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1、 圆的基本性质全章复习与巩固（提高）【学习目标】1理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1圆的定义（1）线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确
2、定一个圆.要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点 P 是否在O 上设O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在O 外；点 P 在O 上；点 P 在O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理 1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4与圆有关的角 圆心角定理：在同圆或
3、等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一
4、对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆要点四、弧长及扇形的面积圆心角为 、半径为 R 的弧长.圆心角为 ，半径为 R，弧长为 的扇形的面积要点诠释：.(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形
5、面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】 类型一、圆的基础知识1. 如图，已知O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45,点 在数轴上运动，若P过点 P 且与 OA 平行（或重合）的直线与O 有公共点, 设 OP=x，则 的取值范围是（ ）.xA1x 1 B 2 x 2 C0x 2 Dx 2举一反三：【变式】如图，已知O 是以数轴的原点为圆心，半径为
6、 1 的圆，AOB=45，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OB 平行的直线于O 有公共点，设 P（x，0），则 x 的取值范围是（ ）.B0x1 C- 2 x0 或 0x 2 Dx1 类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2如图所示，已知在O 中，AB 是O 的直径，弦 CGAB 于 D，F 是O 上的点，且CF CB ，BF 交 CG 于点 E，求证：CEBE举一反三：【变式】如图所示，在O 内有折线 OABC,其中 OA=8,AB=12,A=B=60,则 BC 的长为（ ）A19B16C18D20类型三、图形的旋转3如 图 ， ABC 中，AB=4 ，BC=6 ，B=60
7、， 将ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到ABC，再 将ABC绕点 A逆时针旋转一定角度后，点 B恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） 类型四、圆中有关的计算4如图，AB 为O 直径，C 为O 上一点，点 D 是 的中点，DEAC 于 E，DFAB 于 F（1）判断 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 OF=4，求 AC 的长度举一反三：【变式】如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，FOAB，垂足为点O，连接 AF 并延长交O 于点 D，连接 OD 交 BC 于点 E， B=30，FO=2 （1）求 AC 的长度；（2）求图中阴影部分的面积（计
8、算结果保留根号）类型五、圆与其他知识的综合运用5. 6如图，直径AB为 6 的半圆，绕A点逆时针旋转 60，此时点B到了点 B，则图中阴影部分的面积是（ ）.A. 3pB. 6pC. 5pD. 4p举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为 12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A.B.72C.36D.72 圆的基本性质全章复习与巩固巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有
9、一个内接三角形；任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形其中，正确的有( )A1 个B2 个C3 个D4 个2圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）A12cm2 B26cm2 Ccm D（4 +16）cm223设计一个商标图案，如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=8cm，以 A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4+8)cm2B.(4+16)cm2C.(3+8)cm2D.(3+16)cm24如图，已知 P 是O 外一点，Q 是O 上的动点，线段 PQ
10、的中点为 M，连接 OP，OM若O 的半径为2，OP=4，则线段 OM 的最小值是（ ）A0 B1 C2 D35. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于 E，CE=1 寸，AB=10 寸，则直径 CD 的长为( )A12.5 寸B13 寸C25 寸D26 寸 6.如图，在 RtABC 中，BAC=90如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到AB C 的位置，点 B1 11恰好落在边 BC 的中点处那么旋转的角度等于（ ）A55 B60 C
11、65 D80 7一条弦的两个端点把圆周分成 4:5 两部分，则该弦所对的圆周角为( )A80B100C80或 100 D160或 2008如图，圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，A=22.5，OC=4，CD 的长为（ ）A2 2B4C4 2D8二、填空题9如下左图，是 的内接三角形，点P 在 上移动(点 P 不与点 A、C 重合)，则 的变化范围是_ _.10.如图，0 中，弦 AB 与弦 CD 交于 E，连接 AC，OE，BD，若 AE=BE，AC0E，则CDB= 11如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分BAC，则 AD 的长为_cm. 12.
12、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，EAF=45，ECF 的周长为 4，则正方形ABCD 的边长为_.13.如图，以ABC 的边 BC 为直径的O 分别交 AB、AC 于点 D、E，连结 OD、OE，若A=65，则DOE=_.2a14.已知正方形 ABCD 外接圆的直径为 ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形 EFGHIJLK 的边长为_ _，面积为_ _15如图，AB 为O 的直径，AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC=45，给出以下五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧 是劣弧 的 2 倍；AE=BC，其中正
13、确的序号是16.如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为_. 三、解答题17. （二模）如图，已知四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与 BD 相交于点 E，F 在 AC 上，AB=AD，BFC=BAD=2DFC（1）若DFC=40，求CBF 的度数；（2）求证：CDDF18.已知：如图，PAQ=30，在边 AP 上顺次截取 AB=3cm，BC=10cm，以 BC 为直径作O 交射线 AQ 于 E、F 两点，求：（1）圆心 O 到 AQ 的距离；（2）线段
14、EF 的长19如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积. 20.如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DC=DE（1）求证：A=AEB；（2）连接 OE，交 CD 于点 F，OECD，求证：ABE 是等边三角形三、解答题17. （二模）如图，已知四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与 BD 相交于点 E，F 在 AC 上，AB=AD，BFC=BAD=2DFC（1）若DFC=40，求CBF 的度数；（2）求证：CDDF18.已知：如图，PAQ=30，在边 AP
15、上顺次截取 AB=3cm，BC=10cm，以 BC 为直径作O 交射线 AQ 于 E、F 两点，求：（1）圆心 O 到 AQ 的距离；（2）线段 EF 的长19如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积. 20.如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DC=DE（1）求证：A=AEB；（2）连接 OE，交 CD 于点 F，OECD，求证：ABE 是等边三角形三、解答题17. （二模）如图，已知四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与 BD 相交于点 E，F 在 AC
16、 上，AB=AD，BFC=BAD=2DFC（1）若DFC=40，求CBF 的度数；（2）求证：CDDF18.已知：如图，PAQ=30，在边 AP 上顺次截取 AB=3cm，BC=10cm，以 BC 为直径作O 交射线 AQ 于 E、F 两点，求：（1）圆心 O 到 AQ 的距离；（2）线段 EF 的长19如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积. 20.如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DC=DE（1）求证：A=AEB；（2）连接 OE，交 CD 于点 F，OECD，求证：ABE 是等边三角形