2021_2021学年新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.3.2组合数的应用课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第二册.doc

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1、课时素养检测五组合数的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为()A.180B.90C.360D.900【解析】选B.先从6个班中选出2个班,有种方法,其中的一种方法选出的是甲、乙两个班,再从4个人中选2个人去甲班,余下2个人去乙班,有种方法,所以共有=156=90种方法.2.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生

2、、外科医生和护士,则不同的分配方案有()A.72种B.36种C.24种D.18种【解析】选B.2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科医生,2名护士和2名外科医生,1名护士,若甲村有1名外科医生,2名护士,则有=33=9种方法,其余的分到乙村,若甲村有2名外科医生,1名护士,则有=33=9种方法,其余的分到乙村,则总共的分配方案为2(9+9)=218=36(种).3.把同一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是()A.168B

3、.96C.72D.144【解析】选D.根据题意,有2个人各得1张,有2个人各得2张,先把这6张电影票分成4份,有种方法,即1,2,(34),(56);1,(23)(45),6;(12),3,4,(56);1,(23),4,(56);(12),3,(45),6;(12)(34),5,6,再把这4份全排列,有种方法,所以不同的分法种数是=144.4.12名同学合影,站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()A.B.C.D.【解析】选C.从后排8人中选2人的方法有种.设此两人为A、B.安排A到前排有种方法,再安排B到前排有种方法

4、,所以共有=种方法.5.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的三棱台的6个顶点A,B,C,A1,B1,C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有()A.216种B.288种C.532种D.648种【解析】选A.先安装上底面上的3个顶点,有种方法,余下一种颜色安装在下底面的一个顶点,有3种方法,余下的两个顶点比如B1,C1,分两类,若B1与C同色,则C1有2种方法,若B1与C不同色,则C1有1种方法,所以满足条件的安装方法共有3(2+1)=216(种).6.(多选题)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生

5、组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种 B.种C.75种D.150种【解析】选BC.根据题意,知从6名男医生中选2名、从5名女医生中选1名组成一个医疗小组,不同的选法共有=75(种).二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020全国卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有_种.【解析】因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有=6(种),现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:=6(种),根据分步乘法计数原理,可得不同的安排

6、方法有66=36(种).答案:368.现有10件产品,其中有2件次品,任意取出3件检查.(1)若正品A被取到,则有_种不同的取法;(2)恰有一件是次品的取法有_种.【解析】(1)=36(种).(2)从2件次品中任取1件,有种取法,从8件正品中任取2件,有种取法,由分步乘法计数原理得,不同的取法共有=2=56(种).答案:(1)36(2)56三、解答题(每小题10分,共20分)9.某医科大学的学生中,有男生12名、女生8名在某市人民医院实习,现从中选派5名参加青年志愿者医疗队.(1)某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同的选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙二人至少有一人

7、参加,有多少种选法?【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可,共有选法=816(种).(2)只需从其他18人中选5 人即可,共有选法=8 568(种).(3)分两类:甲、乙中只有一人参加,则有种选法;甲、乙两人都参加,则有种选法.故共有选法+=6 936(种).【拓展延伸】走路问题如图,李明从A出发走到B,有多少种不同的走法(只许向右、向上)?【解析】从A走到B,需要向右走5段横线的路,向上走4段竖线的路,只要走完这9段路,就可以到达B,所以走路的方法就是从9段路中选取4段作为竖线,余下的5段作为横线,所以共有=126种方法.10.在运动会上,某代表队中赛艇运动员有10人,3人会划右舷,2人

8、会划左舷,其余5人左右两舷都会划,现要从中选6人上艇,平均分配在两舷上划桨,有多少种不同的选法?【解析】按照只会划左舷被选中的人数进行分类.第1类,不选只会划左舷的2人,需先在两舷都会划的5人中选3人划左舷,有种选法,再在剩下的5人中选3人划右舷,有种选法,故共有=100种选法;第2类,只会划左舷的1人入选,有种选法,需先在两舷都会划的5人中选2人划左舷,再在会划右舷的6人中选3人划右舷,共有=400种选法;第3类,只会划左舷的2人都入选,有种选法,先从两舷都会划的5人中选1人划左舷,再从会划右舷的7人中选3人划右舷,共有=175种选法.由分类加法计数原理,知共有100+400+175=675

9、种不同的选法.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设集合I=1,2,3,4,5.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种【解析】选B.显然AB=,设AB=C,则C是I的非空子集,且C中元素不少于2个(当然,也不多于5个).另一方面,对I的任何k(2k5)元素的子集C,我们可以将C中元素从小到大排列,排好后,相邻数据间共有k-1个空档,在任意一个空档间插入一个隔板,隔板前的元素组成集合A,隔板后的元素组成集合B,这样的A,B一定符合条件,且集合对A,B无重复,综合以上分析,所求不同的选择方法

