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1、21世纪教育网 全国领先的中小学教育资源及组卷应用平台 第3讲 二次根式的综合应用二、经典例题考点一、二次根式的双重非负性的应用例1. 已知实数x、y、z满足+=+，求长度分别为x、y、z的三条线段组成三角形的面积【解答】解：根据题意得：，则x+z=18，0=+，则yx7=0，2x+y+z35=0，解方程组，解得：，则z2=x2+y2，即长度是x、y、z的三条线段组成的三角形是直角三角形，故三角形的面积是：512=30例2. 已知：线段a、b、c且满足|a|+（b4）2+=0求：（1）a、b、c的值；（2）以线段a、b、c能否围成直角三角形【解答】解：（1）|a|+（b4）2+=0，a=0，b
2、4=0，c=0，即a=3，b=4，c=5；（2）a2+b2=（3）2+（4）2=50，c2=（5）2=50，a2+b2=c2，线段a、b、c能围成直角三角形考点二、二次根式在几何图形中有应用例3. 已知：如图，RtABC中，C=90，AC=，BC=，求（1）RtABC的面积；（2）斜边AB的长【解答】解：（1）RtABC的面积=ACBC=（+）（）=；（2）斜边AB的长=答：斜边AB的长为例4. 一个三角形的三边长分别为、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值【解答】解：（1）周长=+=，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时
3、，周长=等）例5. 请在方格内画ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2，4，求ABC的面积；求出最长边上高【解答】解：如图AC=2，BD=2SABC=ACBD=2，最长边AB=2，设最长边上的高为h，则SABC=ABh=2，h=，即最长边上高为例6. 如图所示，梯形ABCD中，ABCD，ADC=60，BCD=30，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S1，S2，S3，若DC=2AB，S2=27，求，【解答】解：如图所示，作辅助线AACD于A，BBCD于B，S2=27，DC=2AB，AB=3，而AD+BC=3=ABAD=，BC=，BB=BC=即+=3又AA=BB，即=解得
4、=，=例7. 阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则这个三角形的面积为（2）应用：如图1，在ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求ABC面积（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离【版权所有：21教育】【解答】解：（1）如图：在ABC中，过A作高AD交BC于D，设BD=x，那么DC=ax，由于AD是ABD、ACD的公共边h2=c2x2=b2（ax）2，解出x得x=，于是h=，ABC的面积S=ah=a即S=，令p=（a+b+c），对被开方数分解因式，并整理得到；（2）由题意，得：a=4，b=5，c=6；p=；S=故
5、ABC的面积是；（3）如图，过点I作IFAB、IGAC、IHBC，垂足分别为点F、G、H，AD、BE分别为ABC的角平分线，IF=IH=IG，SABC=SABI+SACI+SBCI，即=6IF+5IG+4IH，3IF+IF+2IF=，解得IF=，故I到AB的距离为考点三、二次根式与方程及方程组例8. 小明在解方程=2时采用了下面的方法：由（）（+）=（）2（）2=（24x）（8x）=16，又有=2，可得+=8，将这两式相加可得，将=5两边平方可解得x=1，经检验x=1是原方程的解请你学习小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是；（2）解方程+=4x【解答】解：（1）（）（）=（x2+42）（
6、x2+10）=32，=3216=2，=92=81，x=，经检验x=都是原方程的解，方程的解是：x=；（2）（+）（）=（4x2+6x5）（4x22x5）=8x+=4x，=8x4x=2，4x2+6x5=4x2+4x+1，2x=6，解得x=3，经检验x=3是原方程的解，方程+=4x的解是：x=3故答案为：x=例9. 解方程组【解答】解：+，得，解得，x=，将x=代入，得y=1，原方程组的解是考点四、二次根式的实际应用例10. 某号台风的中心位于O地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风
7、的影响？若受影响，将有多少小时？【来源：21世纪教育网】【解答】解：如图，OA=320，AON=45，过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，在RtOAH中，AH=OAsin45=160240，故A市会受影响，在RtAHM中，MH=80MN=160，受影响的时间为：16025=6.4小时答：A市受影响，受影响时间为6.4小时例11. 如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架当停止杆仰起并与地面成60角时，停止杆的端点C恰好与地面接触此时CA为0.7m在此状态下
8、，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明（参考数据：1.7）【出处：21教育名师】【解答】解：如图，在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GFAB交CD于点G，AB=3.2m，CA=0.7m，BF=2.5m，CF=ABBF+CA=1.4m，ECA=60，tan60=，GF=CAtan60=1.42.38m，2.383这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过考点五、二次根式中的规律性问题例12. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题OA22=（）2+1=2，s1=；OA32=12+（）2=3，S2=；OA42
9、=12+（）2=4，S3=；（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2=n，Sn=（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？（3）求出S12+S22+S32+S92的值【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1=，OA2=，OA3=OAn=，所以OAn2=nSn=1=故：答案为n 与（2）当Sn=2时，有：2=，解之得：n=32即：说明它是第32个三角形（3）S12+S22+S32+S92=+=11.25即：S12+S22+S32+S92的值为11.25考点六、二次根式中几何动点问题例13. 如图所示的RtABC中，B=90，点
10、P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【解答】解：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，则有PB=x，BQ=2x，依题意，得：x2x=35，x1=，x2=（负数舍去），所以 秒后PBQ的面积为35平方厘米答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为厘米三、堂课变式A组 夯实基础1. 计算：（）（2）如图，RtABC中，C=90，AC=+，BC=，求RtABC的面积和斜边AB的长2. 已知ABC中，AB=1，BC=4，CA= （1）分别化简
