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1、 东莞市 20192020 学年度第一学期期末教学质量检查高二数学一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑1 在DABCA 2中，内角 , , 的对边分别为 , , ,且A B C a b cb = 2,B = 45,C =120，则边 =cB 3C2D 6x 0, y 0= -2 已知实数 x 满足 y，则目标函数 z x y 的最大值是x + y 2A2B1C-1D-2( ) ，向糖水（不饱和）糖的质量b克3. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 =ca b糖水的质量a克
2、中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为mb b + mb b + mb b + mb b + m 0, 0 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为abab1= xA yC y = 2xD y = 3xB y = 2x2a 5. 已知数列A3是等差数列，且 + = 50, =19 ，则 =a a a an31362B40 ab 2”是“a 0,b 0,且+ 2b = 2aa1 4912232ABCD2x y22C : - =116 910已知双曲线的左、右焦点分别为 F 、 F ， P 为双曲线 上一点，直C12线 分别与以 F 为圆心、 F P 为半径的圆
3、和以 F 为圆心、 F P 为半径的圆相切于点l1122A, B, 则| AB|=A 2 7B6C8D10二、多项选择题：本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑11. 四边形 ABCD内接于圆O， AB = CD = 5, AD = 3,BCD = 60，下列结论正确的有A四边形 ABCD为梯形B圆O的直径为 755 34C四边形 的面积为ABCDDDABD的三边长度可以构成一个等差数列12. 我 们 通 常 称 离 心 率 为5 -
4、1的 椭 圆 为 “ 黄 金 椭 圆 ” .如 图 2， 已 知 椭 圆2xy22C : + =1(a b 0)， A , A , B , B 为顶点， F , F 为焦点， 为椭圆上一点，Pya b22121212PB满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有1A| A F |,| F F |,| F A | 为等比数列211122OA x2BF B A = 90112B2 xPO/A B2C PF轴，且11图 2D四边形 A B A B 的内切圆过焦点 F , F112212三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡的相应位置上1= y2zD13. 抛
5、物线 x2上的一点 M 到焦点的距离为 2，C11则点 M 的纵坐标是.AB11- A B C D14. 如图 3，以长方体 ABCD的顶点 D为坐标原点，1111D过 D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，yC若 DB 的坐标为(2,3,4) ，则 AC 的坐标为_.Ax11B图 32 不等式 215. 已知命题“x1,3, x - ax + 4 0”为真命题，则 的取值范围为a.16. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样
6、一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55在数学上，斐波那契数列以=1 a =1 a = a + a (n 3,n N )，记其前n 项如下递推的方法定义： a，*12（ 为常数），则nn-1n-2= t tS + S - S - S=和为 S ，设 an示）， S（用 t 表2019- a2017(用常数表示)201620152014=20172019四、解答题: 本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指
7、定区域的答案无效17. （本小题满分 10 分）( )- x - 6 0, q : x - 2m+1 x + m + m 0已知 p : x2（1）若m.22= 2, p q且为真，求实数 的取值范围；x（2）若q 是 p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分 12 分） = 4 a a = 128已知等比数列 a 满足 a，数 列 a b 是首项为1公差为1的等差数n nn234列. （1）求数列 a 和 b 的通项公式；nn （2）求数列的前n 项和 S .bnn19. （本小题满分 12 分）DABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且bsin B
8、 = asin A- (b + c)sin C在.（1）求角 的大小.A= 2 3=DABC,求 的周长.（2）若 BC 边上的中线 AD，且 S2 3DABC20. （本小题满分 12 分）如图 4，已知斜三棱柱 ABC- A B CBCA = 90, AC = BC = 2 AABC中， 在底面1111A D= 31AC上的射影恰为的中点 D ，且.A1C1 AC（1）求证： A B；11B（2）求直线 A B 与平面 A B C 所成角的正弦值；11111（3）在线段C C 上是否存在点M ，使得二面1- A B - C 的平面角为90角 M？若存在，确定111A点的位置；若不存在，请说
9、明理由.DMC图 4B21. （本小题满分 12分）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年 8月 16日上午，423米3 的东莞第一高楼民盈国贸中心 2 号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出 134 米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为a ，正对国
