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1、 第七章 平行线的证明7.5 三角形内角和定理第 2 课时 教学设计一、教学目标1掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题2经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力3在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力二、教学重点及难点重点：了解并掌握三角形的外角的定义难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺。四、相关资源三角形外角动画，三角形其他外角动画五、教学过程【新知导入】ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为ABC 的外角.请试着画出ABC 的其他外角.设计意图：外
2、角概念探究意义不大，所以直接明晰这一概念，通过在图中标注其他外 【合作探究】定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知：ABC.求证：ACD=A+B，ACDA，ACDB. + + =ACB 180（三角形内角和定理），AB + =B 180 ACB（等式的性质），ACD+=ACB 180（平角的定义）ACDA，ACDB.例 1 已知，如图，在ABC 中，B=C，AD 平分外角EAC求证：ADBCEADBC 分析：要证明 ADBC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于
3、和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）1B= EAC（等式的性质）2AD 平分EAC（已知）1DAE= EAC（角平分线的定义）2DAE=B（等量代换）A DBC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）1C= EAC（等式的性质）2 AD 平分EAC（已知）1DAC= EAC（角平分线的定义）2DAC=C（等量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两
4、个内角的和）B=C（已知）1C= EAC（等式的性质）2AD 平分EAC（已知）1DAC= EAC2DAC=C（等量代换）B+BAC+C=180 B+BAC+DAC=180即：B+DAB=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）设计意图：例题的图形较复杂，可以给出分析过程，鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导.“想一想”关注解决问题方法的多样化，通过多种解法，开拓学生思维.例2 如图，P 是ABC 内的一点，求证：BPCA.解析：由题意无法直接得出BPCA，延长 BP 交 AC 于 D，就能得到BPCPDC，PDCA.即可得证证明：延长BP,交AC 于D，BPC 是PDC 的
5、外角(外角定义)，BPCPDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)PDC 是ABD 的外角(外角定义)，PDCA(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)BPCA.方法总结：利用推论 2 证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角若不是，就需借助中间量转化求证设计意图：让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.鼓励学生寻求多种解法，如还可以连接 AP，并延长 AP交 BC 于点 D ,这时BPC 和A 分别被分成了两个小角，用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可以证明.【课堂练习】1.判断下列命题
6、的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （2）三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍.（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.）（ （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()CB.锐角三角形D.无法确定AD3.如图所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE 等于(A.120 B.115 C.110 D.1054.如图，AB/CD，A37, C63，那么F 等于（A.26 B.63 C.37 D.60)BFCE
7、B）FAEB5.如图，如果1100，2145，那么3 等于()CD11002145BAC80ABC353BACABC115 证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD的一个外角.13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC.（2）连结 AD，并延长 AD，如图.则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD 的一个外角.1=3+B2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）即：BDC=B+C+BAC证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长
8、CD 交 AB 于 E），如图.则BDC 是CDE 的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）BDCA（不等式的性质）（2）延长 BD 交 AC于 E，则BDC 是DCE 的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC 是ABE 的一个外角 DEC=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=B+C+BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1外角2三角形的外角等于与它不
9、相邻的两个内角的和3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图： 通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1外角2三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD的一个外角.13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC.（2）连结 AD，并延长 AD，如图.则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD 的一
10、个外角.1=3+B2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）即：BDC=B+C+BAC证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E），如图.则BDC 是CDE 的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）BDCA（不等式的性质）（2）延长 BD 交 AC于 E，则BDC 是DCE 的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC 是ABE 的一个外角 DEC
11、=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=B+C+BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1外角2三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图： 通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1外角2三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD的一个外角
12、.13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC.（2）连结 AD，并延长 AD，如图.则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD 的一个外角.1=3+B2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）即：BDC=B+C+BAC证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E），如图.则BDC 是CDE 的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）B
13、DCA（不等式的性质）（2）延长 BD 交 AC于 E，则BDC 是DCE 的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC 是ABE 的一个外角 DEC=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=B+C+BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1外角2三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图： 通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1外角2三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角