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1、单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020天水高一检测)函数f(x)=+ln(x+1)的定义域为()A.(2,+)B.(-1,2)(2,+)C.(-1,2)D.(-1,2【解析】选C.函数的定义域应满足所以-1x2,即定义域为(-1,2).2.(2020咸阳高一检测)若集合A=,B=,则AB=()A.-2,2)B.(-1,1)C.(-1,1D.(-1,2)【解析】选B.不等式0,等价于(x+2)(x-1)0且x-10,解得-2x0,解得-1xNB.MNC.M0,所以MN
2、.4.(2020黄冈高一检测)不等式(x-2y+1)(x+y-3)0在平面直角坐标系内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的()【解析】选C.(x-2y+1)(x+y-3)0等价于或即不等式表示的区域是同时在两直线的上方或同时在两直线的下方,只有C项符合.5.(2020九江高一检测)不等式1的解集为()A.(-,-12,+)B.(-,-1C.(-,-1D.2,+)【解析】选D.由题得-10,所以0,所以0,所以所以-1x0,=16-4ac=0,所以ac=4,c0,则+2=3,当且仅当=时取等号,则+的最小值是3.7.已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条
3、件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.D.2【解析】选B.约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=2,则b=2-2a,所以a2+b2=a2+=5a2-8a+20=5+4,即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.8.若不等式0的解集相同,则a,b的值分别为()A.-8,-10 B.-4,-9C.-1,9 D.-1,2【解析】选B.因为不等式0的解集为,所以二次方程ax2+bx-2=0的两个根为-2,-,所以所以a=-4,b=-9.9.已知x0,y0,lg2x+lg8y=lg 2,则
4、+的最小值是()A.2B.2C.4D.2【解析】选C.由lg2x+lg8y=lg 2,得lg 2x+3y=lg 2,所以x+3y=1,+=(x+3y)=2+4.当且仅当即时,等号成立.故+的最小值是4.10.已知z=2x+y,x,y满足且z的最大值是最小值的4倍,则实数a的值是()A.B.C. D.【解析】选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略)及直线2x+y=0,平移该直线,当相应直线分别经过该平面区域内的点(a,a)与(1,1)时,相应直线在y轴上的截距达到最小与最大,此时z=2x+y取得最小值与最大值,于是有21+1=4(2a+a),a=.11.某公司租地建仓库,每月土
5、地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5 km处 B.4 km处C.3 km处D.2 km处【解析】选A.设车站到仓库距离为x km(x0),土地费用为y1万元,运输费用为y2万元,由题意得y1=,y2=k2x,因为x=10时,y1=2,y2=8,所以k1=20,k2=,所以费用之和为y=y1+y2=+x2=8,当且仅当=,即x=5时取等号.12.已知-1x+y4,且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是()A.3,8 B.3,6C
6、.6,7 D.4,5【解析】(方法一)选A.作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示.在可行域内平移直线2x-3y=0,当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A(3,1)时,目标函数有最小值,zmin=23-31=3;当直线经过x+y=-1与x-y=3的交点B(1,-2)时,目标函数有最大值,zmax=21+32=8.所以z3,8.(方法二)选A.设2x-3y=(x+y)+(x-y),则(+)x+(-)y=2x-3y,所以解得所以z=-(x+y)+(x-y).因为-1x+y4,所以-2-(x+y).因为2x-y3,所以5(x-y).+得,3-(x+y)+(x-y)8,所以z的取值
7、范围是3,8.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元,则该厂日产量为时,日获利不少于1 300元.【解析】由题意,得(160-2x)x-(500+30x)1 300,化简得x2-65x+9000,解得20x45.因此,该厂日产量为20件至45件时,日获利不少于1 300元.答案:20件至45件14.已知x,y为正实数,则+的最小值为.【解析】因为x,y为正实数,所以+=+-12-1=4-1=3,当且仅当=4,即x=3y时等号成立.答案
8、:315.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.【解析】因为a+b+c=0,所以b+c=-a.因为a2+b2+c2=1,所以-a2+1=b2+c2=(b+c)2-2bc=a2-2bc,所以2a2-1=2bcb2+c2=1-a2,所以3a22,所以a2,所以-a.所以amax=.答案:16.(2020全国卷)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是.【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示:平移直线y=-x,当直线经过点A时,直线y=-x+z在纵轴上的截距最大,此时点A的坐标是方程组的解,解得:因此z=x+2y的最大值为2+23=8.答案
9、:8三、解答题(共70分)17.(10分)已知实数x,y满足(1)z=的取值范围;(2)z=x2+y2-10y+25的最小值.【解析】作出可行域如图所示,并求出各点的坐标为A(1,3),B(3,1),C(7,9),Q.(1)将z=变形为z=2,由斜率公式可知表示可行域内任一点(x,y)与定点Q连线的斜率的两倍,因此kQ A=,kQB=,故z的范围为.(2)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,M(0,5),直线AC:x-y+2=0,故由点到直线距离公式可得|MN|=,所以z的最小
10、值是|MN|2=.18.(12分)(2020长沙高一检测)某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元,满足m=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件,已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件,该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用x(万元)的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?【解析】(1)由题意知,当x=0时,m
11、=1,所以1=3-k,k=2,m=3-, 每件产品的销售价格为1.5元.所以2020年的利润y=1.5m-8-16m-x=-x+28(x0).(2)由(1)知,y=-x+28=-(x+1)+29 =-+29-2+29=21,当且仅当=(x+1),即x=3时取等号,该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.19.(12分)已知x,y,z是实数,a,b,c是正实数,求证:x2+y2+z22(xy+yz+xz).【证明】x2+y2+z2-2(xy+yz+xz)=x2-2xy+y2+x2-2xz+z2+y2-2yz+z2=x-y2+x-z2+y-z20.所以x2+y2+z22
12、(xy+yz+xz)成立.当且仅当a=b=c时等号成立.20.(12分)(2020郑州高一检测)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额(最大供应量)如表所示:每吨甲产品每吨乙产品每天资源额煤/t84320电力/kWh34150劳动力/个48280若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元,问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨时,该厂获得最大利润?【解析】设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x吨,y吨,获得利润z万元,依题意可得约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.利润目标函数z=5x+8y.由几何意义知,当直线y=-x+z经过可行域上的点
13、M时,z=5x+8y取最大值.解方程组得即M(10,30).所以每天生产甲种产品10吨,乙种产品30吨时,该厂获得最大利润.21.(12分)已知函数y=的定义域为R.(1)求a的取值范围;(2)解关于x的不等式x2-x-a2+a0.【解析】(1)因为函数y=的定义域为R,所以ax2+2ax+10,恒成立.当a=0时,10恒成立;当a0时,则解得0a1.综上,a的取值范围为0,1.(2)由x2-x-a2+a0得,(x-a)x-(1-a)a,即0a时,ax1-a;当1-a=a,即a=时,0,不等式无解;当1-aa,即a1时1-axa.综上所述,当0a时,解集为(a,1-a);当a=时,解集为;当0,y0,-2n(x-3)y0得0x3,所以平面区域为Dn内的整点为点(3,0)与在直线x=1和x=2上的整点,所以直线y=-2n(x-3)与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y1=4n和y2=2n,所以Dn内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1,所以an=4n+1+2n+1+1=6n+3.(2)由bn+1=2bn+an,得bn+1=2bn+6n+3,所以bn+1+6(n+1)+9=2(bn+6n+9),因为b1+6+9=2,所以bn+6n+9是以2为首项,公比为2的等比数列,所以bn+6n+9=2n,所以bn=2n-6n-9.