10、共有+=49种.2.现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法种数为()A.135B.172C.189D.162【解析】选C.不考虑特殊情况,共有种取法,取三张相同颜色的卡片,有4种取法,只取两张红色卡片(另一张非红色),共有种取法.所求取法种数为-4-=189.3.从0,2,4中取一个数字,从1,3,5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是()A.36B.42C.48D.54【解析】选C.若从0,2,4中取一个数字是“0”,则“0”不放百位,有种放法,再从1,3,5中取两个

11、数字放在其他两位,有种放法,共组成=12个三位数;若从0,2,4中取的一个数字不是“0”,则有种取法,再从1,3,5中取两个数字有种取法,共组成=36个三位数.所以所有不同的三位数有12+36=48(个).4.用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()A.180个B.216个C.256个D.384个【解析】选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有=18(个);个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有=162(个).根据分类加法计数原理得到共有18+162=180(个). 二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知有6

12、名男医生,4名女医生.(1)选3名男医生,2名女医生,让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗,共有_种分派方法.(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组要有女医生,共有_种不同的分法.若将这两组医生分派到两地去,又有_种分派方法.【解析】 (1)共有=14 400(种)分派方法.(2)把10名医生分成两组.每组5人,且每组要有女医生,有-=120(种)不同的分法;若将这两组医生分派到两地去,则共有120=240(种)分派方法.答案:(1)14 400(2)1202406.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,在直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有_个.【解析】分两类,

13、第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点共有种方法,所以满足条件的三角形共有+=70个.答案:707.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖,将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种(用数字作答).【解析】只需看3张有奖的分配情况就可以,有两类.4人中每人至多1张有奖,共有=432=24种获奖情况.4人中,有1人2张有奖,还有1人1张有奖,其余的2人无奖.共有=343=36种获奖情况.总之,共有24+36=60(种)不同的获奖情况.答案:608.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时

14、休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为_.【解析】先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式),再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有=900(种).答案:900三、解答题(每小题10分,共30分)9.在MON的边OM上有5个异于O点的点,ON上有4个异于O点的点,以这10个点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?【解题指南】方法一:(直接法)分点O为顶点的三角形与点O不为顶点的三角形;方法二:(间接法)把10个不同点中任取3点的组合数减去OM,ON

15、上分别共线三点的组合数,即可求解.【解析】方法一:(直接法)分三种情况考虑:点O为顶点的三角形中,必须另外两个顶点分别在OM,ON上,所以有个.点O不为顶点的三角形中,两个顶点在OM上,一个顶点在ON上的有个;一个顶点在OM上,两个顶点在ON上的有个.因为这是分类问题,所以用分类加法计数原理,共有+=54+104+56=90(个).方法二:(间接法)先不考虑共线点的问题,从10个不同元素中任取三点的组合数是,但其中OM上的6个点(含O)中任取三点不能得到三角形,ON上的5个点(含O)中任取3点也不能得到三角形,所以共可以得到-=90(个).【一题多解】也可以这样考虑:把点O看成是OM边上的点,

16、先从OM上的6个点(含O)中取两点,ON上的4个点(不含O)中取一点,可得个三角形,再从OM上的5个点(不含O)中取一点,从ON上的4个点(不含O)中取两点,可得个三角形,所以共有+=154+56=90(个).10.把4个男同志和4个女同志平均分成4组,到4辆公共汽车里参加售票活动,如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况.(1)有几种不同的分配方法?(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志,有几种不同的分配方法?(3)男同志与女同志分别分组,有几种不同的分配方法?【解析】(1)男女合在一起共有8人,每个车上2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一个车,共有种,再安排2人上第二个车共有种,

17、再安排2人上第三个车共有种,最后安排2人上第四个车共有种,按分步乘法计数原理有=2 520种.(2)要求男女各1人,因此先把男同志安排上车,共有种不同方法,同理,女同志也有种方法,由分步乘法计数原理,车上男女各1人的不同分配方法为=576种.(3)男女分别分组,4个男的平均分成两组共有=3种,4个女的平均分成两组也有=3种不同分法,这样分组方法就有33=9种,对于其中每一种分法上4辆车,又有种上法,因而不同分配方法为9=216种.11.有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?【解析】方法一:(直接法)从0与1两个特殊值着眼,可分三类:(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有种方法;0可在后两位,有种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有22个.(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数有22个.(3)0和1都不取,有不同的三位数23个.综上所述,共有不同的三位数:22+22+23=432个.方法二:(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数23个,其中0在百位的有22个,这是不合题意的,故共有不同的三位数23-22=432个.

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