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说
16、水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷
17、车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也
18、是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，
19、今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水
20、是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到
21、的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不
22、大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？