10、贸中心前进了 s 米后，到达 B 点，在 B 点测得国贸中心顶部的仰角为b ，然后计算出国贸中心的高度（如图 5-1）.第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢 11 层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3 米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为 a 米；正对国贸中心，将镜子前移 a 米，重复中的操作，测量出人与镜子的距1离为 a 米.然后计算出国贸中心的高度（如图 5-2）.2= 90= 42，b = 48，最终算得国贸中心高实际操作中，第一小组测得s米，a=1.45=米，a 12 米，
11、a =1.42度为 H ；第二小组测得a1米，最终算得国贸中心高度1为 H ；假设他们测量者的“眼高 ”都为1.6米.h2 0.9（ 1 ） 请 你 用 所 学 知 识 帮 两 个 小 组 完 成 计 算 （ 参 考 数 据 ： tan 42，1tan 48 =,答案保留整数结果）；tan 42（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.PDMNEFQKTC图 5-1图 5-222. （本小题满分 12 分）+ y - 2x -15 = 0N(-1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 M设圆 x2的圆心为 M ，直 线 l 过点2于 A, B 两点，过点 N 作 AM 的平行线交 BM 于点C
12、 .+ CN（1）证明 CM为定值,并写出点C 的轨迹方程；= kx（2）设点C 的轨迹为曲线 E ，直线l : y与曲线 E 交于 P,Q 两点，点 R 为椭圆C1DPQRPQ 为底边的等腰三角形，求DPQR面积的最小值.上一点， 若是以20192020 学年度第一学期期末教学质量检查4 高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号答案1D2A3B4A5C6D7C8C9B10B二、多项选择题（全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）题号答案1112BDACD三、填空题（16 题第一空 2 分，第二空 3 分）1514.(-2,3, 4)15.(-,4-16. t ；
13、 113.8四、解答题-3)(x + 2) 0 x -2 x 3得 或17. 解：（1） ：(xp-1分= 2, q : x -5x + 6 02 x 3-2当 m2为真得分p q为真，即 p,q都为真-3分 - 或 x 2 x 3即 -4分2 x 3所以 x 的取值范围为3-5分( )( )( )q : x -m x -m - 1 0-6- 2m+1 x + m + m 0（2）q : x2，即2分所以 q : m x m +1q :m,m +1-7， 即分因为q 是 p 的充分不必要条件，所以m,m+1 - -+( , 2 3, ) -8分所以 m+1 -2 m 3-9分或综上：q 是 的
14、充分不必要条件时，m 的取值范围为(p-,-3 3,+)-10分 18. 解（1）因为数列 a 是等比数列，故设首项为a ，公比qn1= 4 a a = 128=因为 a，所以 a q a q 128，-2223422分= 8q = 2，所以a = 2所以 q3，解得-31分 = 2所以数列 a 的通项公式为a-4nnn分 因为 a b 是首项为1公差为1的等差数列n n=1+ (n -1) = n所以 a bn n-5分-6分n= 2=，所以b因为 an2nnn5 1111+ n ( )2（2）由（1）知 S=1 + 2 ( ) +3 ( ) +-723n222n分1同乘 得：121111S
15、 =1 ( ) + 2 ( ) +3 ( ) + n ( )-8-9234n+12分2222n1作差得： S1 1111= + ( ) + ( ) + ( ) - n ( )23nn+122 2222n分分1即 S211n1=1-( ) - n ( ) =1-( +1)( )-11nn+1n+12222nn + 2所以 S= 2-12分2nn= asin A - (b + c)sin C19.解：（1）由已知bsin B= a - bc - c2由正弦定理得：b2分-22b + c - a1222由余弦定理得：cos A = -42bc2分2pDABCA ( p 0在中，因为,所以A=3-6
16、分13= bc sin A =bc = 2 3bc = 8， 得 （ 2 ） 方 法 一 ： 由 SDABC24-7 分由（1）知b2=a -b - c，即c b +c = 8 a -222-8 分a中，由余弦定理得：c ( ) (2 3) 2 2 3aDABDDADC=+- cosADB在在22222a中，由余弦定理得：b ( ) (2 3) 2 2 3a=+- cos ADC22222Aa2因为cosADB = -cosADC，所以b c2+ = + 24 -10 分22= 8,b + c = 56,bc = 8由，得a22BDC所以b+(c =)b +2c222-11 分DA+ + =
17、+a b c 8 6 2所以的周长.-12 分1= bcsin A = 2 3,得bc 8=方法二：S-7-8DABC2分+c =a - 8由（1）知b2分226 1= b + c - bc = (b + c) - 3bcAD2= (AB + AC)得4822224-9 分+ c = 6 2=a 8由得b，-11 分DABC+ + = +a b c 8 6 2所以的周长A-12 分1方法三：S= bcs A =in得2 bc = 8 3,DABC2BDC-7 分b +c8 =2a- 由（1）知2E-8 分= 2AD延长 AD 到 E ,使 AEDABE AE = 2AD = 4 3中 ABE
18、60 , ,=在+ c - 2bc cos 60 = (4 3)+ - =，即b c bc 48 -9 分余弦定理得b22222+ c = 6 2=，a 8由 得b分-11DABC+ + = +的周长 a b c 8 6 2所以分-1220.证明：（1）方法一：作DE AC交 AB 于点 E ，分别以 DE, DC, DA 所在直线为 x, y, z1轴建系A(0,-1,0),C(0,1,0), B(2,1,0), A (0,0, 3),C (0,2, 3)-2 分-3 分-4 分11AB = (2,1,- 3), AC = (0,3, 3)所以，11AB AC = 0+3-3= 0，所以 A
