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1、折叠与图形存在性【例1】如图，在RtABC中，ACB=90，AC=2，BC=4，CD是ABC的中线，E是边BC上一动点，将BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于G，当DFG是直角三角形时，则CE=.【答案】1，.【解析】解：在RtABC中，由勾股定理得：AB=2,由折叠性质知F=B90，分两种情况讨论，（1）当FDG=90时，D是RtABC斜边AB的中点，CD=BD=AD=，B=DCE=F，DCE+GEC=F+FDG，GEC=90，在RtDFG中，tanF=，DG=，CG=CDDG=，在RtCEG中，CE=CGcosGCE=1；（2）当FGD=90时，由（1）知B=F=DCB，由B
2、D=DF=，DG=DFsinF=1，CG=CDDG=1，CE=CGcosDCB=（1）=，故答案为：1，.【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，DAB=45，AB=8，点P为线段AB上一动点，过点P作PEAB交直线AD于E，沿PE将A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当CDF是直角三角形时，AP=.【答案】或.【解析】解：如图，当DFAB时，CDF是直角三角形，在菱形ABCD中，AB=8，CD=AD=AB=8，在RtADF中，AD=8，DAN=45，DF=AF=4，AP=2；如图，当CFAB时，DCF是直角三角形，在RtCBF中，CFB=90，CBF=A=45，BC=8，BF=C
3、F=4，AF=AB+BF=8+4，AP=AF=4+2，故答案为：4或4+2【例2】如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在边BC上，将DEC沿DE翻折后，点C落在点C处. 若ABC是等腰三角形，则CE的长为.【分析】根据ABC是等腰三角形，分AB=AC=2；AC=BC，即C落在AB的垂直平分线上时；AB=BC=2，三种情况讨论，逐一作出图形求解即可.【答案】2或.【解析】解：分三种情况讨论：AB=AC=2，如图所示，可得：四边形CDCE是正方形，即CE=2；AC=BC，即C落在AB的垂直平分线MN上时，如图所示，DM=1，CD=2，CDM=30，即得：CDC=60，EDC=30，CE=
4、CDtanEDC=2=；AB=BC=2，此时作出C的运动轨迹，及以B为圆心，2为半径的圆，发现二者不相交，如图所示，即此种情况不存在；综上所述，答案为：2或.【变式2-1】如图所示，在ABC中，C=90，ACBC，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、F，如果折叠后CDF和BDE均为等腰三角形，那么B=.【答案】45或30.【解析】解：若CDF是等腰三角形，C=90，CDF=CFD=45，由折叠性质知，A=FDE，B=EFD，若BDE是等腰三角形，则：（1）若DE=BD，设B=DEB=x，则A=FDE=90x，CDE=B+DEB，45+90x=x+x
5、，解得：x=45，即B=45，（2）若DE=BE，CDE=180BDE=180B，CDE =45+FDE=45+A=45+90B=135B，不符合题意，（3）若BD=BE，设B=x，则BDE=BED=90x，CDE =45+A=135x，CDE =B+DEB=90+x，135x=90+x，解得：x=30，即B=30，综上所述，B的度数为：45或30.【例3】如图，在RtABC中，ACB90，B30，AC2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将AEP沿着边PE折叠，折叠后得到EPA，当折叠后EPA与BEP的重叠部分的面积恰好为ABP面积的四分之一，则此时BP的长为
6、【答案】2或2【解析】解：ACB90，B30，AC2，E为AB的中点，AB4，AEAB2，BC2（1）若点A落在BC上方时，连接AB，由折叠可得SAEPSAEP，AEAE2，点E是AB的中点，SBEPSAEPSABP由题可得：SEFPSABP，SEFPSBEPSAEPSAEP，EFBF，PFAF四边形AEPB是平行四边形，BPAE2；若点A落在直线BC下方时，连接AA，交EP与H， 可得：GPBG，EG1BEAE，EGAP1，AP2APAC，即此时点P与点C重合，BPBC2 故答案为：2或2【变式3-1】（2019安阳二模）如图，在ABC中，C90，AB5，BC4点D是边AC的中点，点E在边A
7、B上，将ADE沿DE翻折，使点A落在点A处，当线段AE的长为 时，AEBC【答案】或【解析】解：分两种情况：（1） 当AEBC时，AEGB，由折叠可得，AA，B+A90，AEG+A90，AGE90，ABCADG，ADAC，AG，DG，AG，设AEAEx，则EGx，则cosGEA=,x=，即AE=；（2）当AEBC时，AHEC90，AHCD，设AEy，由AHEACB，得：AHy，HEy，由折叠可得，AEAEy，ADAD，AHy，DHy，sinDAH=,可得：y=，即AE，故答案为：或1.如图，在RtABC中，ACB=90，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将ACD沿AD折叠，点C
