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1、单元素养检测(一)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.如果P位于第三象限,那么角所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为点在第三象限,因此有sin cos 0,2cos 0,所以cos 0.2.已知扇形的半径为r,周长为3r,则扇形的圆心角等于()A.B.1C.D.3【解析】选B.弧长l=3r-2r=r,则圆心角=1.3.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为
2、S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A.(3-)B.(-1)C.(+1)D.(-2)【解析】选A.S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S1与S2所在扇形圆心角分别为,则=,又+=2,解得=(3-).4.已知sin=,则cos=()A.-B.C.D.-【解析】选A.cos=cos=-sin=-.5.把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是()【解析】选A.把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
3、,得y=cos x+1的图像,向左平移1个单位长度,得y=cos(x+1)+1的图像,再向下平移1个单位长度得y=cos(x+1)的图像.则得到的函数为y=cos(x+1),令x=0,得y=cos 10,排除C、D;又令x=-1,得y=cos=0,排除B.【补偿训练】要得到函数f=cos的图像,只需将函数g=sin的图像 ()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.f=cos=sin,故把g=sin的图像向左平移个单位,即得函数f=sin的图像,即得到函数f=cos的图像.6.函数y=locos的单调递增区间是()A.(kZ)B.(
4、kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选B.原函数变形为y=lo(-sin 2x),定义域为,kZ.研究函数y=sin 2x的单调递增区间,得-+2k2x2k+,kZ,解得k-x0)的图像向左平移个单位,若所得的图像与原图像重合,则的值可能为()A. 4B. 6C. 8D. 12【解析】选A、C、D.因为将函数f=sin的图像向左平移个单位,所得图像与原图像重合,所以是已知函数的周期的整数倍,即k=(kN*),解得=4k(kN*).10.关于函数y=2sin(0x9),下列结论正确的是()A.x=0时,ymin=-B.x=0时,ymin=-2C.x=5时,ymax=2D.x=9时,ymax=【
5、解析】选A.C.因为0x9,所以0x,-x-,即-x-,所以当x-=-,即x=0时,y=2sin(0x9)有最小值2sin=-,当x-=,即x=5时,y=2sin(0x9)有最大值2sin=2.11.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=对称C.f(x+)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减【解析】选A.B.C.A项,因为f(x)=cos的周期为2k(kZ),所以f(x)的一个周期为-2,A项正确;B项,因为f(x)=cos图像的对称轴为直线x=k-(kZ),所以y=f(x)的图像关于直线x=对称,B项正确;C项,f(x+
6、)=cos.令x+=k+(kZ),得x=k-(kZ),当k=1时,x=,所以f(x+)的一个零点为x=,C项正确;D项,因为f(x)=cos的单调递减区间为(kZ),单调递增区间为(kZ),所以是f(x)的单调递减区间,是f(x)的单调递增区间,D项错误.12.在ABC中,C,若函数y=f(x)在0,1上为单调递减函数,则下列命题不正确的是()A.f(cos A)f(cos B)B.f(sin A)f(sin B)C.f(sin A)f(cos B)D.f(sin B)f(cos A)【解析】选A.B.D.根据0A+B,得0A-B,所以sin Acos=sin B,又y=f(x)在0,1上为单
7、调递减函数,所以f(sin A)f(cos B).三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020北京高考)若函数f(x)=sin(x+)+cos x的最大值为2,则常数的一个取值为.【解析】因为f(x)的最大值为2,说明sin(x+)和cos x可同时取得最大值1,可知sin(x+)=cos x,所以可以为+2k,kZ.答案:(答案不唯一)14.已知角的终边上有一点P(1,3),则tan =,=.【解析】根据任意角的三角函数定义,可得tan =3,所以=tan -=-=1.答案:3115.arctan+arcsin=.【解析】因为arctan=,a
8、rcsin=-,所以arctan+arcsin=0.答案:016.已知函数f(x)=2sin(x+)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为,单调递增区间是.【解析】由图像可得T=-,所以T=,则=2.又图像过点,所以2sin=2,所以=-,所以f(x)=2sin,其单调递增区间为(kZ).答案:f(x)=2sin(kZ)四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在与530角终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)在|-720-360内的角.【解析】与530角终边相同的角为k360+530,k
9、Z.(1)由-360k360+5300且kZ,可得k=-2,故所求的最大负角为-190.(2)由0k360+530360且kZ,可得k=-1,故所求的最小正角为170.(3)由-720k360+5300,0,)的一段图像如图所示.(1)求此函数的解析式.(2)求此函数在上的递增区间.【解析】(1)由图可知,其振幅为A=2,由=6-=8,所以周期为T=16,所以=,此时解析式为y=2sin.因为点在函数y=2sin的图像上,所以2+=2k-,所以=2k-.又,所以=-.故所求函数的解析式为y=2sin.(2)由2k-x-2k+,得16k+2x16k+10,所以函数y=2sin的递增区间是.当k=
10、-1时,有递增区间,当k=0时,有递增区间,与定义区间求交集得此函数在上的递增区间为,.【补偿训练】在已知函数f(x)=Asin(x+),xR的图像与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图像上一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式.(2)当x时,求f(x)的值域.【解析】(1)由最低点为M,得A=2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为,得=,即T=,所以=2.由点M在图像上得2sin=-2,即sin=-1,故+=2k-(kZ),所以=2k-(kZ).又,所以=,故f(x)=2sin.(2)因为x,所以2x+,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;当2x+=,即x=时,f(x)取得
11、最小值-1,故当x时,f(x)的值域为-1,2.20.(12分)(2020合肥高一检测)已知02,函数f(x)=sin,且f(x)=f.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在-t,t上单调递增,求t的最大值.【解析】(1)因为f(x)=f,所以f(x)的图像关于直线x=对称,所以+=+k(kZ),解得=1+4k(kZ),又因为02,所以=1,则f(x)的最小正周期T=2.(2)因为f(x)=sin,所以f(x)的单调递增区间为(kZ).因为f(x)在-t,t上单调递增,所以,解得0t.故t的最大值为.21.(12分)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取
12、到最小值时自变量x的集合.(2)指出函数y=f(x)的图像可以由函数y=sin x的图像经过哪些变换得到.(3)当x0,m时,函数y=f(x)的值域为-,2,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)min=-2,此时2x-=2k-,kZ,即x=k-,kZ,即此时自变量x的集合是.(2)把函数y=sinx的图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图像,再把函数y=sin的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=sin的图像,最后再把函数y=sin的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数y=2sin的图像.(3)如图,因为当x0,m时,y=f(x)取到最大值2
13、,所以m.又函数y=f(x)在上是减函数,故m的最大值为内使函数值为-的值,令2sin=-,得x=,所以m的取值范围是.22.(12分)函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小值为g(a),aR.(1)求g(a).(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.【解析】(1)f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x)=2cos2x-2acos x-1-2a=2-2a-1.若-1,即a1,即a2,则当cos x=1时,f(x)有最小值g(a)=2-2a-1=1-4a.所以g(a)=(2)若g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是-2a-1=或1-4a=.由解得a=-1或a=-3(舍).由解得a=(舍).此时f(x)=2+,得f(x)max=5.所以若g(a)=,应有a=-1,此时f(x)的最大值是5.