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1、第五节 小船过河问题初探一、船速与船相对于水的速度小船过河问题，涉及三个速度：河水的流速、船相对于水的速度、船相对地面的速度，现对三个速度理解如下：（1）船在静止的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将静止在水中，相对于水静止，对地也静止。（2）船在流动的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将顺水漂流，相对于水静止，对地速度等于水速。（3）船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地速度与水速、船相对于水的速度的关系如图3.83所示。其中，船相对于水的速度也就是船在静水中的速度，只与船本身有关，的方向总是沿着船头所指的方向。例1
2、如图3.84所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变，船行驶时相对水的速度大小始终不变。一开始船从岸边点出发，船身始终垂直河岸，船恰好沿航线到达对岸点耗时为，与河岸的夹角为。调整船速方向，从点出发沿直线返航回到点耗时，则为（ ）。A1：1B1：2C1：3D1：4分析与解 由点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度垂直于河岸，船相对地面的速度沿着方向，画出，所围成的三角形如图3.85所示，可知，则。当船由点返回时，其对地速度沿着方向，围成的三角形如图3.85所示，因为与夹角为，且，可知这一个等腰三角形，即，因此，可得，本题正确选项为B。实际上，我们也可以将船在静水中的速度沿平行于河岸和垂直于河
3、岸方向正交分解。如图3.86所示，设船与河岸夹角为，为水流速度，则为船实际上沿水流方向的运动速度，为船垂直于河岸方向的运动速度。 二、小船过河的两个典型问题1过河时间最短问题渡河时间只取决于在垂直河岸方向上的船速，即，当时，渡河时间最短，此时船头应正对着对岸前进，如图3.87所示。船沿河岸方向前进的距离为。2渡河距离最短问题河宽是所有渡河距离中最短的，但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽呢？下面就这个问题进行如下分析：要使渡河距离最小为河宽，只有使船对地面的速度垂直河岸，如图3.88所示，则，因为，因此只有，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短距离为河宽，渡河时间。由以上分析可知，当时
4、，小船将不能垂直河岸渡河，但此时仍存在最小的渡河距离。要使得渡河距离最小，应该让小船相对地面的速度与河岸的夹角尽量大，可以用以下方法求解最小渡河距离：以水流速度的末端为圆心，以小船在静水中的速度的大小为半径作圆，过速度的起点作该圆的切线，此时让船速与过切点的半径平行，如图3.89所示，从而小船实际运动的速度（对地速度对）与河岸方向的夹角最大，即与垂直时，小船渡河距离最短。由相似三角形知识可得，解得，船与河岸的夹角满足。渡河时间仍可以采用上面的方法求得：。例2 某河流河道笔直，河宽为，水流速度为，船在静水中的速度是，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船沿着河岸运动的距离
5、为多少？船实际通过的距离为多少？（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间为多长？（3）如果水速增为，则如何渡河船通过的距离最短？最短距离为多少？分析与解 （1）当船头正对着对岸航行时，船渡河时间最短，此时与河岸垂直，如图3.90（a）所示，则最短的渡河时间，船沿着河岸移动的距离与水流速度有关，船实际通过的距离与船对地速度有关，则船实际通过的距离。（2）欲使船渡河航行距离最短，则船对地速度最好垂直河岸，由于船速大于水速，因此可画出图3.90（b）所示的速度关系图，其中船速与河岸夹角为，则，此时渡河时间。（3）水速增为时，船速小于水速，船不能垂直河岸渡河，此时可以以水速的末端为圆心，船速为
