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1、类型二 与切线有关的证明与计算例1、如图，在ABC中，ABAC，点D在BC上，BDDC，过点D作DEAC，垂足为E，O经过A，B，D三点(1)求证：AB是O的直径；(2)判断DE与O的位置关系，并加以证明；(3)若O的半径为3，BAC60，求DE的长【分析】：(1)连接AD，证ADBC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长【答案】：(1)连接AD，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，AB为圆O的直径(2)DE与圆O
2、相切，证明：连接OD，O，D分别为AB，BC的中点，OD为ABC的中位线，ODAC，DEAC，DEOD，OD为圆的半径，DE与圆O相切(3)ABAC，BAC60，ABC为等边三角形，ABACBC6，连接BF，AB为圆O的直径，AFBDEC90，AFCF3，DEBF，D为BC的中点，E为CF的中点，即DE为BCF中位线，在RtABF中，AB6，AF3，根据勾股定理得BF3，则DEBF例2、如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且AEBC.(1)求证：BE是O的切线；(2)已知CGEB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BGBA48
3、，FG，DF2BF，求AH的值【分析】：(1)证EBD90即可；(2)由ABCCBG得，可求出BC，再由BFCBCD得BC2BFBD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CGAG，可证CHCB，即可求出AC.【答案】：(1)连接CD，BD是直径，BCD90，即DCBD90，AD，AEBC，CBDEBC90，BEBD，BE是O切线(2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC，ABCCBG，即BC2BGBA48，BC4，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2BFBD，DF2BF，BF4，在RtBCF中，CF4，CGCFFG5，在RtBFG中，BG3，BGBA48，BA8，A
4、G5，CGAG，AACGBCG，CFHCFB90，CHFCBF，CHCB4，ABCCBG，AC，AHACCH例3、如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求CDE的度数；(2)求证：DF是O的切线；(3)若AC2DE，求tanABD的值【答案】：(1)对角线AC为O的直径，ADC90，EDC90(2)连接DO，EDC90，F是EC的中点，DFFC，FDCFCD，ODOC，OCDODC，OCF90，ODFODCFDCOCDDCFOCF90，DF是O的切线(3)EDCE90，DCADCE90，DCAE
5、，又ADCCDE90，CDEADC，DC2ADDE.设DEx，则AC2x，AC2AD2DC2ADDE，即(2x)2AD2ADx，整理得AD2ADx20x20，解得AD4x或AD5x(舍去)，则DC2x，故tanABDtanACD2例4、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且ACBDCE.(1)判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tanACB，BC2，求O的半径【答案】：(1)直线CE与O相切. 理由如下：四边形ABCD是矩形，BCAD，ACBDAC，又ACBDCE，DACDCE，连接OE，有OAOE，则DACAEODC
6、E.DCEDEC90，AEODEC90，OEC90，即OECE.又OE是O的半径，直线CE与O相切(2)tanACB，BC2，ABBCtanACB，AC.又ACBDCE，tanDCEtanACB，DEDCtanDCE1.在RtCDE中，CE，设O的半径为r，则在RtCOE中，CO2OE2CE2，即(r)2r23，解得r例5、如图，已知AB为O的直径，AC为O的切线，OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：1CAD；(2)若AEEC2，求O的半径【答案】：(1)AB为O的直径，ADB90，ADOBDO90，AC为O的切线，OAAC，OADCAD90，OAOD，OADODA，1BDO
7、，1CAD(2)1CAD，CC，CADCDE，CDCACECD，CD2CACE，AEEC2，ACAEEC4，CD2，设O的半径为x，则OAODx，在RtAOC中，OA2AC2OC2，x242(2x)2，解得x，O的半径为例6、如图，已知O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且BDBC，延长AD到E，且有EBDCAB.(1)求证：BE是O的切线；(2)若BC，AC5，求圆的直径AD及切线BE的长【答案】：(1)连接OB，BDBC，CABBAD，EBDCAB，BADEBD，AD是O的直径，ABD90，OAOB，BADABO，EBDABO，OBEEBDOBDABOOBDABD90，点B在O上，BE是O
8、的切线(2)设圆的半径为R，连接CD，AD为O的直径，ACD90，BCBD，OBCD，OBAC，OAOD，OFAC，四边形ACBD是圆内接四边形，BDEACB，DBECAB，DBECAB，DE，OBEOFD90，DFBE，R0，R3，AB，BE例7、如图，CD是O的直径，AB是O的弦，ABCD，垂足为G，OGOC35，AB8.(1)求O的半径；(2)点E为圆上一点，ECD15，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积【答案】：(1)连接AO，CD为O的直径，ABCD，AB8，AG4，OGOC35，设O的半径为5k，则OG3k，(3k)242(5k)2，解得k1或k1(舍去)，5k5，
9、即O的半径是5(2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，ECD15，由对称性可知，DCM30，S阴影S弓形CBM，连接OM，则MOD60，MOC120，过点M作MNCD于点N，MNMOsin605，S阴影S扇形OMCSOMC5，即图中阴影部分的面积是例8、如图，在RtABC中，ABC90，ABCB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F.(1)求证：AEBF；(2)连接GB，EF，求证：GBEF；(3)若AE1，EB2，求DG的长【答案】：(1)连接BD，在RtABC中，ABC90，ABBC，AC45，AB为圆O的直径，ADB90，即BDAC，ADDCBDAC，CBDC45，AFBD，DFDG，FDG90，FDBBDG90，又EDABDG90，EDAFDB，可证AEDBFD(ASA)，AEBF(2)连接EF，BG，AEDBFD，DEDF，EDF90，EDF是等腰直角三角形，DEF45，GA45，GDEF，GBEF(3)AEBF，AE1，BF1，在RtEBF中，EBF90，根据勾股定理得EF2EB2BF2，EB2，BF1，EF，DEF为等腰直角三角形，EDF90，cosDEF，EF，DE，GA，GEBAED，GEBAED，即GEEDAEEB，GE2，GE，则GDGEED