19、 B AC1111方法二：在 RtDADA中，AD =1, A D = 3 得 AA = 2,A AD = 601所以四边形 ACC A 为菱形，得 AC111 AC-1 分,所以1111 AC BC A D AC A D = D, AC, A D 面ACC A又 BC,11111BC 面ACC A -2 分11 面ACC AAC BC因为 AC1又因为 AC BC，所以-3 分-4 分111= C, AC , BC 面A BC111 面A BCA B 面A BCA B AC所以 AC,因为,所以111111面A B C /面ABCA B C1= (0,0,1)-5 分（2）方法一：因为，所以
20、面的一个法向量为m11111B = (2,1 - 3),A Bm = - 3 | A B |= 4+1+3 = 2 2，因为 A，所以111- 36cos = -6 分112 246=| cos |=设线 A B 与平面 A B C 所成角为a ，sina-7 分111114方法二：因为面A B C /面ABC，所以线与平面所成的角等于与面 ABC 所zA B1A B C1-5 分A B111111成的角，所以A BD即为所要求.1AC1在 RtDA BD中，= 3 A B = 2 2,，1A D111B17MACDyExB 36sin A BD =-6 分142 26线 A B 与平面 A
21、B C 所成角的正弦值为1-7 分-8 分4111ll l，（CM = CC = (0, , 3 ) 0 l 1（3）方法一：不存在，设）1ll= (2,2,0)= AC +, AM=+ , 3 - 3)CM (0, 1A B =AB111设面 MA B 的一个法向量为n1= (x, y, z)11x = -y2x + 2y = 0= 0 A B nl(+1)y有 11llz = -+1)y + ( 3 - 3)z = 0A M n = 0(l3 - 31zl+1n = (1,-1,)-10 分-11 分C1l3 - 3l+1Bmn = 0 ，得l = -11l3 - 3M所以不存在点 满足要
22、求. （只猜想不存在也给分） -12 分M方法二：面A B D 面A B C-8 分ACDy11111CC 与面 A B D 的交点 N 为CC 与 A D 的交点 -10 分Ex1NC 11111B=NC 2且-11 分1所以在线段CC 上不存在点 满足要求. -12 分MN1CDCD21. 解：（1）第一小组：在 RtDBCDBC =中得，Rt ADCD 中得，AC =；在-1tan btana分CDtanaCD因得为A-= C即-= sbtan-2 分abs tan tan90CD= 426.3米batan - tan1- 0.90.9-3 分H = 426.3 +1.6 428 米（
23、429 430， 也给分） -41分PQ KE a PQDMKE DPQEEQ =FQ =1第同因二小组：,得MKh-5 分P TFQa T PF QDNDT=2理得，h-6 分(a - a ) PQ为E-= Q得= a12h-7 分8 ah121.6所所以PQ= 384米a - a1.45-1.412-8 分H =3P + 1 1以米 Q2-9分（2）说明其中一个方案的 1 个优点给 1 分 ，2 个优点给 2 分 ，3 个优点给 3 分；说明另一个方案的 1 个不足给 1 分，2 个不足给 2 分，3 个不足给 3 分.（以下作为参考，言之有理，酌情给分，给到 3 分为止）第一组方案优点：
24、测量方法较好理解，普适性强；计算思路简洁；不足： AB 的距离较长，测量要求高，难度大；角度测量较难精准，容易造成误差；场地要求较高；第二组方案优点：测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；相对距离短，比较好测量；只需测量距离，需要的工具少；不足：两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；镜面放置较难保持水平，容易造成误差；如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差.+ y - 2x -15 = 0(x -1) + y =1622.解：（1） 圆 x2可化为222所以圆心M (1，半径MB= 4-1 分又因为过点 N
25、作 AM 的平行线交 BM 于点C 所以 AM / /NCB N C= B A M= N B又 因 为 | M A=| | M B | C N =| | C B |所 以所 以-3 分C +|M=|C+N所以-4 分x2 y2+4 3=1（ y 0 ）所以点 C 的轨迹为椭圆,由椭 圆定义可得点 C 的轨迹方程为-6 分x2 y2+4 3=1（ y 0 ），（2）由（1）可知点C 的轨迹方程为：= kxCk 0，设 P(x , y )直线l : y1与曲线 交于 P,Q 两点, 可知1112y = kxx =23+ 4k122+ 4k )x =12联 立 消 y 得 (3解 得x2y222+
26、=14 312k2y =23+ 4k1-7 分1212k12(1+ k )22OP = x + y =+=223+ 4k 3+ 4k3+ 4k11222-8 分1DPQRPQRO PQ k k = -1 k = -则是以为底的等腰三角形ROkR OP Q9 11+ -2(121+ k2同理：k2| OR |=1+3k423 + 4(- )2k-9 分1112(1+ k ) 12(1+ k )12(1+ k )222S= | PQ | | OR | = 2=23+ 4k3k + 4+ +(3 4k )(4 3k )DRPQ22222-10 分12(1+ k )12(1+ k ) 12(1+ k ) 24222方法1：S=(1+ k )7DRPQ(3 4k )(4 3k )+ + +3 4k2 4 3k2722222-11 分+ 4k = 4 + 3k，即k = 1时取等号当且仅当32224(S) =DRPQ min7-12 分12(1+ k )k + 2k +124242=12=12方法 2：S12k+ 25k +1212(k + 2k +1)+ kDRPQ(3 4k )(4 3k )+42422221121224=12=1 712 +12 +k2k4 +2k2 +11112 +k2 +2+4k2-