6、半径作圆，则当船对地速度与半圆相切时，船渡河距离最小，此时与垂直，如图3.90（c）所示，设船速与河岸夹角为，则，此时的渡河时间，渡河距离。例3 （上海第30届大同杯初赛）如图3.91所示，河宽为，河水流速为，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为，出发时两船相距为，行驶过程中两船船身均与岸边成，乙船最终到达正对岸的点；两船始终没有相遇。则下列说法正确的是（ ）AB两船行驶的路程相等C两船同时到达河对岸D分析与解 由乙可以垂直到达对岸，可知乙沿着河岸的分速度与水速相等，即，可得，选项A正确。两船垂直河岸的分速度均为，因此到达对岸的时间均为，两船同时到达河岸，选项C正确。相对地面，甲船沿着河岸
7、的速度为，乙船没有沿着河岸的速度，因此两船沿着河岸运动的距离不等，而垂直河岸的距离相等，因此两船行驶的路程必不相等，B选项错误。由于甲、乙两船在垂直于河岸方向的运动情况完全相同，且两船运动过程中始终没有相遇，则甲船在到达对岸时，其沿着河岸发生的距离必小于，于是有，即，因此得，选项D正确。本题正确选项为ACD。例4 （上海第28届大同杯初赛）如图3.92所示，河岸相互平行，相距为，水流速度为，船相对水的速度为。船从岸边点出发，船头始终垂直对岸，最终到达对岸点。若保持的大小不变，适当改变的方向，仍然从点出发，发现航线与刚才恰好一致，但渡河时间变为原来的两倍，则可以判断（ ）。AB改变的方向，可以使
8、最短渡河时间为。C改变的方向，可以使最短渡河距离为 D改变的方向，可以使船到达对岸时向下游“漂移”的最短距离为分析与解 当船头垂直对岸时，船对水的速度、水速以及此时船对地的速度构成一直角三角形，如图3.93所示。此时渡河最短时间为，选项B正确。当仅改变方向使得船仍沿着航线前进时，可知此时船对水的速度、水速以及此时船对地的速度又构成一个三角形，且由于渡河时间加倍，则必有，结合图3.93中的几何关系，可知航线与河岸所夹的锐角为，由此可得，选项A错误。由于船对水速度小于水速，若要渡河时船向下游“漂移”的距离最短，须使与此时的对地速度垂直。如图3.94所示，由几何关系可知，利用相似三角形知识可得。因此
9、D选项正确。本题正确选项为BD。以上例题中河水流速均为定值，若河水流速变化，则船的运动轨迹不再是直线，此时问题较为复杂。例5 （上海第27届大同杯初赛）如图3.95所示，小船从码头处出发渡河，船头始终垂直河岸。若河宽为，船在静水中的速度恒定不变，河水的流速与到河岸的垂直距离成正比，即水速（，为常量）。渡河过程中小船沿岸向下游移动了距离并最终到达对岸码头，则（ ）。ABC渡河时间为D渡河时间为 分析与解 设小船经时间离开处的岸边的距离为，且，则，小船沿着河岸方向的速度与水速相同，可见小船沿着河岸方向的分运动是匀加速直线运动，小船运动轨迹如图3.96曲线所示，其中段曲线与段曲线关于点成中心对称。当
10、时，小船运动到点，此时。时间内小船沿着河岸前进的距离为解得，选项A正确。小船渡河时间，选项D正确。本题正确选项为AD。练习题1小船在宽的河中横渡，水流速度是，船在静水中的航速是，则下列判断正确的是（ ）。A小船过河所需的最短时间是B要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸C要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是D如果水流速度增大为，小船过河所需的最短时间将增大2（上海第31届大同杯初赛）如图3.97所示，河两岸平行，河内水速保持不变，在河的南岸处同时开出甲、乙两艘小船，小船相对水的速度均为，船头分别指向对岸下游的，两点，两船分别到达对岸，两点处，则（ ）。ABCD由于不知道与之间的大小关
11、系，无法判断与的大小关系3（上海第29届大同杯初赛）甲、乙两艘小船从河岸处出发，水速恒定，两小船相对水的速度相等，两小船分别沿直线到达河对岸，处，且相对是上游。关于两船过河时间和关系的判断，正确的是（ ）。A若，均处于的上游，则可能小于B若，均处于的上游，则一定大于C若，均处于的下游，则可能等于D若，均处于的下游，则一定小于4（上海第26届大同杯初赛）在宽度为的河中水速为，船速为，船过河的最短路程为，则下列关系中正确的是（ ）。A若，B若，C若，D若，5（上海第23届大同杯初赛）一般情况下，河水越靠近河的中央，水速越大，越靠近河岸，水速越小，如图3.98所示。假设水速与离河岸的距离成正比，一艘
