《人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-四边形的旋转.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-四边形的旋转.docx(36页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.四边形的旋转1.正方形的顶点在直线上,点是对角线、的交点,过点作于点,过点作于点(1)如图1,当、两点均在直线上方时,求:;(2)当正方形绕点顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段、之间又有怎样的数量关系? 解析:(1)证明:如图1,过点作于则四边形是矩形,四边形是正方形,又,(2)图2结论:图3结论:对于图2证明:过点作交延长线于则四边形是矩形,四边形是正方形,又,若选图3,其证明方法同上2.如图1,若四边形和都是正方形,显然图中有,(1)当正方形绕旋转到如图2的位置时,是否成立?如果成立请说明理由,如果不成立,请说明理由.(2)当正方形绕旋转到如图3的位置时,延长交于,交于求证:;当,时
2、,求的长解析:(1)成立证明:四边形、四边形是正方形, (2)类似(1)可得, 又,即 连接,交于,连接,四边形是正方形, ,以为底边的的高为,(延长画高) 3.如图1,正方形与正方形的边、在一条直线上,正方形以点为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为,在旋转过程中,两个正方形只有点重合,其它顶点均不重合,连接、(1)当正方形旋转至图2所示的位置时,求证:;(2)当点在直线上时,连接,求的度数;(3)如图3,如果,求点到的距离解析:(1)正方形与正方形,(2)当点在线段上时,作于,当点在的延长线上时,作于,(3)连接、,点在线段上,作于,则 在中, 延长交于由,得 ,4.如图1所示,将一个边长为2的
3、正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起,构成一个大的长方形现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为(1)当点恰好落在边上时,求旋转角的值;(2)如图2,为中点,且,求证:;(3)小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中,与能否全等?若能,直接写出旋转角的值;若不能,说明理由解析:(1), (2)为中点,又,(3)能或.解:四边形为正方形,与为等腰相等的两等腰三角形.当与为钝角三角形时,则旋转角.当与为锐角三角形时,则旋转角,即旋转角的值为或时,与全等.5.如图1,为等腰直角三角形,,是边上的一个动点(点与、不重合),以为一边在等腰直角三角形外作正方形连接、. (1)猜想图1中线段、的数量关系及所在
4、直线的位置关系,直接写出结论;将图1中的正方形绕着点按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、图3的情形. 图2中交于点,交于点,请你判断中得到的结论是否仍然成立. (2)将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形,,正方形改为矩形,如图4,且,交于点,交于点,连接、,求的值.解析:(1)证明: 为等腰直角三角形,四边形为正方形.,延长交于点, 仍然成立. 证明:是等腰直角三角形,四边形是正方形即 又,(2)证明:连接四边形是矩形 又 即, 又,在Rt中,在中,=6.如图,在菱形和菱形中,点、在同一条直线上,是线段的中点,连结、(1)求证:,; (2)将图中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对
5、角线恰好与菱形的边在同一条直线上,其他条件不变(如图),(1)中的结论是否还成立;如果成立,请说明理由,如果不成立请说明理由。(3)若图中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,其他条件不变(如图),判断与的位置关系和数量关系解析:(1)证明:如图,延长交于点,又,菱形,菱形,即 ,(2)证明:如图,延长交于点,连结、,又,又,在和中, ,又是等边三角形,(3), 如图,延长至,使,连结交于点,连结、则,又,又, ,7.如图,四边形和四边形均为正方形,连接与相交于点(1)试猜想的度数,并说明理由;(2)将正方形绕点逆时针旋转,设的面积为,的面积为,判断与的大小关系;并给予证明;(3)若,设的面积为,将
6、正方形绕点逆时针旋转一周,求的取值范围解析:(1)猜想:,理由如下:,又, 又, (2)当正方形绕点逆时针旋转时,和总保持相等证明如下:由于,因此分三种情况:当时(如图1)过点作直线于点,过点作直线于点,又,又, 当时(如图2), 当时(如图3)和一样,同理可证综上所述,在(2)的条件下,总有 (3)正方形在绕点旋转的过程中,它的对称中心的轨迹是以点为圆心,为半径的圆(如图4)因为的边,故当点到的距离取得最大、最小值时,取得最大、最小值当在直线上时,取得最大值 当在直线上时, 取得最小值 故的取值范围是: 8.如图,已知是等腰直角三角形,点是的中点作正方形,使点,分别在和上,连接,(1)试猜想
7、线段和的数量关系,请直接写出你得到的结论(2)将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于,小于或等于),如图,通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立?(3)若,在(2)的旋转过程中,当为最大值时,求的值解析:(1) 证明:,.(2)成立如图,连接是等腰直角三角形,点是的中点,且,(3)由(2)知,故当最大时,也最大因为正方形在绕点旋转的过程中,点的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,故当正方形旋转到点位于的延长线上(即正方形绕点逆时针方向旋转)时,最大,如图.若,则,在中,即在正方形旋转过程中,当为最大值时,9.如图1,四边形是正方形,是边上的一个动点(点与、不重合),以为一边在
8、正方形外作正方形,连接,我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系(1)猜想图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系;(2)将图1中的正方形绕着点按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断解析:(1),;四边形和四边形是正方形,在和中, ,;延长交于点,又,即;(2),仍然成立,在图(2)中证明如下四边形、四边形都是正方形,又,10.已知菱形是由绕点顺时针旋转得到的,这两个菱形的边长都是(1) 如图1,连接,求证:四边形为矩形;(2)如图2,连接,分别是边,上的两个动点,且满
9、足判断的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,当时,设的面积为,求的最小值解析:(1)证明:如图1,菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的,四边形是平行四边,平行四边形是矩形;(2)是等边三角形理由:证明:如图2菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的,为等边三角形,在和中,是等边三角形;(3)解:如图2,作于是等边三角形,当最小时,最小时,最小,在中,由勾股定理,得答:的最小值为11.如图1,四边形、为两个全等的矩形,且矩形的对角线交于点,点在上,将矩形绕点顺时针旋转角,如图2,、与分别相交于、(1)则:与的大小关系;(2)若,求旋转角的大小解析:(1)证明:四边形是矩形,将绕点顺时针旋转得到,连接,则,在和中,由三角形的三边关系得,;(2)解:,是直角三角形,在中,在中,旋转角为12.如图,已知正方形(1)请用直尺和圆规,作出正方形绕点逆时针旋转后得到的正方形(其中,分别是点,的像)(要求保留作图痕迹,不必写出作法); (2)设与相交于点,求证:;(3)若正方形的边长为,求两个正方形的重叠部分(四边形)的面积解析:(1)如图所示:(2)连接正方形由正方形旋转得到, (3)连接正方形,由题意知,即在上,是等腰直角三角形设,则,解得:故