8、落在点C，连结CD交AB于点E，连结BC当BCD是直角三角形时，DE的长为 【答案】或【解析】解：（1）当点E与点C重合时，BCD是直角三角形，在RtABC中，由勾股定理得：BC=4由翻折的性质可知；AE=AC=3，DC=DE，EB=2设DC=ED=x，则BD=4x在RtDBE中，由勾股定理得：DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4x）2解得：x=（2）当EDB=90时，由翻折的性质可知：AC=AC，C=C=90可得：四边形ACDC为矩形AC=AC，四边形ACDC为正方形CD=AC=3DB=BCDC=1DEAC，, 解得：DE=（3）点D在BC上运动，DBC90，即DBC不可能为直角故答案
9、为：或2.（2019洛阳三模）如图，已知 RtABC 中，B=90，A=60，AB=3，点 M，N 分别在线段AC，AB 上，将ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段BC 上，若DCM 为直角三角形时，则 AM 的长为 【答案】2或.【解析】解：在CDM中，C=30，分两种情况讨论CDM为直角三角形的情况，（1）当CMD=90时，如图所示，设AM=x，则DM=x，CM=x，x+x=6，解得：x=；（2）当CDM=90时，如图所示，设AM=x，则CM=2x，DM=x，x+2x=6，解得x=2，综上所述，答案为：或2.3.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=6，BC=8
10、，E是边AD上的点，以CE为折痕折叠纸片，使点D落在点F处，连接FC，当AEF为直角三角形时，DE的长为_【答案】3或6.【解析】解：由题意知，EAF90，（1）当AEF=90时，如下图所示，由折叠知，CD=CF=DE=EF=6，即DE=6；（2）当AFE=90时，如下图所示，此时点F落在对角线AC上，AC=10，CF=6，AF=4，设DE=x，则EF=x，AE=8x，在RtAEF中，由勾股定理得：x2+42=（8x）2，解得：x=3，故答案为：3或6.4.如图，在RtABC中，A=90，B=30，BC=+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠C，使点C的落对应点C始终落
11、在边AB上，若BEC是直角三角形时，则BC的长为 【答案】或2.【解析】解：B=30，分两种情况讨论：当BEC=90时，BE=CE，CE=CE，BC=+1，BE=，CE=1，RtBEC中，由勾股定理得：BC=2；当BCE=90时，BE=2CE=2CE，BC=+1，BE=（+1），CE=（+1），在RtBEC中，由勾股定理得：BC=；综上所述，BC的长为或25.如图，在RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E，将AED沿DE翻折，点A的对应点为点F如果EFC是直角三角形，那么AD的长为【答案】或5【解析】解：在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理得：AB10，
12、按直角顶点位置分类讨论，若CFE90，在RtABC中，ACB90，CFB+EFDB+A90，由翻折知：AEFD，AEEF，CFBB，CFBC6，在RtCEF中，有CE2EF2+CF2，即CE2（8CE）2+62，CE，AE，由ADEACB90，得ADEACB，得：AD；当ECF90时，点F与B重合，ADAB5；当CEF90时，则EFBC，AFEB，AAFE，AB，ACBC（与题设矛盾），这种情况不存在，综上所述：如果EFC是直角三角形，AD的长为或5故答案为：或56.在RtABC中，AC3，AB4，D为斜边BC中点，E为AB上一个动点，将ABC沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为A、C，EA交
13、BC于点F，若BEF为直角三角形，则BE的长度为 【答案】或【解析】解：B90，分两种情况讨论：当BEF90时，过D作DMAB于M，则EMD90，DMAC，D为BC中点，可得：M为AB的中点，BMAB2，DMAC，由折叠可得，MEDAEF45，DEM是等腰直角三角形，EMDM，BE2；当BFE90时，连接AD，AD，根据对称性可得：EADEAD，ADADRtABC中，AC3，AB4，由勾股定理得：BC5，RtABC中，D为BC的中点，ADBDADBC，BEADFAD，设BEx，则BFBEcosBx，DFBDBFx，由sinFADsinB，得：，解得：x，即BE，综上所述，BE的长度为或7.如图
