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1、 2、归总问题小学数学应用题的 21 种类型类，讲【含义】解详细，内容全面，例题经典解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓 “总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。1、归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】1 份数量份数总量【数量关系】总量1 份数量份数总量份数1 份数量总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】1 份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题
2、意得出所求的数量。例 1服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。套衣服的布，现在可以做多少套解 （1）这批布总共有多少米 3.27912531.2例 1买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔（米）16 支，需要多少钱（2）现在可以做多少套 2531.22.8904（套）列成综合算式 3.27912.8904（套）答：现在可以做 904 套。解 （1）买 1 支铅笔多少钱 0.650.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱 0.12161.92（元）列成综合算式 0.65160.121
3、61.92（元）答：需要 1.92 元。3、和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少， 这类应用题叫和差问题。【数量关系】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵大数（和差）2小数（和差）2【解题思路和方法】解 （1）杏树有多少棵 248（31）6 2（棵）（2）桃树有多少棵 623186（棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。5、差倍问题例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多6 人，求两班各有多少人【含义
4、】解甲班人数（986）252（人）乙班人数（986）246（人）已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。【数量关系】4、和倍问题两个数的差（几倍1）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【数量关系】例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵总和（几倍1）较小的数总和较小的
5、数较大的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】解 （1）杏树有多少棵 124（31）62（棵）（2）桃树有多少棵 623186（棵）答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 6、倍比问题相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【数量关系】例 1南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 2
6、1千米，经过几小时两船相遇总量一个数量倍数另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】解392（2821）8（小时）先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。答：经过 8 小时两船相遇。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少8、追及问题【含义】解（1）3700 千克是 100 千克的多少倍370010037（倍）两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。（2）可以榨油多少千克
7、 40371480（千克）列成综合算式 40（3700100）1480（千克）答：可以榨油 1480 千克。7、相遇问题【数量关系】【含义】追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利 用公式。例 1一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳例 1好马每天走 120 千米，劣马每天走 75千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马解1362168169（棵）解（1）劣马先走 12 天能走多少千米 7512
8、答：一共要栽 69 棵垂柳。900（千米）10、年龄问题（2）好马几天追上劣马 900（12075）20【含义】（天）这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。列成综合算式 7512（12075）9004520（天）答：好马 20 天能追上劣马。【数量关系】9、植树问题年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【解题思路和方法】可以利
9、用“差倍问题”的解题思路和方法。【数量关系】例 1爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年线形植树棵数距离棵距1环形植树棵数距离棵距爸爸的年龄是亮亮的几倍明年呢解3557（倍）方形植树棵数距离棵距4三角形植树棵数距离棵距3面积植树棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法】（35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。11、行船问题先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速
10、之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【数量关系】（顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速2逆水速逆水速水速2逆水速船速2顺水速顺水速水速2【解题思路和方法】火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米大多数情况可以
11、直接利用数量关系的公式。例 1一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火程需用几小时车车身长度的和。解由条件知，顺水速船速水速3208，（1）火车 3 分钟行多少米 90032700（米）（2）这列火车长多少米 27002400300（米）列成综合算式 90032400300（米）答：这列火车长 300 米。而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时32081525（千米）船的逆水速为 251510（千米）船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。13、时
12、钟问题12、列车问题【含义】【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为 11/12。参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟例
13、 1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个时针正好与分针重合就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友有多少个苹果解钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/601/12 格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以解按照“参加分配的总人数（盈亏） 分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人（ 111）（43）12（人）分针追上时针的时间为 20（11/12）22（分）答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。（2）有多少个苹果 3121147（个）答：有小
14、朋友 12 人，有 47 个苹果。14、盈亏问题15、工程问题【含义】【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出 “一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】 16、正反比例问题【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作 “1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）
15、，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。工作时间总工作量 （甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述
16、数量关系的公式。例 1一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，【数量关系】乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。要几天完成解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用
17、题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）例 1修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米答：两队合做需要 6 天完成。 解的计算方法，分别求出各部分量的值。由条件知，公路总长不变。例 1原已修长度总长度 1（ 13） 14312学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有45 人，三个班各植树多少棵现已修长度总长度 1（ 12） 13412解 总份数为 474845140一班植树 56047/140188（棵）二班
18、植树 56048/140192（棵）三班植树 56045/140180（棵）比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答：这条公路总长 3600 米。答：一、二、三班分别植树188 棵、192 棵、18017、按比例分配问题棵。【含义】18、百分数问题所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；
19、分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标
20、准量例 1一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可标准量比较量百分数以把草吃完【解题思路和方法】解草是均匀生长的，所以，草总量原有草一般有三种基本类型：量草每天生长量天数。求“多少头牛 5 天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。（1）求草每天的生长量例 1仓库里有一批化肥，用去 720 千克，剩因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛
21、 20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量，所以下 6480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几解（1）用去的占 720（7206480）10%11020原有草量20 天内生长量同理 11510原有草量10 天内生长量由此可知（2010）天内草的生长量为110201151050（2）剩下的占 6480（7206480）90%答：用去了 10%，剩下 90%。19、“牛吃草”问题【含义】因此，草每天的生长量为 50（2010）5（2）求原有草量“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃
22、边长这个因素。原有草量 10 天内总草量 10 内生长量11510510100【数量关系】（3）求 5 天内草总量草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】5天内草总量原有草量5 天内生长量10055125解这类题的关键是求出草每天的生长量。（4）求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。因此 5 天吃完草需要牛的头数 125525（头）答：需要 5 头牛 5
23、天可以把草吃完。20、鸡兔同笼问题例 1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。解假设 35 只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）【数量关系】也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有答
24、：有鸡 23 只，有兔 12 只。21、方阵问题鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有【数量关系】鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数） ?（内边人数）?内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则
25、：总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例 1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一共有多少人解2222484（人）答：参加体操表演的同学一共有 484 人。因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。因此 5 天吃完草需要牛的头数
26、125525（头）答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。20、鸡兔同笼问题例 1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。解假设 35 只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）【数量关系】也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚
27、数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有答：有鸡 23 只，有兔 12 只。21、方阵问题鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有【数量关系】鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数） ?（内边人数）?内边人数外边人数层数2（
28、3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例 1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一共有多少人解2222484（人）答：参加体操表演的同学一共有 484 人。因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题
29、得到解决。因此 5 天吃完草需要牛的头数 125525（头）答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。20、鸡兔同笼问题例 1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。解假设 35 只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）【数量关系】也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）第一鸡
30、兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有答：有鸡 23 只，有兔 12 只。21、方阵问题鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有【数量关系】鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4每边人数四周人数41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数） ?（内边人数）?内边人数外边人数层数2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例 1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一共有多少人解2222484（人）答：参加体操表演的同学一共有 484 人。