11、4，的值；（2）并在44的方格纸上画出ABC，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；（3）求ABC最长边上的高3. 现有一组有规律的数：1，1，1，1，其中1，1，这六个数按此规律重复出现（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？4. 已知在RtOAB中，B=90，BA=2把OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上求点B的坐标5. 已知：如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，BCD为等边三角形，且AD=，
12、求梯形ABCD的周长21教育网B组 能力提高6. 如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DEAB，DEAC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=2，ABC的面积为，求AB的长www-2-1-cnjy-com7. 如果一个三角形的三边的长分别为a、b、c，那么可以根据秦九韶海伦公式S=（其中p=（a+b+c）或其它方法求出这个三角形的面积试求出三边长分别为的三角形的面积2-1-c-n-j-y8. 著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为（）n（）n（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为（）8（）8根据以上材料，
13、写出并计算：（1）这个数列的第1个数；（2）这个数列的第2个数9. 如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点得到ABC，解答下列问题：（1）ABC的周长是多少？（2）BC边上高是多少？（结果用最简二次根式表示）10. 已知a、b、c满足|a|+（c）2=0（1）求a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由11. 如图，在33的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：21教育名师原创作品（1）请在网格图1中画出一个三边长分别为3，的三角形，并求出它的面积（2）
14、请在网格图2中画出一个三边长均为无理数，且面积为的钝角三角形12. 如图，若图中小正方形的边长为1，则ABC的面积为（2）反思（1）的解题过程，解决下面问题：若2，（其中a，b均为正数） 是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积C组 培优精英13. 已知：a、b、c为正实数，且a+b+c=1（1）比较大小：a2 a；（2）试判断与4的大小关系，并说明理由14. 已知p、q是ABC中A和B两角所对的两条边，且AB，又p=，q=，n为大于2的正整数，试判断p是A、B中哪个角的对边15. 设ABC的三边分别为a，b，c，p=（a+b+c），则SABC=（海伦公式）或SABC=（秦九韶公式）21世纪教
15、育网版权所有（1）请根据所学的知识对上述面积公式进行证明（2）若ABC的三边长为5，6，7，DEF的三边长为，请利用上面的两个公式分别求出ABC和DEF的面积21cnjy四、课后巩固A组 夯实基础1. 已知m=，n=，p=（1）当x=1时，求（p+m）（pm）+n的值；（2）若m，n，p为RtABC的三边长，求x的值2. 如图，是张老师买的经济适用房平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m），房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，21世纪*教育网（1）求出该经济适用房的面积（用含 x，y的代数式表示）（2）当x=，y=2，求该经济适用房的所需地砖面积3. 已知：如图，RtA
16、BC中，C=90，AC=，BC=，求（1）RtABC的面积（2）斜边AB的长（3）求AB边上的高4. 已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a|+（b）2=0（1）求a，b的值；（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值5. 要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？B组 能力提高6. 在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了cm（提示：圆柱的体积=r2h，其中，
17、r为底面的半径，h为高，取3）（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径7. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：S=，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p=21cnjycom我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题（1）在ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求ABC的面积；（2）计算（1）中ABC的BC边上的高8. 设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h（1）如果a=6+，b=6+4，求h；（2）如果
18、b=2（2+1），h=21，求a9. 2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m（1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45）【来源：21cnj*y.co*m】10. 如图，正方形的边长为2（+1），剪去4个角后成为一个正八边形（图中阴影部分），求这个正八边形的边长和面积21*cnjy*com11. 已知三角形三边为a、b、c，其
19、中a、b两边满足a212a+36+=0，求这个三角形的最大边c的取值范围（2）已知三角形三边为a、b、c，且+=+，求这个三角形的周长C组 培优精英12. 斐波那契（约11701250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为（）n（）n（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间an1，an，an+1存在以下关系：an+1an=an1（n2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数13. 观察，计算，判断：（只填写符号：，=）（1）当a=2，b=2时，与的大小关系是=（2）当a=3，b=3时，与的大小关系是=（3）当a=4，b=4时，与的大小关系是=（4）当a=4，b=1时，与的大小关系是（5）当a=5，b=3时，与的大小关系是（6）当a=7，b=6时，与的大小关系是写出关于与之间数量关系的猜想： 探究证明：（提示：0）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值14. 设a、b、c、d为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；www.21-cn-（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U=的最小值版权所有21世纪教育网()