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1、证明不等式的基本方法(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2b时,恒成立,当aQRB.PRQC.QPRD.QRP【解析】选B.因为,所以,即PR;又因为,所以,即RQ,所以PRQ.3.若,M=|sin|,N=|cos|,P=|sin+cos|,则它们之间的大小关系为()A.MNPB.PNMC.MPND.NPM【解析】选D.因为,所以0sincos,所以|sin|(|sin|+|sin|)=|sin|=M,P=|sin+cos|PM.二、填空题(每小题6分,
2、共18分)4.若a,b均为正数,则下列两式的大小关系为a5+b5a3b2+a2b3.【解析】a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5+b5-a3b2-a2b3=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a2-b2)(a-b)(a2+ab+b2)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).因为a,b均为正数,所以a+b0,(a-b)20,a2+ab+b20,所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0,即a5+b5-(a3b2+a2b3)0.所以a5+b5a3b2+a2b3.答案:5.设mn,x=m4-m3n,y=n3m
3、-n4,则x,y的大小关系是.【解析】因为x-y=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)因为mn,所以x-y0,所以xy.答案:xy6.如果loga3logb3,且a+b=1,则a与b的大小关系为.【解析】因为a0,b0,又因为a+b=1,所以0a1,0b1,所以lg a0,lg blogb3,所以-0-0,所以0lg blg a,所以ba.答案:ba三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2015莆田模拟)设a,b是非负实数,求证:a2+b2(a+b).【证明】因为(a2+b2)-(a+b)=(a2-a)+(b2-b)=a(-)+b(-)
4、=(-)(a-b)=(-)(-)因为a0,b0,所以不论ab0,还是0ab,都有-与-同号,所以(-)(-)0,所以a2+b2(a+b).8.(2014新课标全国卷)设函数f(x)=(1)证明:f(x)2.(2)若f(3)0,有f(x)= +|x-a|.所以f(x)2.(2)f(3)=+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)5,得3a.当0a3时,f(3)=6-a+,由f(3)5,得+是否成立?并证明你的结论.【解析】(1)由绝对值不等式性质知:|x+1|+|x-2|x+1+2-x|=3对xR恒成立.故|x+1|+|x-2|m的解集为R,只需m3即可,所以m的取值范围是(-,3.(2)由(1)知实数m的最大值为3,当m=3时,不等式+成立.证明如下:要使+成立,只需(+)2(+)2,等价于13+213+2,等价于,等价于4230,而4230显然成立,故所证不等式成立.关闭Word文档返回原板块- 4 -