12、船船头始终垂直河岸方向（船相对水的速度不变），从河岸点向对岸驶去并到达对岸下游处的点，则下列四个选项中，能合理描述其行进路径的是（ ）。 A B C D 6（上海第24届大同杯初赛）一条河道被一行窄而浅的沙石隔成两条流速不同的支流。船从岸边点开始渡河到对岸，船相对水的速度大小始终不变。已知船渡河的最短路径如图3.99所示，船最终到达了对岸点。船先后渡过两条支流的时间恰好相等，且，则两条支流的水速之比_；两条支流的宽度之比_。7王聪同学为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速度行驶。第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经到达正对岸下游处；第二次，船头始终保持指向与上游河岸成
13、角划行，经到达正对岸。由此，请你帮王聪同学计算计算，水速_，船对水的速度_，河宽_。8（上海第20届大同杯初赛）如图3.100所示，某河流两岸相距，河水流速为，某人要从岸边点到对岸下游某处点，之间的距离为。此人在水中的游泳速度为，在岸上奔跑的速度为。如果此人要用最短的时间过河，则他从点到点需用时间为_；如果此人要用最短的路程到达点，则他从点到点的路程为_。参考答案1A。当船头朝向正对岸行驶时，过河的时间最短，最短时间，且最短渡河时间与水流速度无关。以最短时间渡河时，船将向下游“漂移”。要使过河位移最短，应将朝向合适的方向，以使得平行于河岸的分速度等于水流速度。本题中应将分解为垂直河岸的速度和朝
14、向上游的分速度，这样船方能垂直渡河。垂直渡河所需时间。2A。甲小船船头指向点，即其相对水的速度沿若方向，甲船最终到达点，即甲船相对地面的速度沿着方向，由此画出船对水的速度、水速和船对地面的速度的三角形关系如图3.101所示。同理，可画出乙船对水的速度、水速和船对地面的速度的三角形关系。比较图3.101中几何关系可知，乙船渡河时其垂直于河岸的分速度较小，因此渡河时间。若水不流动，则船头正对点行驶时，船会到达点，因此段可认为仅由水的流动引起，则，同理，可见，选项A正确。3BC。当，均在点的上游时，必有，以的末端为圆心，的大小为半径画圆，画出如图3.102所示的水速，船对水的速度以及甲、乙两船相对地
15、面的速度，的速度三角形关系，可知甲船由到达时，垂直于河岸的速度较小，因此甲船渡河时间较长，一定大于，B选项正确。当，均在点的下游时，水速、船对水的速度以及甲、乙两船相对地面的速度，可能如图3.103所示，可知甲、乙两船此时垂直河岸的速度大小相等，因此有可能等于。因此本题正确选项为BC。4BC。当水速与船速满足时，可使船垂直渡河，最小渡河距离等于河宽，即。当水速与船速满足时，船不能垂直河岸渡河，当船速与船的合速度垂直时，可使船渡河距离最短，结合数学知识可知此时渡河最短距离，本题正确选项为BC。5C。船的对地速度为，的合成，且始终沿着运动轨迹的切线方向。如图3.104所示，设与河岸夹角为，则有，由
16、于水速与离河岸的距离成正比，因此船越靠近河中心，越大，越小。选项C正确。63：4；3：4。设船在两侧支流中对地速度分别为和，由题知船渡河的最短路径不等于河宽，则可判断船速小于两条支流的水速，此种情况下要使渡河距离最短，一定要满足烟与船对地的速度垂直，因此画出如图3.105所示的速度三角形，结合几何关系，可得，因此。把沿着河岸和垂直于河岸分解，设经过一条支流的时间为，可得两支流河宽，因此。7，。略。8122；270。要用最短的时间过河，人游泳的速度必须垂直正对岸，人相对地面的速度即为水速和人游泳速度的合成，如图3.106所示，设人在对岸点登岸，然后从点以速度跑向点。结合勾股定理可得，又由三角形相似关系可知，解得。因此人从点到点的时间为。如果此人要用最短的路程到达点，则此人应先在渡河时取得最小渡河距离，到达对岸后，再沿着河岸到达点。由于人游泳速度小于水速，若要人渡河距离最短，则需满足与人对地速度垂直，如图3.107所示。设人此时的登岸点为，则根据题给数据可知与，所组成的速度三角形相似，有，得，由勾股定理得，因此，所以到达点的最短距离应为。10