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1、4.因动点产生的将军饮马问题1.如图，一次函数的图象与二次函数的图象都经过点和点，且图象过点（1）求二次函数的最大值；（2）设使成立的取值的所有整数和为，若是关于的方程的根，求的值；（3）若点在图象上，长度为的线段在线段上移动，与都始终平行于轴当四边形的面积最大时，在轴上求一点，使最小，求出点的坐标解析：（1）把代入解得二次函数的解析式为二次函数的最大值为（2）由与联立，求得使成立的取值范围是所有整数和，代入方程得，解得（3）作于设其中则，在中，即，由题意，四边形为梯形，要使面积最大，则最大而当时，四边形的面积最大作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求，易求直线的解析式为令，解得2.已知
2、：直线，抛物线的对称轴是轴，且经过点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点是抛物线上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为求证：（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：如图，过原点作任意直线，交抛物线于点分别过两点作直线的垂线，垂足分别为，连接求证：；如图，点，试探究在抛物线上是否存在点，使得取得最小值若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线的对称轴是轴，把代入，得：解得抛物线的解析式为（2）设，则（3）由（2）知，作，则当三点在同一条直线上时，取得最小值把代入，得满足条件的点的坐标为3.已知平面直角坐标系中两定点，抛物线过点，顶点为，点为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式和顶
3、点的坐标；（2）当为钝角时，求的取值范围；（3）若，当为直角时，将该抛物线向左或向右平移个单位，点平移后对应的点分别记为是否存在，使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线过点解得抛物线的解析式为顶点的坐标为（2）若点在轴上方，显然或为钝角，则必为锐角，不合题意若点在轴下方，当点与抛物线和轴交点时，由抛物线的对称性可知，点关于抛物线对称轴的对称点也满足以为直径作圆，则均在圆上，抛物线上点到及到之间的部分在圆内当点在这两个范围内运动时，满足为钝角或（3），为直角由（2）知点坐标为由平移的性质知与均为定值，要使所构成的多边
4、形的周长最短，只最短过点作且连接则四边形为平行四边形连接作点关于直线的对称点，连接则当落在线段上时，最短抛物线应该向左平移，设直线的解析式为解得，把代入解得，抛物线应该向左平移个单位4.如图，在平面直角坐标系中，过原点，与轴交于，与轴交于，点为劣弧的中点，连接并延长到，使，连接（1）求的半径；（2）证明：为的切线；（3）在直线上找一点，使最大，求出这个最大值及此时点坐标解析：（1）为的直径的半径为（2）过作轴于，交直线于点为劣弧的中点，垂直平分，由，得又为的切线（3）点在直线上，两点关于直线对称当三点在同一直线上时，最大，即等于线段的长由（2）知，即的最大值为设直线的解析式为，把点坐标代入，得
5、：，当时，此时点坐标为5.如图，在直角坐标系中，抛物线经过两点（1）填空：_，_；抛物线的对称轴是直线_；（2）若点的坐标是，点是抛物线对称轴上的一个动点，请探究解决以下问题：.当点运动到何处时，的周长最小？求此最小值和点的坐标；.当的周长最小时，抛物线上是否存在点，使得由点围成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；.若点是轴上的一个动点，是否存在点使得由点围成的四边形的周长最小？若存在，求此最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）-1,3,-1（2）过作轴交抛物线于连接交抛物线的对称轴于，连接则的周长最小，抛物线的对称轴是直线，的周长是中点，存在，作
6、点关于轴的对称点，连接交抛物线的对称轴于，交轴于，连接，则四边形的周长最小 ， , 四边形的周长6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，顶点为（1）求这个二次函数的解析式；（2）点为点关于轴的对称点，过点作直线交于点，过点作直线交直线于点问：在四边形的内部是否存在点，使得它到四边形四边的距离都相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若分别为直线和直线上的两个动点，连结，求和的最小值解析：（1）把代入得解得二次函数的解析式为（2）存在顶点的坐标为点为点关于轴的对称点，点的坐标为设直线的解析式为得解得直线的解析式为设直线的解析式为则，直线的解析
