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1、指数函数与对数函数的关系(15分钟30分)1.(2020成都高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x ,把x与y互换,得x=log2y(xR),可得y=2x,即g(x)=2x, 所以g(2)=22=4 ,则f=f(4)=log24=2. 【补偿训练】(2020日照高一检测)已知函数f(x)=1+2lg x,则f(1)+f-1(1)=()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据题意:f=1+2lg 1=1,若f(x)=1+2lg x=1,解得x=1,则f-1=1,故f+f-1=1+1
2、=2.2.函数y=的反函数是()A.y=(xR且x-4)B.y=(xR且x3)C.y=(xR且x)D.y=(xR且x-)【解析】选B.由y=,得x=.故所求反函数为y=(xR且x3).3.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是()A.-6,3B.2,1C.2,3D.3,3【解析】选D.求出y=+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是()A.abD.无法确定【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是
3、增函数,所以f(3)f(2),f-1(3)f-1(2),即ba.5.函数f(x)=的反函数是_.【解析】函数的值域为0,+),令y=,将其中的x,y对调得x=,解得y=4-x2,所以反函数f-1(x)=4-x2(x0).答案:f-1(x)=4-x2(x0)6.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-1x0),求原函数的定义域和f(-1)的值.【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,又-1x0,所以12-x22,即y-,-1.令-=-1,解得x=1,因为原函数的定义域为-,-1,所以x=-1.所以原函数y=f(x)的定义域为-,-1,f(-1)=-1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,
4、共20分)1.若f(x)为y=2-x的反函数,则f(x-1)的图像大致是()【解析】选C.由题意,f(x)的图像与y=2-x的图像关于y=x对称,即f(x)=lox,所以f(x-1)的图像就是将f(x)=lox右移一个单位得到.2.函数f(x)与g(x)=互为反函数,则函数f(4-x2)的单调增区间是()A.(-,0B.0,+)C.(-2,0D.0,2)【解析】选D.因为f(x)与g(x)=互为反函数,所以f(x)=lox,所以f(4-x2)=lo(4-x2),x0,由4-x20,所以-2x2,所以0x0,解得-1x0时,函数f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,则g+g=(
5、)A.-7B.-9C.-11D.-13【解析】选C.因为x0时,f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,所以x0时,f(x)=2x,所以x0时,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函数,所以g(-1)+g(-2)=-g(1)+g(2)=-(2+1+4+4)=-11.4.若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2【解析】选B.由y=,将x,y的位置互换得x=,整理得y=,则原函数的反函数是y=,由题意知原函数与反函数相同,所以=,解得a=-1.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.函数y=2|
6、x|在下面的区间上,不存在反函数的是()A.-1,1 B.(-,0C.-2,4 D.2,4【解析】选AC.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在-1,1, -2,4上不单调.6.函数y=f(x)是y=ax(a0,且a1)的反函数,则下列结论正确的是()A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)+f(2)C.f=f(x)-f(2)D.f(2x)=2f(x)【解析】选ABC.因为函数y=f(x)是y=ax(a0,且a1)的反函数,所以f(x)=logax,所以f=loga2x=loga2+logax=f(x)+f(2)2f(x),B对D错;f=logax2=2loga
7、|x|=2f(|x|),A对;f=loga=logax-loga2=f(x)-f(2),C对.【补偿训练】已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是()A.abB.g(a)00f(b)D.a+b=2【解析】选AC.因为函数y=ex,y=ln x,y=x-2都是增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2都是增函数,又f(0)=e0+0-2=-10,所以0a1,g(1)=ln 1+1-2=-10,所以1b2,所以0a1b2,故A错误;因为ab,所以g(a)g(b)=0,f(a)0,所以g(a)00且a1,若函数f(x
8、)=+2的反函数的图像经过定点P,则点P的坐标是_.【解析】因为函数f(x)=+2经过定点(1,3),所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1).答案:(3,1)【补偿训练】若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a=_.【解析】函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),即函数f(x)=log2(x+1)+a的图像经过点(1,4),所以4=log2(1+1)+a,所以4=1+a,a=3.答案:38.设点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a0,a1)的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=_.【解析】因为点(9,
9、3)在函数f(x)=loga(x-1)(a0,a1)的图像上,所以loga(9-1)=3,可得a=2,则令函数f(x)=y=log2(x-1),那么x=2y+1.把x与y互换可得y=2x+1,所以f(x)的反函数f-1(x)=2x+1.答案:2x+1四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=的定义域为(-,2.(1)求函数f(x)的值域;(2)求函数f(x)的反函数.【解析】(1)f(x)的定义域为x2,02x4,所以48-2x8,所以84,即-3-2,故函数的值域为(-3,-2.(2)由y=,将x,y互换,x=lo(8-2y)(-3x-2).整理得2y=8-,y=log2,所
10、以f-1(x)=log2(-3x-2).10.已知函数f(x)=lg(x+1).(1)当x1,9时,求函数f(x)的反函数.(2)若0f(1-2x)-f(x)1,求x的取值范围.【解析】(1)令y=f(x)=lg(x+1),所以当x1,9时,ylg 2,1,且x+1=10y,即x=10y-1,互换x,y得,y=10x-1,所以,f-1(x)=10x-1,xlg 2,1.(2)不等式0f(1-2x)-f(x)1可化为:0lg1,等价为10,解得x,所以,原不等式中x的取值范围为:.1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,则-x0.因为当x0,且a1)与函数y=log3x互为反函数.(1
11、)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)函数y=f(g(x)-m在x-1,2上有零点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由f(1+x)=f(1-x)知函数的对称轴-=1,故b=-2;所以f(x)=x2-2x+4.由函数g(x)=ax(a0,且a1)与函数y=log3x互为反函数,知a=3.故g(x)=3x.(2)令t=3x,因为x-1,2,所以t,则y=f(g(x)-m=t2-2t+4-m在t上有零点,即函数y=m的图像与y=t2-2t+4的图像在t上有交点,而y=(t-1)2+3,t,所以当t=1时,此时x=0,f(g(x)min=3,当t=9时,此时x=2,f(g(x)max=67,因此m的取值范围是.【补偿训练】已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x).(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)-m=0在区间1,2内有解,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意可得:f-1(x)=log2x,所以log2x-log2(1-x)=1log2=log22,所以=2,解得x=.(2)由f(x)+f(1-x)-m=0可得:m=2x+,x1,2.令t=2x2,4,所以m=t+,因为当t2,4时,函数m=t+为增函数,所以函数的最小值为3,最大值为,所以实数m的取值范围为.