14、，在RtABC中，C=90，AC=，BC=4，点D是AC的中点，点F是边AB上一动点，沿DF所在直线把ADF翻折到ADF的位置，若线段AD交AB于点E，且BAE为直角三角形，则BF的长为_ 【答案】或6.【解析】解：由分析知EBA90，分两种情况讨论：（1）当BAE=90时，如图所示，连接BD，过F作FHAC于H，可得：BCDBAD，BDF=90，设FH=x，则AF=2x，AH=x，DH=2x，BF=82x，由勾股定理得：BD2+DF2=BF2，DF2=DH2+FH2，即BD2+ DH2+FH2= BF2，解得：x=，即BF=；（2）当BEA=90时，如下图所示，由折叠性质知，A=ADF=ED
15、F=30，AD=2，DE=，AE=3，EF=DE=1，AF=2，即BF=6，综上所述，BF的值为或6.8.如图，在RtABC中，AB3，BC4，点P为AC上一点，过点P作PDBC于点D，将PCD沿PD折叠，得到PED，连接AE若APE为直角三角形，则PC 【答案】或.【解析】解：若APE=90，则CPD=EPD=45，可得C=45，与题意不符，APE90，在RtABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，当AEP90时，设PCx，在RtPDC中，sinC，cosC， 所以PDx，CDx，由折叠知DECDx ，BEBCCE4x，BPDE，BAE+AEB90，PED+AEB90，BAEP
16、ED=C，tanBAEtanC,即，解得：x=，即PC=；当EAP90时，如下图，设PC=x，则PE=x，PDx，CDx，CE=x，BE=x4，可证：AEB=C，tanAEB= tanC，,即，解得：x=即PC=，综上所述，答案为：或.9.如图，矩形ABCD中，AB4，AD6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将APE沿PE折叠得到FPE，连接CE，CF，当ECF为直角三角形时，AP的长为 【答案】1或.【解析】解：由图可知，ECF90，所以分两种情况讨论：（1）当CFE90时，由折叠可得，PFEA90，AEFEDE，CFP180，即点P，F，C在一条直线上，RtCDERtC
17、FE，CFCD4，设APFPx，则BP4x，CPx+4，在RtBCP中，BP2+BC2PC2，即（4x）2+62（x+4）2，解得x，即AP；（2）当CEF90时，过F作FHAB于H，作FQAD于Q，则FQED90，FEQ+CEDECD+CED，FEQECD，FEQECD，,，FQ=，QE=，AQ=HF=3QE=，AH=QE=，设APFPx，则HPx，在RtPFH中，HP2+HF2PF2，即（x）2+（）2x2，解得x1，即AP1综上所述，AP的长为1或10.如图，已知RtABC中，B90，A60，AC2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段
18、BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 【答案】或.【解析】解：C=30，即C不可能是直角顶点，分两种情况讨论：（1）当CDM90时，在RtABC中，B90，A60，AC2+4，C30，AB+2，由折叠性质知，MDNA60，BDN30，BNDNAN，BNAB，AN2BN，由DNB60，得：ANMDNM60，AMN是等边三角形，ANMN；（2）当CMD90时，由题可得，CDM60，AMDN60，BDN60，BND30，BDDNAN，BNBD，AN2，BN，BD=1，CD=BC-BD=ABBD=2+2，DM=AM=CD=+1，在RtANH中，AH=AN=1，NH=，HM=AM-AH=，在R
19、tHNM中，由勾股定理得：MN=；故答案为：或.11.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为 【答案】16或4【解析】解：分三种情况讨论，（1）当BDBC时，过B作GHAD交AB、CD于点G、H，则BGE90，可得：GH是CD、AB的垂直平分线，AGDHDC8，由AE3，AB16，得BE13由翻折的性质，得BEBE13EGAGAE835，在RtBEG中，由勾股定理得：BG12，BHGHBG16124，在RtDBH中，由勾股定理得：DB4；（2）当DBCD时，则DB1
20、6（3）当CBCD时，则CBCB，由翻折的性质，得EBEB，EC垂直平分BB，EF是线段BB的垂直平分线，点F与点C重合，此种情况不存在；故答案为：16或412.如图，在RtABC中，C90，BC2，AC2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F若ABF为直角三角形，则AE的长为 【答案】3或.【解析】解：C90，BC2，AC2，B30，AB2AC4，点D是BC的中点，DBDC，EBEB，DBEB30，设AEx，则BE4x，EB4x，由题意知BAF90，分两种情况讨论：（1）当AFB90时，BF，EF（4x）x，在RtBEF中，EBF30，EB2EF，即4x2（x），解得：x3，即AE=3；（2）当ABF=90时，过E作EHAB于H，DCDB，ADAD，RtADBRtADC，ABAC2，ABEABF+EBF90+30120，EBH60，HEB=30，BHBE（4x），EHBH（4x），在RtAEH中，EH2+AH2AE2，（4x）2+（4x）+22x2，解得x， AE=故答案为3或