7、式为由解得点的坐标为，又四边形是平行四边形过作轴于则，又四边形是菱形菱形的中心到四边的距离相等当点与菱形的中心重合时，即是满足题意的点（3）四边形是菱形点关于直线对称的最小值是过作直线的对称点，连接交直线于点则是的角平分线，的最小值是即的长是的最小值在中，的最小值为7.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点和点两点均在抛物线上，点在轴上，过点作直线与轴平行（1）求抛物线的解析式和直线的解析式（2）设点是线段上的一个动点（点不与重合），过点作轴的垂线，与抛物线交于点设线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出当为何值时，的值最大，最大值是多少？（3）若点是抛物线上位于第三象限的一个动点，
8、连接并延长，交抛物线于另一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，试判断的形状，并说明理由；（4）若点在线段上，点为抛物线上的一个动点，连接，当点在何位置时，的值最小，请直接写出此时点的坐标与的最小值解析：（1）关于轴对称，它的顶点在坐标原点抛物线的解析式为点在抛物线上，抛物线的解析式为设直线的解析式为，把、代入，得：解得直线的解析式为（2）点是线段上的一个动点即当时，的值最大，最大值是（3）是直角三角形理由如下：点是抛物线上位于第三象限的一个动点，同理，即是直角三角形（4），的最小值为提示：过点作于由（3）知，当三点共线（即）时，（即）最小，等于线段的长当时，的最小值8.在平面直角坐标系中（
9、为坐标原点），抛物线过点（1）求的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）设该抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上在第一象限的点，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称若四边形的面积为，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，设是直线上任意一点，试判断是否存在最小值若存在，求出这个最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线过点解得抛物线的对称轴为，顶点为（2）点与点关于直线对称点的坐标为点与点关于轴对称点的坐标为，四边形是平行四边形由，解得点是抛物线上在第一象限的点，点的坐标为（3）存在最小值点与点关于直线对称连接交直线于点，则点为所求的最小值即等于线段的长，即的最小值为易得直
10、线的解析式为当时，点的坐标为9.如图1，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，连接，点的坐标为以线段为直径作交于点过点作直线，与抛物线和的另一个交点分别是（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点的坐标和线段的长；（3）如图2，连接并延长，交直线于点点为射线上的两个动点（点在点的右侧，且不与重合），线段与的长度相等，连接，四边形的周长是否有最小值？若有，请求出此时点的坐标并直接写出四边形周长的最小值；若没有，请说明理由解析：（1）点的坐标为，点的坐标为抛物线过点解得该抛物线的解析式为（2）令，解得点坐标为令，解得点的坐标为连接为直径，直线，四边形为矩形（3）四边形的周长有最小值，是的直径，为中点，点
11、的长为定值要使四边形的周长最小，只需的值最小作点关于直线的对称点，作且，连接则四边形是平行四边形，当三点共线时的值最小，即为线段的长易得设直线的函数表达式为则解得令，得，点的坐标为四边形周长的最小值为10.在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，直线交轴于点且过点（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上找一点使的值最小，求出点的坐标；（3）将抛物线左右平移，记平移后点的对应点为点的对应点为当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值解析：（1）由于抛物线经过则有：（2）易知作关于轴的对称点连接点即为直线与轴的交点；设直线的解析式为：则有：直线的解析式为则点坐标为：（3）当抛物线向右平移时，显然不存在符合条件的抛物线；当抛物线向左平移时，设平移后若平移后四边形的周长最小，那么就应该最小；将向左平移2个单位，得：若四边形的周长最小，那么就应该在同一直线上，设直线的解析式为：则有：直线的解析式为则此时抛物线的解析式为：此时四边形的周长为：