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1、专题 十二 立体几何与空间向量第 12讲 立体几何与空间向量几何中的定理及定义三大问题的向量方法典例解析01基本元素四条公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(4)公理4(平行公理)：平行于同一条直线的两条直线互相平行.平行与垂直 平行与垂直 夹角的定义1 1、异面直线所成
2、角：、异面直线所成角：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2 2、直线与平面所成角：、直线与平面所成角：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.3 3、二面角：、二面角：(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范
3、围：0，.02平行与垂直 位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0夹角 夹角范围图形对应向量关系异面直线所成角(0，/2直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2cos=|cos|直线与平面所成角0，/2设直线l的方向向量为a，平面的法向量为nsin=|cos|二面角0，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量|cos|=|cos|AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线CDAB,距离 距离图形对应向量公式两点间距离
4、d=|AB|点到直线距离设直线l的方向向量为a,A为为l内任一点内任一点d=|PB|=点到平面距离平面的法向量为nA为为内任一点内任一点d=|PB|=AB|nnPA|nnPAAB22|ABPA思维升华03建立恰当的空间直角坐标系；建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；求出相关点的坐标；写出向量坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论转化为几何结论.解题思路建系与求点的方法 )3, 0 , 3()3, 0 , 1 (, 2,)0 , 1 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(GEBExBzEzABBEABBCABACB所以又内在平
5、面故轴建系 )23, 0 ,21(10|21)2(|),0, 0(), 0 ,(,)0 , 1, 2(),0 , 1, 0()0 , 1 , 0(),0 , 1 , 2(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(2222222PzxPFzxDPzxzxPxFzPABFDPEFDCBAEFAB解得则设平面所以平面平面，建系不妨设建系与求点的方法 ),22, 0 , 1 (),2, 0 , 1 (2, 031)2, 0 , 1(, 0), 0 , 1 (,)0 , 0 , 1(),0 , 3, 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 3, 0(, 12FEzzCEAEECAEzFzzEAB
6、CDBEDCBABO所以则故设平面建系设建系与求点的方法23|,cos|sin)0 , 2 , 0(), 2, 1()0 , 2 , 1 (20), 0 , 0(DCBPDCzBPBzzPDGP设棱建系建系与求点的方法217|,cos|cos)2 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 2 , 1 (40), 0 , 0(BENHEBNzzHPAH设棱建系建系与求点的方法 23|,cos|cos|)0 , 0 , 2(),3),2(3()32 , 2 , 0(),0 ,24 ,2()32 , 0 , 0(),0 , 2, 0()0 ,22 ,2(10)0 ,2,2(),0 , 2
7、, 0(),0 , 0 , 2(OBnOBPACnPAMAPAMPAMCBCMBCMCB法向量平面法向量平面线段建系建系与求点的方法 22|,cos|sin)0 , 1, 1 ()3, 0 ,1 (10)3, 0 ,()3, 0 , 0(),0 , 0 , 1 (, 1OPBMBMCPCMPCMPCAB设棱建系不妨设建系与求点的方法设点的方法总结)0 , 0 ,(xP), 0 ,(zxPABAPACABAP空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立的解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是是否存在否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是否有解点的坐标是否有解,是否是否有规定范围内的解有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法更简单、有效，应善于运用这一方法.思维升华