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1、单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数y=2cos2+1的最小正周期是()A.4B.2C.D.【解析】选B.因为y=2cos2+1=+2=cos x+2,所以函数的最小正周期T=2.2.(2020长春高一检测)已知sin =,cos =,则tan等于()A.2- B.2+C.-2 D.(-2)【解析】选C.因为sin =,cos =,所以tan =-2.3.若3sin x-cos x=2sin(x+),(-,),则等于()A.-B.C.D.-【解析】选A.3sin x-cos x=2=2sin.又(-,),所以=-.4.(2020绍兴高一检
2、测)已知角的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,将的终边按顺时针方向旋转后经过点(3,4),则tan =()A.-7B.-C.D.7【解析】选A.根据题意tan=,tan=,所以tan =-7.5.(2019全国卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,则sin x=0或cos x=1,又x0,2,所以x=0,2,共三个零点.6.若(0,),且cos +sin =-,则cos 2=()A.B.-C.-D.【解析
3、】选A.因为cos +sin =-,(0,),所以sin 2=-,cos 0,且,所以2,所以cos 2=.7.=()A.B.-C.-1D.1【解析】选B.原式=-=-=-=-.8.(2020珠海高一检测)在ABC中,已知tan=sin C,则ABC的形状为()A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.在ABC中,tan=sin C=sin(A+B)=2sincos,所以2cos2=1,所以cos(A+B)=0,从而A+B=,即ABC为直角三角形.9.已知0,点P(1,4)为角的终边上一点,且sin sin+cos cos=,则角=()A.B.C.D.【解析】选D
4、.因为P(1,4),所以|OP|=7(O为坐标原点),所以sin =,cos =.又sin cos -cos sin =,所以sin(-)=.因为0,所以0-,所以cos(-)=,所以sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=-=.因为0,所以=.10.已知0,又sin =,cos(+)=-,则sin 等于()A.0B.0或C.D.【解析】选C.因为0且sin =,cos(+)=-,所以cos =,+0,故sin =.11.(2020广州高一检测)已知函数f(x)=sin,若方程f(x)=的解为x1,x2(0x1x2),则sin(x1-x2)=()A.-B.-C.-
5、D.-【解题指南】由已知可得x2=-x1,结合x1x2求出x1的范围,再由sin(x1-x2)=sin=-cos求解即可.【解析】选D.因为方程f(x)=的解为x1,x2(0x1x2),所以=,所以x2=-x1,所以sin(x1-x2)=sin=-cos.因为x1x2,x2=-x1,所以0x1,所以2x1-,所以由f(x1)=sin=,得cos=,所以sin(x1-x2)=-.12.已知不等式f(x)=3sincos+cos2-m0对于任意的-x恒成立,则实数m的取值范围是()A.mB.mC.m-D.-m【解析】选A.f(x)=3sincos+cos2-m=sin+cos-m,=sin-m0,
6、所以msin,因为-x,所以-+,所以-sin,所以m.二、填空题(每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6,则m=.【解析】f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+1+cos 2x+m=2sin+m+1,因为0x,所以2x+.所以当2x+=,即x=时,f(x)max=2+m+1=6,所以m=3.答案:314.tan+tan+tantan+的值是.【解析】因为tan=tan=,所以=tan+tan+tan-tan.答案:15.(2020临汾高一检测)若sin +2cos =-(0),则cos=.【解析】由sin +2cos
7、=-(0)可知,为钝角,又sin2+cos2=1,可得sin =,cos =-,所以sin 2=2sin cos =-,cos 2=cos2-sin2=-,所以cos=cos 2cos -sin 2sin=.答案:16.关于函数f(x)=cos+cos,则下列命题:y=f(x)的最大值为;y=f(x)的最小正周期是;y=f(x)在区间上是减函数;将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合.其中正确命题的序号是.【解析】f(x)=cos+cos=cos+sin=cos-sin=cos=cos,所以y=f(x)的最大值为,最小正周期为,故、正确.又当x时,2x-0,所以y
8、=f(x)在上是减函数,故正确.由得y=cos 2=cos,故正确.答案:三、解答题(共70分)17.(10分)(1)求值:.(2)已知sin +2cos =0,求的值.【解析】(1)原式=2+.(2)由sin +2cos =0,得sin =-2cos ,又cos 0,则tan =-2,所以=.18.(12分)已知sinsin=,且,求tan 4的值.【解析】因为sin=sin=cos,则已知条件可化为sincos=,即sin=,所以sin=,所以cos 2=.因为,所以2(,2),从而sin 2=-=-,所以tan 2=-2,故tan 4=-=.19.(12分)(2020晋中高一检测)设向量
9、a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值.(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x,从而sin x=,所以x=.(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,又x,所以当x=时,sin取得最大值为1,所以f(x)的最大值为.20.(12分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0,且si
10、n =,求f()的值.(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】方法一:(1)因为0,sin =,所以cos =.所以f()=-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以T=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-xk+,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin.(1)因为0,sin =,所以=.从而f()=sin=sin =.(2)T=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-xk+,kZ.所以f(x)的单
11、调递增区间为,kZ.21. (12分)如图所示,已知的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4),的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.(1)求tan(2-)的值.(2)若,0,求+.【解析】(1)由三角函数的定义知tan =-,所以tan 2=.又由三角函数线知sin =.因为为第一象限角,所以tan =,所以tan(2-)=.(2)因为cos =-,0,所以+.因为sin(+)=sin cos +cos sin =-=.又因为+,所以+=.22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB、AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PMBC,PNCD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.【解析】连接PA,设PAE=,如图所示.设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,则PM=HB=AB-AH=10-9cos ,PN=HN-HP=10-9sin .所以S=PMPN=(10-9cos )(10-9sin )=100-90sin -90cos +81sin cos .设sin +cos =t.则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.因为,所以t=sin +cos =sin1,所以当t=时,Smin=,故矩形PMCN的面积的最小值为.