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1、 宁波市 2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A.，则（ ）B.C.D.【答案】C【】由交集的定义可得：进行补集运算可得：本题选择 C选项.，.2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）A.B.C.D.【答案】C【】注意考查所给函数的性质：A.B.C.D.在定义域内单调递减；在定义域内没有单调性；在定义域内单调递增；在定义域内没有单调性；本题选择 C选项.3. 若幂函数的图像过点C. D. 3，则 的值为（ ）A. 1B.【答案】D【】由题
2、意可得：，则幂函数的式为：.本题选择 D选项.4. 若角 的终边经过点A. B.，则（ ） C.D.【答案】A【】由点 P的坐标计算可得：，则：，.本题选择 A选项.点睛：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)5. 在中，点 为边 的中点，则向量（ ）A.B.C.D.【答案】A【】由题意结合平面向量的运算法则可得：.本题选择 A选项.6. 下列函数中，最小正周期为 ，且图像关于直线对称的是（ ）A.B.D.C.【答案
3、】B【】函数的最小正周期为 ，则，据此可得选项 AC错误；考查选项 BD：当当时，时，满足题意；，不满足题意；本题选择 B选项.7. 函数 的图像大致是（ ） A.C.B.D.【答案】D【】令，则，函数为偶函数，排除 AB选项；，则 ，当时，而排除选项 C.本题选择 D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项8. 已知函数 为奇函数，为偶函数，且，则（ ）A.B.C.D.【答
4、案】A【】由题意可得：，.本题选择 A选项.9. 对于非零向量 ，定义运算“ ”：，其中为 的夹角.设为非零向量，则下列说法错误的是（ ） A.B.C. 若【答案】B，则D.【】利用排除法.由题中新定义的运算结合向量的运算法则有：，A选项正确；若，则，结合可得：或，均有，C项正确；，D选项正确；本题选择 B选项.10. 已知，且，则（ ）A.B. 0C.D.【答案】C【】，构造函数则：，很明显函数 在区间上单调递增，据此可得：.本题选择 C选项.第卷（非选择题 共 110分）二、填空题：本大题共 7小题，多空题每小题 6分，单空题每小题 4分，共 36分.11. 已知，则(1)._（用表示），
5、(2). 3_【答案】 【】由题意可得：12. 已知 ，.，且，则 _， _【答案】 (1).(2). 2【】由题意可得：,则.13. 已知函数一部分图像如图所示，则 _，函数的图像可以由的图像向左平移至少_ 个单位得到【答案】 (1). 2 (2).【】由函数图象可得，函数的最小正周期为结合最小正周期公式有：，；令令有：，可得：，函数的式为：的图象如图所示，观察可得函数 的图像可以由图像向左平移至少 个单位得到.绘制函数的 14.有三个不同的实数根，则【答案】 (1). 2 (2). 3是定义在 上的偶函数，当时，且关于 的方程在 上_， _【】由偶函数的性质可得：关于 的方程，在 上有三个
6、不同的实数根，方程的根为奇数个，结合 为偶函数可知，则：为方程的一个实数根，而.15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是_【答案】1【】设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.16. 已知向量 的夹角为 ，【答案】2，则_【】由题意可得：则：，则：，.17. 函数若存在，使得，则的最大值为_【答案】 【】绘制函数 的图象如图所示，观察可得：，且：，原问题等价于考查二次函数：在区间上的最大值，函数的对称轴，则函数的最大值为：.综上可得：的最大
7、值为 .点睛：本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知集合，.（）若（）若，求，且；，求的取值范围.；()【答案】().【】试题分析：()当时，.则. ()由题意可知，其中，而时，.求解不等式结合题意可得.试题：（）由题可得时，.（）时，.，.点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素
8、，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论19. 已知函数.（）求函数 的最小正周期；（）若，求函数 的最大值以及取得最大值时 的值.【答案】() ；()【】试题分析：.此时.()由题意整理三角函数的式可得，结合最小正周期公式可得函数 的最小正周期()由.，可得，由正弦函数的性质结合()中函数的式可得当即时函数取得最大值 2.试题：（）.函数 的最小正周期.（），. 此时，.20. 如图所示，四边形是边长为 2 的菱形，.（）求的值；（）若点 在线段 及
9、上运动，求【答案】()6；()18.【】试题分析：的最大值.()以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算法则可得.()由题意结合()中建立的平面直角坐标系可知，由线性规划的结论可知试题：，则的最大值为 18.（）以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，.（）设，.所以当点 在点 处时，的值最大，最大值为 18.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用21. 已知，.（）求的值；（）是否存在，使得下列两个式子：；同时成立？若存在
10、，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2)存在，满足两式成立的条件.【】试题分析： ()由题意结合同角三角函数基本关系可得式可得，然后利用两角和的余弦公()结合()的结论可知，则，满足题意时，则，是方程的两个根，结合二次方程的特点计算可得存在试题：，满足两式成立的条件.（），.（），.，.，是方程，.即存在的两个根.，.，满足两式成立的条件.22. 已知函数，.（）若 为奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；，使得 成立，求正实数的取值（）对任意范围.，总存在唯一的【答案】()【】试题分析：.在 上单调递增.().()函数为奇函数，则恒成立.据此可得.此时， 在 上
11、单调递增.()由题意可知，而.据此分类讨论：当时有时有时不成立.；当当；则正实数的取值范围是试题：.（）为奇函数，恒成立.此时，在 上单调递增.（），在，.当当时，时，上单调递增，上单调递减，在，在上单调递增.，上单调递增，在，不成立.当时，在上单调递减，在上单调递增.，综上可知，.()由题意结合同角三角函数基本关系可得式可得，然后利用两角和的余弦公()结合()的结论可知，则，满足题意时，则，是方程的两个根，结合二次方程的特点计算可得存在试题：，满足两式成立的条件.（），.（），.，.，是方程，.即存在的两个根.，.，满足两式成立的条件.22. 已知函数，.（）若 为奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；，使得 成立，求正实数的取值（）对任意范围.，总存在唯一的【答案】()【】试题分析：.在 上单调递增.().()函数为奇函数，则恒成立.据此可得.此时， 在 上单调递增.()由题意可知，而.据此分类讨论：当时有时有时不成立.；当当；则正实数的取值范围是试题：.（）为奇函数，恒成立.此时，在 上单调递增.（），在，.当当时，时，上单调递增，上单调递减，在，在上单调递增.，上单调递增，在，不成立.当时，在上单调递减，在上单调递增.，综上可知，.